Corsi di Laurea in Ingegneria Civile, Ambiente e Territorio, Gestionale dei Progetti e
Infrastrutture (I-Z)
Anno Accademico 2007/2008
Programma del Corso di GEOMETRIA
Segmenti orientati. Vettori. Operazioni algebriche sui vettori. Lo spazio vettoriale geometrico. R^2
e R^3 come modelli dello spazio dei vettori geometrici nel piano e nello spazio . Basi cartesiane in
R^2 e R^3 e componenti cartesiane di un vettore. Modulo di un vettore. Versore associato ad un
vettore non nullo. Prodotto scalare e sua espressione cartesiana. Prodotto vettoriale e sua
espressione cartesiana . Componente ortogonale di un vettore secondo un dato versore.
Scomposizione di v nella somma di un vettore parallelo e uno ortogonale ad un vettore dato u.
Strutture di gruppo, anello e campo. Definizione di spazio vettoriale. Lo spazio vettoriale numerico
K^n. Lo spazio vettoriale dei polinomi K[x]. Proprietà basilari che discendono dalla definizione di
spazio vettoriale.
Definizione di sistema di vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Risultati ed esempi sui
sistemi dipendenti e indipendenti . Sistemi di generatori di uno spazio vettoriale. K[x] non è
finitamente generato. Basi e caratterizzazioni. Vettore coordinato. Enunciato del Lemma di Steinitz
e conseguenze. Dimensione di uno spazio vettoriale. Estrazione di una base da un sistema di
generatori. Completamento di un sistema indipendente ad una base.
Definizione di sottospazio vettoriale. Sottospazio generato da un sistema di vettori. Intersezione e
somma di due sottospazi. Somma diretta di sottospazi. Teorema: formula di Grassmann.
Lo spazio vettoriale delle matrici. Determinanti e 1° teorema di Laplace. Proprietà dei determinanti.
Prodotto di matrici e struttura di anello nell’insieme delle matrici quadrate di ordine n. Enunciato
del Teorema di Binet.
Rango di una matrice; enunciato e applicazioni del Teorema degli orlati. Operazioni elementari
sulle righe di una matrice. Matrici invertibili. Enunciato del 2° teorema di Laplace. Teorema di
caratterizzazione delle matrici invertibili (una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è
diverso da zero). Matrici a scala e loro rango.
Sistemi lineari: Teorema di Cramer, Teorema di Rouché-Capelli . Struttura di spazio vettoriale
nell’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Sistemi parametrici. Esempio di risoluzione
dei sistemi con il metodo di Gauss-Jordan.
Spazi affini e riferimenti affini. Sottospazi affini. Geometria nel piano affine reale: la retta e sue
rappresentazioni (parametrica e cartesiana). Corrispondenza biunivoca tra rette e classi di
proporzionalità di equazioni lineari in due incognite. Intersezione di due rette nel piano affine reale.
Condizione di parallelismo. Riferimenti ortonormali e coordinate cartesiane nel piano euclideo E^2.
Geometria nel piano euclideo: angolo di due rette, coseni direttori, ortogonalità di due rette,
distanza di due punti, distanza di un punto da una retta. Distanza tra due rette parallele. Area di un
triangolo note le coordinate dei suoi vertici.
Geometria nello spazio affine: il piano e sue rappresentazioni (parametrica e cartesiana). Piano per
tre punti non allineati. Geometria nello spazio affine: intersezione di due piani e condizione di
parallelismo; la retta e sue rappresentazioni (cartesiana e parametrica). Posizione reciproca di due
rette nello spazio; determinazione del piano contenente due rette complanari. Intersezione di una
retta con un piano e condizione di parallelismo.
Angolo di due rette; ortogonalità tra rette. Coseni direttori di una retta orientata. Angolo di due piani
e di una retta con un piano; condizioni di ortogonalità. Distanze in E^3 (punto-punto, punto-retta,
punto -piano, tra rette parallele, retta-piano paralleli, tra piani paralleli. La comune perpendicolare a
due rette incidenti. Rette sghembe: comune perpendicolare e minima distanza.
