Corso di Laurea in Ingegneria Edile (I-Z)
Anno Accademico 2007/2008
Argomenti trattati nelle lezioni svolte del Corso di GEOMETRIA
17.09.2007 – Presentazione del corso. Segmenti orientati. Vettori. Operazioni algebriche sui vettori
(1h).
18.09.2007 -- Lo spazio vettoriale geometrico. R^2 e R^3 come modelli dello spazio dei vettori
geometrici nel piano e nello spazio. Basi cartesiane in R^2 e R^3 e componenti cartesiane di un
vettore. Modulo di un vettore. Versore associato ad un vettore non nullo. (1h).
21.09.2007 – Prodotto scalare e sua espressione cartesiana. Componente ortogonale di un vettore
secondo un dato versore. Scomposizione di v nella somma di un vettore parallelo e uno ortogonale
ad un vettore dato u (1h) .
26.09.2007 – Prodotto vettoriale e sua espressione cartesiana. Esercizio sui vettori. Strutture di
gruppo, anello e campo. Definizione di spazio vettoriale. Esempi (ore 2+1/2).
03.10.2007 -- Lo spazio vettoriale numerico K^n. Proprietà basilari che seguono dalla definizione
di spazio vettoriale. Definizione di sistema di vettori linearmente dipendenti e indipendenti.
Risultati ed esempi sui sistemi dipendenti e indipendenti. Sistemi di generatori di uno spazio
vettoriale. Definizione di base (ore 2+1/2).
10.10.2007 – Caratterizzazioni delle basi. Vettore coordinato. Enunciato del Lemma di Steinitz e
conseguenze. Dimensione di uno spazio vettoriale. Estrazione di una base da un sistema di
generatori. Completamento di un sistema indipendente ad una base. Lo spazio vettoriale delle
matrici (ore 2+1/2).
17.10.2007 -- Definizione di sottospazio vettoriale. Esempi. Sottospazio generato da un sistema di
vettori. Prodotto tra matrici. (ore 2+1/2).
24.10.2007 -- Intersezione e somma di due sottospazi. La funzione Determinante: proprietà che la
caratterizzano e alcune conseguenze. Determinante delle matrici di ordine n<=3 (ore 2+1/2).
31.10.2007 – Complemento algebrico e 1° Teorema di Laplace. Se in una matrice quadrata A una
riga (o colonna) è combinazione lineare delle altre righe (o colonne), allora det (A)=0; enunciato
del viceversa. Rango di una matrice: definizione ed equivalenza con il masssimo ordine dei minori
non nulli. Esercizi sull’intersezione di sottospazi (ore 2+1/2).
07.11.2007 – Enunciato del Teorema degli orlati: esempi. Operazioni elementari sulle righe di una
matrice. Matrici a scala e loro rango. Caratterizzazzione delle matrici invertibili tramite il
determinante. Determinazione dell’inversa (ore 2+1/2).
14.11.2007 – Sistemi lineari: Teorema di Cramer, Teorema di Rouché-Capelli, struttura di spazio
vettoriale nell’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo. (ore 2+1/2).
21.11.2007 – Basi ortonormali in R^3. Base e dimensione dello spazio di matrici M_m,n (R). Retta
in A^2 e A^3: rappresentazione parametrica e cartesiana. Direzione di r:ax+by+c=0 come soluzione
dell’equazione omogenea ax+by=0 (ore 2+1/2).
28.11.2007 – Direzione di una retta rappresentata in forma cartesiana. Il piano in A^3 :
rappresentazione cartesiana e giacitura; piano per tre punti, piano per due punti e parallello ad un
vettore. Intersezione di due piani e condizione di parallelismo. Posizione reciproca di due rette nello
spazio. Determinazione del piano contenente due rette complanari. Intersezione di una retta con un
piano e condizione di parallelismo (ore 2+1/2).
05.12.2007 – Diagonalizzazione di una matrice: autovettori e autovalori, polinomio caratteristico,
molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Similitudine tra matrici. Determinazione della
matrice diagonallizzante (ore 2+1/2).
12.12.2007 – Esercizi (ore 2+1/2).
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N.B. Per la prova orale si richiede la conoscenza delle dimostrazioni dei seguenti risultati:
Deduzione dell’espressione cartesiana del prodotto scalare e del prodotto vettoriale.
Proprietà basilari che discendono dalla definizione di spazio vettoriale (0·v = 0, …).
Un sistema S contenente il vettore nullo è dipendente.
Un sistema S è dipendente se e solo se esiste un vettore del sistema che dipende dai
rimanenti.
Un sistema di vettori B di uno spazio vettoriale V è una base se e solo se ogni vettore di V
si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B.
Corollari del Lemma di Steinitz.
Da ogni sistema di generatori si può estrarre una base.
In uno spazio vettoriale di dimensione n , ogni sistema di n vettori indipendenti è una base e
ogni sistema di generatori di cardinalità n è una base.
Qualunque sia il sottoinsieme non vuoto S di V, L(S) è un sottospazio di V.
L’intersezione e la somma di due sottospazi sono sottospazi.
Proprietà dei determinanti.
Se una matrice A è invertibile allora il suo determinante è non nullo.
Teorema di Rouché-Capelli.
Teorema di Cramer (solo la parte sull’unicità della soluzione).
L’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è uno spazio vettoriale di dimensione
uguale al numero delle incognite meno il rango della matrice dei coefficienti del sistema.
Esiste una corrispondenza biunivoca tra le rette del piano affine e le classi di
proporzionalità di equazioni lineari in due incognite.
Formula della distanza di un punto da unaretta nel piano e di un punto da un piano nello
spazio.
Formula della distanza tra due rette parallele nel piano e tra due piani paralleli nello spazio.
Formula dell’area di un triangolo nel piano.
La giacitura di un piano è data dallo spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea
associata all’equazione del piano.
Ad ogni autovettore è associato un unico autovalore; l’insieme degli autovettori associati ad
un autovalore unito il vettore nullo è un sottospazio di K^n.
Gli autovalori di una matrice sono tutti e soli gli zeri del polinomio caratteristico.
La similitudini tra matrici è una relazione di equivalenza.
Testi consigliati:
L. A. Lomonaco, Un’introduzione all’ algebra lineare, Aracne Ed.
M. Rosati, Lezioni di Geometria, Libreria Cortina Ed. - Padova
M. Rosati, Esercizi di Geometria, Libreria Cortina Ed. - Padova
Al centro fotocopie (livello –1 dell’Edificio di Piazzale Tecchio) sono disponibili i testi di alcune
prove d’esame date in passato. Inoltre ci sono i testi di alcuni esercizi su Spazi vettoriali, Sistemi
lineari, Matrici.
