Corsi di Laurea AMB., CIV., GE. INFR. (I-Z)
Anno Accademico 2006/2007
Programma del Corso di GEOMETRIA
(Valido anche per Geometria 1 e Geometria 2)
Il programma di Geometria ( 6 cfu) è l’unione dei programmi di Geometria 1 e 2. A coloro che
devono sostenere l’esame di Geometria 2 segnalo che il programma comprende anche l’argomento
“Quadriche”.
Geometria 1.
Strutture di gruppo, anello e campo. Definizione di spazio vettoriale. Lo spazio vettoriale
geometrico: operazioni algebriche sui vettori. R^2 e R^3 come modelli dello spazio dei vettori
geometrici nel piano e nello spazio. Basi cartesiane in R^2 e R^3 e componenti cartesiani di un
vettore. Modulo di un vettore. Versore associato ad un vettore non nullo. Prodotto scalare e sua
espressione cartesiana. Componente ortogonale di un vettore. Prodotto vettoriale e sua espressione
cartesiana. Lo spazio vettoriale numerico K^n. Lo spazio vettoriale dei polinomi K[x]. Proprietà
basilari che discendono dalla definizione di spazio vettoriale. Definizione di sistema di vettori
linearmente dipendenti e indipendenti. Sistemi di generatori di uno spazio vettoriale. Basi e
caratterizzazioni. Vettore coordinato. Lemma di Steinitz e conseguenze. Estrazione di una base da
un sistema di generatori. Completamento di un sistema indipendente ad una base. Definizione di
sottospazio vettoriale. Sottospazio generato da un sistema di vettori. Intersezione e somma di due
sottospazi. Somma diretta di sottospazi. Formula di Grassmann. Lo spazio vettoriale delle matrici.
Determinanti e 1° teorema di Laplace. Proprietà dei determinanti. Prodotto di matrici e struttura di
anello nell’insieme delle matrici quadrate di ordine n. Enunciato del Teorema di Binet e
applicazioni. Rango di una matrice; enunciato e applicazioni del Teorema degli orlati. Operazioni
elementari sulle righe di una matrice. Matrici invertibili. Enunciato del 2° teorema di Laplace.
Teorema di caratterizzazione delle matrici invertibili (una matrice è invertibile se e solo se il suo
determinante è diverso da zero). Matrici a scala e loro rango. Sistemi lineari: Teorema di Cramer,
Teorema di Rouché-Capelli, struttura di spazio vettoriale nell’insieme delle soluzioni di un sistema
omogeneo. Sistemi parametrici. Spazi affini e riferimenti affini. Sottospazi affini. Geometria nel
piano affine reale: la retta e sue rappresentazioni (parametrica e cartesiana). Corrispondenza
biunivoca tra rette e classi di proporzionalità di equazioni lineari in due incognite. Intersezione di
due rette. Condizione di parallelismo. Geometria nel piano euclideo: angolo di due rette, coseni
direttori, ortogonalità di due rette, distanza di due punti, distanza di un punto da una retta. Distanza
tra due rette parallele. Area di un triangolo note le coordinate dei suoi vertici.
Geometria nello spazio affine: il piano e sue rappresentazioni (parametrica e cartesiana); piano per
tre punti non allineati; intersezione di due piani e condizione di parallelismo. La retta nello spazio
affine: rappresentazione cartesiana e parametrica; posizione reciproca di due rette nello spazio;
determinazione del piano contenente due rette complanari. Intersezione di una retta con un piano e
condizione di parallelismo.
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N.B. Per la prova orale si richiede la conoscenza delle dimostrazioni dei seguenti risultati:
Proprietà basilari che discendono dalla definizione di spazio vettoriale (0·v = 0, …).
Un sistema S contenente il vettore nullo è dipendente.
Un sistema S è dipendente se e solo se esiste un vettore del sistema che dipende dai
rimanenti.
Un sistema di vettori B di uno spazio vettoriale V è una base se e solo se ogni vettore di V
si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B.
Lemma di Steinitz e Corollari.
L’intersezione e la somma di due sottospazi sono sottospazi .
Teorema (formula di Grassmann).
Proprietà dei determinanti.
Una matrice A è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo.
Teorema di Rouché-Capelli.
Teorema di Cramer.
L’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è uno spazio vettoriale di dimensione
uguale al numero delle incognite meno il rango della matrice dei coefficienti del sistema.
Esiste una corrispondenza biunivoca tra le rette del piano affine e le classi di
proporzionalità di equazioni lineari in due incognite.
Geometria 2.
Angolo di due rette; ortogonalità tra rette. Coseni direttori di una retta orientata. Angolo di due piani
e di una retta con un piano; condizioni di ortogonalità. Distanze in E^3 (punto-punto, punto-retta,
punto -piano, tra rette parallele, retta-piano paralleli, tra piani paralleli). La comune perpendicolare
a due rette incidenti. Rette sghembe: comune perpendicolare e distanza. Applicazioni lineari:
monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi. Ogni spazio vettoriale di dimensione n su un campo K è
isomorfo a K^n. I sottospazi nucleo e immagine di un’applicazione lineare. Un’applicazione lineare
è iniettiva se e solo se il suo nucleo è {0}. Enunciato del Teorema della dimensione. La matrice A
associata ad una applicazione lineare f tra spazi vettoriali numerici, rispetto alle basi canoniche: le
colonne di A formano un sistema di generatori dell’immagine di f. La matrice associata ad
un’applicazione lineare f:V W, fissate le basi B e B’ in V e W rispettivamente. Composizione di
applicazioni lineari e matrici. L’applicazione identità. Matrice del cambio di base. Applicazioni
lineari invertibili. La contoimmagine di un vettore tramite un’applicazione lineare.
Diagonalizzazione di un endomorfismo: autovettori e autovalori. Polinomio caratteristico,
molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Enunciato del teorema spettrale. Matrici simili
e loro prprietà; relazione tra matrici simili e matrici associate ad uno stesso endomorfismo rispetto a
basi diverse. Diagonalizzazione di una matrice simmetrica: basi ortonormali di autovettori., matrici
ortogonali. Enunciato del teorema degli assi principali. Il piano proiettivo: coordinate omogenee,
rappresentazione di una retta anche in forma parametrica. Le coniche: definizione, matrice
associata ad una conica, interzezione di una retta con una conica. Coniche riducibili. Coniche
irriducibili: distinzione tra iperbole, ellisse e parabola. Polarità rispetto ad una conica irriducibile:
significato geometrico e proprietà. Definizione di diametro e centro. Asintoti, assi e vertici di una
conica irriducibile.
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N.B. Per la prova orale si richiede la conoscenza delle dimostrazioni dei seguenti risultati:
Formula della distanza di un punto da unaretta nel piano e di un punto da un piano nello
spazio.
Formula della distanza tra due rette parallele nel piano e tra due piani paralleli nello spazio.
Formula dell’area di un triangolo nel piano.
La giacitura di un piano è data dallo spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea
associata all’equazione del piano.
Applicazioni lineari f:VW: f(0)=0, f(-v)=-f(v), …; ker(f) è un sottospazio di V, im(f) è un
sottospazio di W; f è iniettiva se e solo se ker(f) = {0}; ogni spazio vettoriale di dimensione
n su un campo K è isomorfo a K^n; ad ogni autovettore è associato un unico autovalore;
l’insieme degli autovettori associati ad un autovalore unito il vettore nullo è un sottospazio
di V.
Gli autovalori di un endomorfismo sono tutti e soli gli zeri del polinomio caratteristico.
La similitudini tra matrici è una relazione di equivalenza.
