Compiti delle vacanze
classe 4D prof. Paola Carcano
Anno scolastico 2007/2008
Matematica
Tutti gli studenti dovranno ripassare il programma svolto. Gli studenti che concludono l’anno
2007/08 con l’insufficienza in matematica dovranno svolgere tutti gli esercizi allegati.
Gli studenti che concludono l’anno con la sufficienza in matematica devono svolgere, come ripasso
gli esercizi delle verifiche 1, 3, 7, 9, 11, 12 , 13
All’inizio dell’anno scolastico 2008/2009 verrà verificato il lavoro svolto durante le vacanze; tale
verifica costituirà per tutti la prima valutazione.
VERIFICA N. 1 CLASSE 4D
Indica quali tra le seguenti relazioni sono false e quali sono vere, in questo ultimo caso specifica il
perché.
b
c
a)
V
F ……………………………………..
cos
c
b
b)
V
F ……………………………………..
c
a
sin
b
c) arcsin
V
F ……………………………………..
a
b
cb
cos
d) Area
V
F ……………………………………..
2
_______________________________________________________________________________
sin
e) a
V
F ……………………………………..
c
sin
a
ab
c
cos
f) Area
V
F ……………………………………..
2
g) b sin a sin
V
F ……………………………………..
b
Problemi
Risolvi le disequazioni dei seguenti problemi prima senza tener conto delle limitazioni, poi dai la
soluzione del problema geometrico
1) Nel trapezio rettangolo convesso ABCD, di base AB a , gli angoli al vertice A e D sono retti e
l’angolo ACˆB formato dalla diagonale AC con il lato CB è di 30°. Determinare l’ampiezza
CD 3 AD
dell’angolo BAˆ C in modo che sia verificata la relazione:
2.
AB
3) E’ dato un arco di circonferenza AB di centro O, raggio r e ampiezza di 60°. In un punto M
dell’arco si conduca la retta tangente che incontra i prolungamenti dei raggi OA e OB rispettivamente
1 3
OD
in C e in D. Determina la posizione di M in modo che sia verificata la relazione OC
2
Verifica che posto MOˆ C x la disequazione da risolvere è equivalente a sin x cos x 0 .
cos x 3 sin x
Compiti di matematica vacanze 2007/2008
1
4) Sopra una retta, due segmenti consecutivi AB e BC lunghi rispettivamente 2a e a, sono diametri di
due semicirconferenze. Una secante comune s, uscente da A, incontra ulteriormente la prima
circonferenza in M e la seconda in N e P (M, N e P consecutivi). Determina MAˆ B in modo che
a
MB
2
5) Nella semicirconferenza di centro O e diametro AB 2 è inscritto il trapezio isoscele ABCD.
Costruisci il triangolo equilatero CDE il cui vertice E appartiene al semipiano non contenente O.
Posto BOˆ C x :
a)
esprimi l’area s(x) del quadrilatero OCED.
3
sin( 2 x ) rappresenta il grafico della funzione ed evidenzia il tratto
b)
Verificato che s ( x)
2
3
relativo al problema. Determina valore massimo e valore minimo della funzione relativamente alle
limitazioni geometriche
3
s ( x) 3
c)
Determina per quali valori di x si ha
2
VERIFICA N. 2 CLASSE 4B
Risolvere le disequazioni seguenti:
4 cos x
1) 9senxtgx
(1.5 punti)
1 tg 2 x
2)
3)
3 cos x 5sen
x
2
(1.5 punti)
sen x 3sen x 1
3
6
0
cos 2 x cos x 1
4)
2senx(1 2 cos x)
0
senx cos x 1
(1.5 punti)
(1.5 punti)
2 3
4senx cos x 2 cos x 1 0
5)
2
tgx 3
(1.5 punti)
6) In un triangolo rettangolo ABC, l’ipotenusa BC è lunga 2a ed il cateto AC è minore o uguale al
cateto AB. Dal punto medio di M di BC si conduca la perpendicolare all’ipotenusa stessa e
questa incontri il cateto AB nel punto P. Detto x l’angolo ABC, rappresentare la funzione
y AC 3 AB evidenziandone massimo e minimo. Determinare inoltre tale angolo quando è
verificata la relazione: AC PM 2a 2 .(3 punti)
7) Dal vertice A di un triangolo ABC equilatero di lato l si conduca una semiretta che intersechi il
triangolo e tale che la somma dei quadrati delle distanze dai vertici B e C sia 1/2l2.
