Geometria 1

GEOMETRIA 1
a.a. 2013-2014
Insegnamento: Geometria 1
Docente: Eva Ferrara Dentice
Settore Scientifico - Disciplinare: MAT/03
CFU
ORE
12=9L+3E
108=72+36
Obiettivi formativi: Introduzione ai metodi del calcolo matriciale, dell’algebra lineare e della
geometria analitica in 2 e 3 dimensioni.
Propedeuticità: nessuna
Modalità di svolgimento: lezioni ed esercitazioni in aula.
Modalità di accertamento del profitto: superamento di una prova orale e di una prova scritta.
Legenda: L= Lezioni, E= Esercitazioni, La= Attività di Laboratorio.
PROGRAMMA
Vettori numerici e matrici su un campo K. Richiami di teoria degli insiemi. Operazioni interne
ed esterne. L’insieme Kn dei vettori numerici di lunghezza n sul campo K. Operazioni di somma tra
vettori numerici e prodotto tra scalari e vettori numerici, e proprietà: lo spazio vettoriale numerico
Kn. Combinazioni lineari di vettori numerici. Sistemi di vettori numerici linearmente dipendenti ed
indipendenti. Prodotto scalare numerico in Kn e proprietà.
L’insieme Km,n delle matrici di tipo (m,n) a coefficienti nel campo K. Matrice trasposta, matrici
simmetriche ed antisimmetriche, matrici quadrate triangolari, diagonali e scalari. Operazioni di
somma tra matrici e prodotto di uno scalare per una matrice: lo spazio vettoriale Km,n. Prodotto
righe per colonne tra matrici e proprietà. Struttura di anello di Kn,n. Matrici quadrate invertibili: il
gruppo lineare GL(n,K). Definizione di matrice ridotta a gradini per righe. Operazioni elementari
sulle righe di una matrice e algoritmo di riduzione a gradini per righe. Invertibilità di una matrice
quadrata e calcolo dell’inversa con l’algoritmo di riduzione a gradini.
Determinante di una matrice quadrata e calcolo dei determinanti di matrici quadrate d’ordine 2 e 3.
Proprietà elementari dei determinanti. Calcolo dei determinanti con l’algoritmo di riduzione a
gradini. Matrice complementare e complemento algebrico di un elemento di una matrice quadrata.
Teorema di Laplace e calcolo di determinanti con il metodo di Laplace. Teorema di Laplace
generalizzato e teorema di Binet. Aggiunta di una matrice e proprietà. Calcolo dell’inversa di una
matrice a determinante non nullo con il metodo dell’aggiunta.
Rango di una matrice e calcolo del rango con il metodo di riduzione a gradini. Legame tra rango,
determinante ed invertibilità di una matrice quadrata (con dimostrazione). Sottomatrici di una
matrice ed orlati di una sottomatrice. Teorema degli orlati. Calcolo del rango di una matrice con il
metodo degli orlati.
Spazi vettoriali su un campo K. Definizione di spazio vettoriale su un campo e prime proprietà.
Lo spazio vettoriale numerico Kn, lo spazio vettoriale Km,n delle matrici di tipo (m,n) a coefficienti
in K, gli spazi vettoriali L2 ed L3 dei vettori liberi, gli spazi vettoriali K[x] e Kn[x] dei polinomi
nell’indeterminata x. Sottospazi vettoriali. Intersezione di sottospazi vettoriali, il sottospazio
vettoriale generato da un sottoinsieme di vettori, il sottospazio vettoriale somma. Somma diretta di
sottospazi vettoriali. Dipendenza ed indipendenza lineare di sistemi di vettori. Il teorema di Steinitz
(con dimostrazione). Spazi vettoriali finitamente generati. Sistemi di generatori. Basi, riferimenti e
dimensione di uno spazio vettoriale. Formule del cambiamento di riferimento. Caratterizzazione
delle basi e metodi di costruzione delle basi. Completamento di un sistema linearmente
indipendente ad una base. Dimensione dei sottospazi vettoriali e Formula di Grassmann (con
dimostrazione).