Applicazioni lineari: monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi. Ogni spazio vettoriale di
dimensione n su un campo K è isomorfo a K^n. I sottospazi nucleo e immagine di un’applicazione
lineare. Enunciato del Teorema della dimensione. L’immagine di una applicazione lineare f:V W
come sottospazio di W generato dalle immagini dei vettori di un sistema di generatori di V .
Applicazioni del teorema “V^n isomorfo a K ^n”. Esistenza di applicazioni lineari che verificano
determinate condizioni . La matrice associata ad un’applicazione lineare f:V W, fissate le basi B
e B’ in V e W rispettivamente. Composizione di applicazioni lineari e matrici. L’applicazione
identità. Matrice del cambio di base . Diagonalizzazione di un endomorfismo: autovettori,
autovalori e autospazi. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore.
Enunciato del teorema spettrale. Matrici simili e loro prprietà; relazione tra matrici simili e matrici
associate ad uno stesso endomorfismo rispetto a basi diverse. Diagonalizzazione di una matrice
simmetrica: basi ortonormali di autovettori., matrici ortogonali .
Il piano proiettivo: coordinate omogenee, rappresentazione di una retta in coordinate omogenee. Le
coniche: definizione, matrice associata ad una conica. Coniche riducibili. Coniche irriducibili:
distinzione tra iperbole, ellisse e parabola. Polarità rispetto ad una conica irriducibile: proprietà
esignificato geometrico. Definizione di diametro e centro. Asintoti, assi e vertici di una conica
irriducibile.
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N.B. Per la prova orale si richiede la conoscenza delle dimostrazioni dei seguenti risultati:
Deduzione dell’espressione cartesiana del prodotto scalare e del prodotto vettoriale.
Proprietà basilari che discendono dalla definizione di spazio vettoriale (0·v = 0, …).
Un sistema S contenente il vettore nullo è dipendente.
Un sistema S è dipendente se e solo se esiste un vettore del sistema che dipende dai
rimanenti.
K[x] non è finitamente generato.
Un sistema di vettori B di uno spazio vettoriale V è una base se e solo se ogni vettore di V
si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B.
Corollari del Lemma di Steinitz.
Da ogni sistema di generatori si può estrarre una base.
In uno spazio vettoriale di dimensione n , ogni sistema di n vettori indipendenti è una base e
ogni sistema di generatori di cardinalità n è una base.
Qualunque sia il sottoinsieme non vuoto S di V, L(S) è un sotospazio di V.
L’intersezione e la somma di due sottospazi sono sottospazi .
Teorema (formula di Grassmann).
Proprietà dei determinanti.
Una matrice A è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo.
Teorema di Rouché-Capelli.
Teorema di Cramer.
L’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è uno spazio vettoriale di dimensione
uguale al numero delle incognite meno il rango della matrice dei coefficienti del sistema.
Esiste una corrispondenza biunivoca tra le rette del piano affine e le classi di
proporzionalità di equazioni lineari in due incognite.
Formula della distanza di un punto da unaretta nel piano e di un punto da un piano nello
spazio.
Formula della distanza tra due rette parallele nel piano e tra due piani paralleli nello spazio.
Formula dell’area di un triangolo nel piano.
La giacitura di un piano è data dallo spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea
associata all’equazione del piano.
Applicazioni lineari f:VW: f(0)=0, f(-v)=-f(v), …; ker(f) è un sottospazio di V, im(f) è un
sottospazio di W; f è iniettiva se e solo se ker(f) = {0}; ogni spazio vettoriale di dimensione
n su un campo K è isomorfo a K^n; Il sottospazio Im(f) di una applicazione lineare f:V
W è generato dalle immagini dei vettori di un sistema di generatori di V;
ad ogni autovettore è associato un unico autovalore; l’insieme degli autovettori associati ad
un autovalore unito il vettore nullo è un sottospazio di V.
Gli autovalori di un endomorfismo sono tutti e soli gli zeri del polinomio caratteristico.
La similitudini tra matrici è una relazione di equivalenza.
La polarità rispetto ad una conica irriducibile: proprietà di reciprocità.
Ricerca degli assi di una conica.
Testi consigliati:
L. A. Lomonaco, Un’introduzione all’ algebra lineare, Aracne Ed.
M. Rosati, Lezioni di Geometria, Libreria Cortina Ed. - Padova
M. Rosati, Esercizi di Geometria, Libreria Cortina Ed. – Padova
