esercitazione

24 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
ESERCIZI
1. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
Scrivi il rapporto incrementale della seguente funzione nel punto c indicato a fianco e per un incremento h
generico.
1A
y  x 2  3x  1 , c  2 .
1B
y  x2  4x  2 , c  1 .
 h  7
h  6
Calcola la derivata della seguente funzione nel punto c indicato a fianco applicando la definizione di
derivata.
2A
f  x   2  x  1 , c  3; f  x  
2
, c  0.
x3
1 2
 4 ,  9 
2B
f  x  3  x  2 , c  2 ; f  x 
3
, c  0.
x2
1 3
 4 ,  4 
Calcola la derivata della seguente funzione in un generico punto c.
3A
f  x   x3  2 x 2
3c 2  4c 
3B
f  x   x3  3x 2
3c 2  6c 
Calcola la derivata destra e la derivata sinistra della seguente funzione nel punto indicato.
4A
f  x   | x2  x | , c  1 .
4B
f  x   | 2 x2  4 x | , c  0 .
 f   1  1; f   1  1
 f    0   4; f    0   4 
2. LA RETTA TANGENTE AL GRAFICO DI UNA FUNZIONE
Scrivi l’equazione della retta tangente al grafico delle seguenti funzioni nei punti di ascissa x0 a fianco
segnati.
5A
y  x3  2 x 2  1 , x0  1 ; y  sen x  cos x  1 , x0   .
 x  y 1  0; x  y  2    0
24 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
5B
y  x3  x 2  2 , x0  1 ; y  sen x  cos x  1 , x0   .
6A
f  x 
6B
7A
x 1
, x0  0 .
x 1
x2
f  x 
, x0  0 .
x2
ESERCIZI
 x  y 1  0; x  y    0
 y  2x 1
 y  x 1
Data la funzione y  x3  ax 2  b , determina i parametri a e b in modo che il suo grafico sia
tangente alla retta di equazione y  5 x  1 nel suo punto di ascissa 1.
a  1, b  2
7B
Data la funzione y  ax3  bx 2  2 , determina i parametri a e b in modo che il suo grafico sia
tangente alla retta di equazione y  4 x  1 nel suo punto di ascissa 1.
a  2, b  1
In ognuno dei seguenti grafici segna gli eventuali punti stazionari.
8A
8B
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2
24 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
ESERCIZI
In ognuno dei seguenti grafici segna gli eventuali punti di flesso a tangente verticale, i punti di cuspide e i
punti angolosi.
9A
9B
3. LA CONTINUITÀ E LA DERIVABILITÀ
Rappresenta la funzione assegnata e determina gli intervalli in cui f(x) è continua e quelli in cui è
derivabile.

5

2

continua su R; derivabile su  3   k ; 3   k  , k  Z 




10 A
2 

f  x   sen  x   
3 

10 B


f  x   cos  x  
6

11 A
f  x   ln  x  2
continua su 3;  ; derivabile su 3;  
11 B
f  x   ln  3  x 
continua su ; 2 ; derivabile su ; 2 
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
4



continua su R; derivabile su  3  k ; 3   k  , k  Z 




3
24 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
ESERCIZI
4. LE DERIVATE FONDAMENTALI
Data la seguente funzione e il punto indicato a fianco:
a) rappresenta la funzione;
b) calcola la sua derivata;
c) la funzione è continua nel punto?
d) la funzione è derivabile nel punto?
12 A
1
y x
e
se x  0
, x 0.
se x  0

0
 y   x
e

se x  0

, continua ma non derivabile 
se x  0

12 B
e x
y
1
se x  0

e x
 y  

0

, continua ma non derivabile 
se x  0

se x  0
, x 0.
se x  0
5. I TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE
Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
13 A
y  2e x  2 x  cos x
 y  2e x  2  sen x 
13 B
y  3e x  4 x  sen x
 y  3e x  4  cos x 
14 A
y   x  ln x    sen x  3


