Corsi di Laurea in Ingegneria INFORMATICA (A-DA)
e Ingegneria dell’AUTOMAZIONE
Anno Accademico 2012/2013
Programma del Corso di GEOMETRIA e ALGEBRA
Segmenti orientati. Vettori. Operazioni algebriche sui vettori. Lo spazio vettoriale geometrico. R^2
e R^3 come modelli dello spazio dei vettori geometrici nel piano e nello spazio . Basi cartesiane in
R^2 e R^3 e componenti cartesiane di un vettore. Modulo di un vettore. Versore associato ad un
vettore non nullo. Prodotto scalare e sua espressione cartesiana. Prodotto vettoriale e sua
espressione cartesiana . Componente ortogonale di un vettore secondo un dato versore.
Scomposizione di v nella somma di un vettore parallelo e uno ortogonale ad un vettore dato u.
Strutture di gruppo, anello e campo. Definizione di spazio vettoriale. Lo spazio vettoriale numerico
K^n. Lo spazio vettoriale dei polinomi K[x]. Proprietà basilari che discendono dalla definizione di
spazio vettoriale.
Definizione di sistema di vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Risultati ed esempi sui
sistemi dipendenti e indipendenti . Sistemi di generatori di uno spazio vettoriale. K[x] non è
finitamente generato. Basi e caratterizzazioni. Vettore coordinato. Enunciato del Lemma di Steinitz
e conseguenze. Dimensione di uno spazio vettoriale. Estrazione di una base da un sistema di
generatori. Completamento di un sistema indipendente ad una base.
Definizione di sottospazio vettoriale. Sottospazio generato da un sistema di vettori.
Lo spazio vettoriale delle matrici. Matrici quadrate: diagonali e triangolari come sottospazi. Unicità
della funzione determinante. Verifica delle proprietà caratteristiche nei casi n=1 e n=2. Regola di
Sarrus (n=3). Determinanti e 1° teorema di Laplace. Proprietà dei determinanti.
Matrici triangolari e loro determinante.
Prodotto di matrici e struttura di anello nell’insieme delle matrici quadrate di ordine n. Proprietà del
prodotto, non commutatività e non validità della legge di annullamento. Enunciato del Teorema di
Binet.
Rango di una matrice: relazione tra rango e determinante. Sottomatrici e minori. Enunciato e
applicazioni del Teorema degli orlati. Operazioni elementari sulle righe di una matrice. Matrici a
scala e loro rango.
Matrici invertibili. Teorema di caratterizzazione delle matrici invertibili (una matrice è invertibile se
e solo se il suo determinante è diverso da zero).
Sistemi lineari: Teorema di Cramer, Teorema di Rouché-Capelli . Dipendenza e indipendenza delle
equazioni di un sistema e sistemi equivalenti. Parametri dai quali sipendono le soluzioni di un
sistema. Sistemi compatibili riconducibili ad un sistema di Cramer. Struttura di spazio vettoriale
nell’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. Sistemi parametrici. Risoluzione dei sistemi
con il metodo di Gauss.
Spazi affini e riferimenti affini. Sottospazi affini. Geometria nel piano affine reale: la retta e sue
rappresentazioni (parametrica e cartesiana). Corrispondenza biunivoca tra rette e classi di
proporzionalità di equazioni lineari in due incognite. Intersezione di due rette nel piano affine reale.
Condizione di parallelismo. Riferimenti ortonormali e coordinate cartesiane nel piano euclideo E^2.
Geometria nel piano euclideo: angolo di due rette, coseni direttori, ortogonalità di due rette,
distanza di due punti, distanza di un punto da una retta. Distanza tra due rette parallele. Area di un
triangolo note le coordinate dei suoi vertici.
Geometria nello spazio affine: il piano e sue rappresentazioni (parametrica e cartesiana). Piano per
tre punti non allineati. Geometria nello spazio affine: intersezione di due piani e condizione di
parallelismo; la retta e sue rappresentazioni (cartesiana e parametrica). Posizione reciproca di due
rette nello spazio; determinazione del piano contenente due rette complanari. Intersezione di una
retta con un piano e condizione di parallelismo.
Equazioni degli assi coordinati, dei piani coordinati e dei piani paralleli agli assi.