(2 punti)
VERIFICA N. 3 CLASSE 4B
Risolvere le seguenti disequazioni:
Compiti di matematica vacanze 2007/2008
2
sen x sen x 1
3
3
1)
0 (1.5 punti)
cos 2 x tg 2 x
4
cos x 3 sin x
2)
0 (1 punto)
2tgx 1
3) E’ dato il triangolo acutangolo ABC di cui si conosce la base AB= 10 , tg BAˆ C =2, tg ABˆ C =3.
Calcolare seno e coseno degli angoli  e B̂ e verificare che ACˆB =45°. Calcolare inoltre gli altri
due lati del triangolo. (1.5 punti)
7
4) Condurre in una circonferenza avente centro O e raggio r una corda AB tale che cos AOˆ B .
25
Determinare la misura di AB. Tracciate poi le semirette tangenti all’arco AB nei suoi estremi,
indicare con C il loro punto di intersezione, calcolare i segmenti di tangente e l’area del quadrilatero
AOBC. (2 punti)
5) Sulla circonferenza di diametro AB=2r si prenda un punto P tale che, indicate con D e C
rispettivamente le proiezioni ortogonali dei punti A e B sulla tangente alla semicirconferenza in P,
sia (4 2 )r il perimetro del trapezio rettangolo ABCD: Esprimere in funzione dell’angolo PAB il
perimetro e l’area del triangolo PAB e rappresentare le funzioni ottenute evidenziando il tratto
relativo al problema.Per quale angolo il perimetro e l’area del triangolo risultano massimi o
minimi? (3 punti)
VERIFICA N. 4 CLASSE 4D
A)
Traccia i seguenti grafici:
1) y arccos x 2
(pti. 1)
2) y arctan(1 x) 3
(pti. 1)
sin 2 x
3) y
(pti. 0,5)
4) y 2 sin( x)
(pti. 1)
1 cos x
B) Calcola i valori delle seguenti espressioni: (pti: 0.5*3)
3
1 7
1
1) sin( arctan )
2) cos arcsin
3) tan 3 arccos
2
3 2
3
C) Rappresenta sulla circonferenza goniometrica gli archi che soddisfano alle seguenti relazioni e
scrivi la soluzione corrispondente.
2
3
1
1
sin x
1) cos x
2) sin x
2
2
2
2
3
3
cos x
3) sin x
(pti: 0.5*3)
2
2
D) Dopo aver rappresentato sulla circonferenza goniometrica gli angoli indicati, specifica se le
seguenti relazioni sono vere o false:
1
1
1
1
1) arcsin arccos
2) arctan arcsin
3
3
3
5
2
3) arccos arcsin( 1)
(pti: 0,5*3)
3
VERIFICA N. 5 CLASSE 4D
1) Calcola il valore delle seguenti espressioni: (pti:2)
Compiti di matematica vacanze 2007/2008
3
1
a) sin ar cos ..............................................................................
3
2
1
b) sin ar cos ..............................................................................
3
3
1
c) tg ar cos ..............................................................................
3
2
1
1
d) sin ( ar cos ..............................................................................
3
2
2) Traccia il grafico della funzione f ( x) 3 sin x cos x 1 e determina:
a) le intersezioni con gli assi cartesiani;
(pti:2)
b) il periodo;
c)l’espressione analitica della funzione simmetrica di f(x) rispetto all’asse delle ordinate.
3) Risolvi le seguenti equazioni o disequazioni (pti: 2)
x
a) sin x 3 cos 0
b) arccos x
2
2
1
c) cos2 x sin 2 x 0
d) cos x
2
6
4)
Dai la definizione di arcseno e traccia il grafico della seguente funzione, specificando il
dominio: y sin(arcsin x)
(pti. 1.0)
5)
Indica per quale valore di x vale la relazione: sin(arccos x)) 1 x 2 e traccia il grafico di
y 1 x2
(pti. 1.0)
VERIFICA N. 6 CLASSE 4B
1) In un cerchio di centro O e raggio r è data la corda AB, lato del triangolo equilatero inscritto.
Determinare sulla semiretta tangente in A al cerchio, situata rispetto ad AB nel semipiano che non
2
2
contiene O, un punto P in modo che valga la relazione: AP PB 3kr2 dove K è un numero
positivo. Discussione. (2.5 punti)
2) Dato il triangolo equilatero ABC, il cui lato misura a, si determini sul lato BC un punto P in modo
che, detta M l’intersezione della semiretta AP con la perpendicolare per B al lato AB,
2
2
2
risulti: CA CM 4MB .