Sistemi di equazioni lineari. Definizione di equazione lineare e di sistema di equazioni lineari in n
indeterminate a coefficienti in un campo K. Compatibilità di un sistema lineare. Algoritmo di
Gauss-Jordan per la risoluzione di un sistema lineare. Il teorema di Rouchè-Capelli (con
dimostrazione). Il teorema di unicità. Sistemi di Cramer e metodo di Cramer per la risoluzione di un
sistema lineare (con dimostrazione). Sistemi lineari omogenei: il sottospazio vettoriale numerico
delle soluzioni, sua dimensione e determinazione di una base. Caratterizzazione dei sottospazi dello
spazio vettoriale numerico Kn come insiemi delle soluzioni di sistemi lineari omogenei (con
dimostrazione). Rappresentazione analitica in un fissato riferimento di un sottospazio di uno spazio
vettoriale di dimensione finita.
Applicazioni lineari e diagonalizzazione di endomorfismi. Definizione di applicazione lineare tra
spazi vettoriali. Caratterizzazione delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici. Nucleo ed
immagine di un’applicazione lineare. Endomorfismi, monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi,
automorfismi. L’isomorfismo coordinato di uno spazio vettoriale. Caratterizzazione di
monomorfismi, degli epimorfismi e degli isomorfismi. Il Teorema del rango (con dimostrazione). Il
Teorema di esistenza ed unicità (con dimostrazione). Matrice associata ad una applicazione lineare
tra spazi vettoriali finitamente generati in due fissati riferimenti. Equazioni di un’applicazione
lineare tra spazi vettoriali finitamente generati. Equazioni del nucleo, dimensione dell’immagine e
metodo per determinare una base dell’immagine.
Matrici simili e similitudine tra le matrici associate ad un endomorfismo in due diversi riferimenti.
Endomorfismi diagonalizzabili. Autovettori, autovalori ed autospazi di un endomorfismo.
Polinomio caratteristico di una matrice e di un endomorfismo e sua invarianza per matrici simili.
Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Teorema spettrale. Metodo per
determinare una base di autovettori.
Elementi di geometria analitica. Prodotto scalare geometrico in L2 ed L3 e questioni metriche sui
vettori liberi. Teorema di Carnot, Teorema di Pitagora, Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e
Disuguaglianza triangolare (con dimostrazioni). Definizioni di piano affine euclideo E2 e di spazio
affine euclideo E3. I sottospazi affini: punti, rette e piani. Distanza, angoli, ortogonalità. Riferimenti
cartesiani e coordinate. Rappresentazione analitica di rette in E2 e di rette e piani in E3: equazioni
parametriche ed ordinarie. Condizioni analitiche di parallelismo ed ortogonalità. Rette sghembe in
E3 e condizioni di complanarità. Fasci di rette nel piano e fasci di piani in E3. Proiezione ortogonale
di un punto su un sottospazio e distanza di un punto da un sottospazio. Retta per un punto esterno a
due rette sghembe e complanare con entrambe. Retta per un punto perpendicolare a due rette non
parallele.
Coniche nel piano. Circonferenza, ellisse, iperbole e parabola come luoghi geometrici. Coniche
degeneri: coppie di rette distinte o coincidenti, coniche ridotte ad un punto. Ampliamento proiettivo
complessificato del piano della geometria elementare. Coniche nell’ampliamento proiettivo.
Intersezione tra una retta ed una conica. Classificazione delle coniche reali. Molteplicità di
intersezione tra una retta ed una conica in un punto comune. Punti semplici e doppi di una conica:
definizione e caratterizzazione analitica. Retta tangente ad una conica in un punto semplice:
definizione ed equazione ordinaria. Polarità definita da una conica non degenere. Proprietà della
polarità e teorema di reciprocità. Centro di simmetria, diametri, asintoti e vertici di una conica non
degenere: definizioni, proprietà e caratterizzazioni analitiche.