 1
 y  1  x   sen x  3   x  ln x  cos x 




14 B
y   x  ln x    cos x  2


 1
 y  1  x   cos x  2    x  ln x  sen x 




15 A
y  x  2 x  cos x
 y  2 x  cos x  x  2 x  ln 2  cos x  x  2 x  sen x 
15 B
y  x  3x  sen x
 y  3x  sen x  x  3x  ln 3  sen x  x  3x  cos x 
16 A
y  2 x 4  x 3  3x  1
16 B
y  3x 4  2 x 2  2 x  3
17 A
y   x3  2 x 2  x   ln x
17 B
y   x3  x 2  2 x   ln x
18 A
y
x2  x  3
x4  3
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y  8x  3x  3
y  12 x  4x  2
 y   3x  4 x  1 ln x  x  2 x  1


 y   3x  2 x  2  ln x  x  x  2


3
2
3
2
2
2
2


5
4
3
 y  2 x  3x  12 x  6 x  3 
2
4


x

3




4
24 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
x2  2 x  2
x3  2
ESERCIZI

 x 4  4 x3  6 x 2  4 x  4 
 y 

2
x3  2


18 B
y
19 A
2e x  x  ln x
y
x2

2 xex  x  1  4e x  2 ln x 
y




x3


19 B
e x  2 x  ln x
y
2x2

xe x  2 x  1  2e x  2ln x 
 y 

2 x3


20 A
y
1  sen x  cos x
1  sen x

sen x  2 cos x  1 
 y 

2
1  sen x  

20 B
y
1  sen x  cos x
1  cos x
1 

 y   1  cos x 


6. LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA
Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
21 A
y  2sen 3 x  cos 2 x
 y  6sen 2 x cos x  2 cos x sen x 
21 B
y  cos3 x  2sen 2 x
 y  3cos 2 x sen x  4 cos x sen x 
22 A
y  tg  x 2  2 x 


2x  2
 y 

cos2  x 2  2 x  

22 B
y  cotg  x 2  x 

2x 1 
 y  

sen 2  x 2  x  

23 A
ye
23 B
y  esen ln x
24 A
y
cos  2 x  1
sen  2  x 

cos  2  x  cos  2 x  1  2sen  2  x  sen  2 x  1 
 y 

sen 2  2  x 


24 B
y
sen  2 x  1
cos  2  x 

2 cos  2  x  cos  2 x  1  sen  2  x  sen  2 x  1 
 y 

cos 2  2  x 


cosln x
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
ecosln x  sen ln x 
y





x



esen ln x  cos ln x 
y




x


5
24 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
ESERCIZI
7. LA DERIVATA DI [f (x)]g(x)
Calcola le derivate delle seguenti funzioni.
25 A
y  x  33 x  4 4 x

1
1
1 


 y 

2 x 3 x 2 4 x3 

25 B
y  2 x  33 x  55 x

1
1
1 


 y 

3 2
5 4
x
x
x 

26 A
y  3 x2  2x  3


2x  2


 y 

2
3 3  x 2  2 x  3 


26 B
y  x  x 1


2x 1


 y 

3
4 4  x 2  x  1 


27 A
y
x2  2
sen  x 

2 x sen  x    cos  x    x 2  2  
 y 

2
3


2  x  2  sen  x 


27 B
x2  2
y
cos  x 

2 x cos  x    sen  x    x 2  2  
 y 

2
3


2  x  2  cos  x 


28 A
y  xx
28 B
y  x x
2
4
2
2 x
2
2 x
 y  x x

 y  x x

2
2
2 x
2 x
 2 x  2  ln x  x  2 

 2 x  2 ln x  x  2 

Determina i punti stazionari della seguente funzione.
29 A
y  4ln x 2  x 2
29 B
y  ln x 2  3x 2
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c  2

3
c  

3 

6
24 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
ESERCIZI
8. LA DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA
Data la funzione y  f  x  , detta g  y  la sua funzione inversa, calcola g'  y  nel punto y0 indicato a
fianco.
30 A
f  x   x3  2x2  1, y0  1, x  1.
1
 4 
30 B
f  x   x3  3x2 1, y0  1, x  2.
1
 9 
Calcola la derivata delle seguenti funzioni.