Angolo di due rette; ortogonalità tra rette. Coseni direttori di una retta orientata. Angolo di due piani
e di una retta con un piano; condizioni di ortogonalità. Distanze in E^3 (punto-punto, punto-retta,
punto -piano, tra rette parallele, retta-piano paralleli, tra piani paralleli. La comune perpendicolare a
due rette incidenti. Rette sghembe: comune perpendicolare e minima distanza.
Autovettori e autovalori di una matrice. Polinomio caratteristico. Autospazi. Molteplicità algebrica
e geometrica di un autovalore. Similitudine tra matrici. Matrici diagonalizzabili: determinazione di
una matrice diagonalizzante e della corrispondente matrice diagonale simile a quella data. La
similitudine tra matrici è una relazione di equivalenza. Teorema spettrale. Non unicità della matrice
diagonale e di quella diagonalizzante.
Applicazioni lineari: caratterizzazione delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici. I
sottospazi nucleo e immagine. Relazione tra imagine e matrice dell’applicazione. Teorema della
dimensione. Controimmagine di un vettore. Matrice associata ad una applicazione lineare fissate le
basi negli spazi di partenza e di arrivo. Determinazione dell’espressione esplicita f(x1, x2, …, xn) di
una applicazione lineare, assegnate le immagini dei vettori di una base B fissata nello spazio di
partenza.
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N.B. Per la prova orale si richiede la conoscenza delle dimostrazioni dei seguenti risultati:
Deduzione dell’espressione cartesiana del prodotto scalare e del prodotto vettoriale.
Proprietà basilari che discendono dalla definizione di spazio vettoriale (0·v = 0, …).
Un sistema S contenente il vettore nullo è dipendente.
Un sistema S è dipendente se e solo se esiste un vettore del sistema che dipende dai
rimanenti.
K[x] non è finitamente generato.
Un sistema di vettori B di uno spazio vettoriale V è una base se e solo se ogni vettore di V
si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B.
Corollari del Lemma di Steinitz.
Da ogni sistema di generatori si può estrarre una base.
In uno spazio vettoriale di dimensione n , ogni sistema di n vettori indipendenti è una base e
ogni sistema di generatori di cardinalità n è una base.
Qualunque sia il sottoinsieme non vuoto S di V, L(S) è un sottospazio di V.
Proprietà dei determinanti.
Se una matrice A è invertibile allora il suo determinante è non nullo.
Teorema di Rouché-Capelli.
Teorema di Cramer.
L’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è uno spazio vettoriale di dimensione
uguale al numero delle incognite meno il rango della matrice dei coefficienti del sistema.
Esiste una corrispondenza biunivoca tra le rette del piano affine e le classi di
proporzionalità di equazioni lineari in due incognite.
Formula della distanza di un punto da una retta nel piano e di un punto da un piano nello
spazio.
Formula della distanza tra due rette parallele nel piano e tra due piani paralleli nello spazio.
Formula dell’area di un triangolo nel piano.
La giacitura di un piano è data dallo spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea
associata all’equazione del piano.
Applicazioni lineari f:VW: f(0)=0, f(-v)=-f(v), …; ker(f) è un sottospazio di V, im(f) è un
sottospazio di W; il sottospazio Im(f) di una applicazione lineare f:V W è generato dalle
immagini dei vettori di un sistema di generatori di V;
Le applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici sono tutte e sole le funzioni del tipo
f(X)=AX, con A matrice mxn.
Associazione della matrice M_{B’B}(f) di una applicazione lineare f, fissate le basi B nello
spazio di partenza e B’ in quello di arrivo. Determinazione dell’espressione esplicita f(x1,
x2, …xn) di una applicazione lineare, assegnate le immagini dei vettori di una base B dello
spazio di partenza.
Ad ogni autovettore è associato un unico autovalore; l’insieme degli autovettori associati ad
un autovalore unito il vettore nullo è un sottospazio di V;
Autovettori reletivi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti;
Teorema spettrale.
Gli autovalori di una matrice sono tutti e soli gli zeri del polinomio caratteristico.
La similitudini tra matrici è una relazione di equivalenza.
Testi consigliati:
L. A. Lomonaco, Un’introduzione all’ algebra lineare, Aracne Ed.
M. Rosati, Lezioni di Geometria, Libreria Cortina Ed. - Padova
M. Rosati, Esercizi di Geometria, Libreria Cortina Ed. – Padova
M. Brunetti, Esercizi di Algebra lineare e Geometria, Edizioni EDISES.
G. Anichini, G. Conti, Geometria Analitica e Algebra lineare, Pearson Ed.