1  2ln x  x 
 y  4

x  ln 2 x 

ln x
x2
31 A
y  arctg
31 B
y  arccotg
ln x
x2

1  2ln x  x 
 y   4

x  ln 2 x 

32 A
y  arccos(etg x )


etg x
y





cos2 x 1  e2tg x 

32 B
y  arcsen(e )


e tg x
y




cos2 x 1  e2tg x 

33 A
y  arcsen x  ln 2 x  3x


ln  2 x 2  3x   4 x  3 arcsen x 
 y 


2 x 2  3x


2 x  x2
33 B
y  arccos x  ln  3x 2  2 x 

ln 3 x 2  2 x 6 x  2 arccos x 

 y  

3x 2  2 x
2 x  x2


tg x

2


Determina i punti di discontinuità e di non derivabilità della seguente funzione e indicane il tipo.
34 A
y  x2 1
 x  1 e x  1 punti angolosi
34 B
y  x2  x  6
 x  3 e x  2 punti angolosi
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7
24 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
ESERCIZI
Data la seguente funzione, derivala rispetto a ognuna delle variabili, considerando le altre come costanti.
35 A
 t2 
f  x   e3 x  ln  
c

 t2 
2e3 x
e3 x 
3x
y'

3
e

ln
;
y'

;
y'


 x

  t
c
t
c 
c

35 B
 x
f  x   e  ln  2 
c 

e 2t
2e2t 
 x
2t
 y' x  x ; y't  2e  ln  c 2  ; y'c   c 
 


2t
9. LE DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE AL PRIMO
Calcola la derivata prima, seconda e terza delle seguenti funzioni.
36 A
y  e2 x  x2  ln  x  1

1
1
2 
; y  4e 2 x  2 
; y  8e 2 x 
 y  2e2 x  2 x 
2
3
x 1
 x  1
 x  1 

36 B
y  e3x  x2  ln  x  2

1
1
2 
3x
; y  9e3 x  2 
; y  27e3 x 
 y  3e  2 x 
2
x2
 x  2
x  23 

37 A
y  2 x 2 ln x

 y  4 x ln x  2 x; y  4 ln x  6; y 
4
x 
37 B
y  3x 2 ln x

 y  6 x ln x  3x; y  6 ln x  9; y 
6
x 
10. IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE
Calcola il differenziale delle seguenti funzioni.
38 A
y  e x  sen  2 x  ; y  x  1 .
38 B
y  e2 x  cos x ; y  x  2 .
1


x
dx 
 dy  e  sen 2 x  2 cos 2 x  dx; dy 
2 x 1 

1


2x
dx 
 dy  e  2cos x  sen x  dx; dy 
2 x2 

Utilizza il differenziale per calcolare il valore approssimato dei seguenti numeri.
39 A
 2, 011
39 B
1,904 
3
2
8,997 ; ln  0,95 .
;
;
3
1,108 ; ln 1, 23 .
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[8,132; 2,9995;  0, 05]
[3, 616;1, 036; 0, 23]
8
24 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
ESERCIZI
11. LE APPLICAZIONI DELLE DERIVATE ALLA FISICA
40 A
Un corpo si muove in linea retta seguendo la legge oraria s  2t  e2t  1 . Determina la
velocità e l’accelerazione del corpo al variare del tempo e trova in quale istante la velocità è
nulla.
v  2  2e2t ; a  4e 2t ; t  0 
40 B
Un corpo si muove in linea retta seguendo la legge oraria s  3t  e3t  3 . Determina la
velocità e l’accelerazione del corpo al variare del tempo e trova in quale istante la velocità è
nulla.
v  3  3e3t ; a  9e3t ; t  0 
41 A
La traiettoria descritta da un corpo in un piano xOy ha le seguenti equazioni orarie:
 x  2t  1

1

 y  t 2  1
dove t è misurato in secondi e lo spazio è misurato in metri. Scrivi l’equazione cartesiana della
traiettoria e calcola il modulo della velocità all’istante t  1 s , sapendo che la velocità
istantanea è rappresentata da un vettore di componenti v  t    x  t  ; y  t   .


4
17
; v 1 
m/s 
y  2
x  2x  5
2


41 B
La traiettoria descritta da un oggetto su un piano xOy ha le seguenti equazioni orarie:
 x  3t  1

1

 y  t 2  3
dove t è misurato in secondi e lo spazio è misurato in metri. Scrivi l’equazione cartesiana della
traiettoria e calcola il modulo della velocità all’istante t  1 s , sapendo che la velocità
istantanea è rappresentata da un vettore di componenti v  t    x  t  ; y  t   .


9
577
; v 1 
m/s 
y  2
x  2 x  28
8


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