(2.5 punti)
3
3) Nel triangolo ABC, isoscele sulla base AB, è cos ABˆ C = . Condurre per A internamente all’angolo
5
CAˆ B una semiretta e indicare con D il punto di intersezione di essa con il lato BC. Esprimere, in
7 BD 5 AB
funzione dell’angolo che tale semiretta forma con la base, il rapporto: y
.
AD
Rappresentare graficamente tale funzione mettendo in evidenza il tratto relativo al problema. (2.5
punti)
4) Rappresentare la funzione seguente: y 2senx cos x 2 cos2 x
VERIFICA N. 7 CLASSE 4D
Compiti di matematica vacanze 2007/2008
4
1) Traccia i grafici delle seguenti funzioni e completa le richieste (pti. 3)
y cos( x) tan( x) 3
c)
b) y 2 tan( x)
y arcsin( x 1) 1
a)
Dominio:
Dominio:
Dominio:
Insieme delle immagini:
Immagine di 0:
Controimmagini di 0:
Intervallo massimale di invertibilità
contenente x=0
Insieme delle immagini:
Immagine di :
4
Controimmagini di 1:
Intervallo massimale di invertibilità
contenente x=0
Insieme delle immagini:
Immagine di :
4
Controimmagini di 5:
Intervallo massimale di invertibilità
contenente x=0
2) Indica per quali valori di le seguenti uguaglianze sono vere: (pti. 1)
a)
sin 2 sin
b)
sin 2 sin
c)
tan 2 tan
d) 1 sin 2 cos
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5
3) Indica se le seguenti uguaglianze sono identità (pti. 1.5)
a) cos( ) sin( )
2
b) cos(6 ) cos( )
3
c) cos 2 ( ) sin 2 ( )
2
d) cot an( ) tan( )
2
e) cos( 2 ) sin( 2 )
2
f) cos( 2 ) 2 cos
4) Calcola il valore delle seguenti espressioni:
3
(pti. 0.5)
2
2
tan cot an
b)
sapendo che 3 arccos
(pti. 0.5)
5
5)
Senza utilizzare la calcolatrice calcola il valore della seguente espressione, motiva in
modo esauriente la tua risposta:
a) cos sin
sapendo che tan 2 e
sin 2 (17) sin 2 (70) sin 2 (73) sin 2 (20)
(pti. 0.5)
….un po’ di teoria….
6) Dai la definizione di arcoseno e traccia il grafico della seguente funzione, specificando il
dominio: y cos(arccos x)
(pti. 0.5)
7) Dai la definizione della funzione arctangente e determina il dominio della funzione
f ( x) arctan(tan x) . Traccia il grafico di f (x ) . (pti. 1)
8) Dimostra che per qualunque x R vale la relazione: cos(arctan ( x))
1
1 x
2
(pti. 0.5)
VERIFICA N. 8 CLASSE 4D
A) Risolvi le seguenti equazioni goniometriche:
x
1) cos( 2 x ) sin x 0
3) sin x 3 sin 0
3
2
x
4) 8 sin 3 (4x) 1 0
2) sin sin( x ) 0
2
6
B) Considera le seguenti equazioni, indica quali non ammettono soluzione e spiega il perché, delle
rimanenti determina la soluzione.
1) arcsin x x
4) sin x
2
2) tan x
2
5) sin x
2
3) tan x
2
C) Dai la definizione di arcseno e arccoseno e risolvi le seguenti disequazioni:
Compiti di matematica vacanze 2007/2008
6
1) arccos x
3) arcsin x
2
2) arccos x 0
4) arcsin x
2
4
D) Utilizzando opportuni grafici (il più possibile accurati), indica quante soluzioni ha la seguente
x
equazione: arcsin sin( x)
2
E) Traccia il grafico della funzione y sin x 3 cos x 3 e determina:
a) le intersezioni con gli assi cartesiani;
b) il periodo ;
c) le intersezioni con la retta orizzontale passante per il punto A 2 ; 3
F) Traccia il grafico della funzione f ( x) 3 4 cos 2 x e determina:
a) le intersezioni con gli assi cartesiani;
b) i valori di x in cui la funzione è positiva;
c) l’espressione della funzione simmetrica di f(x) rispetto all’asse delle ordinate
G) Per ciascuna richiesta scrivi l’espressione analitica di una funzione goniometrica che la soddisfi e
tracciane il grafico
a) funzione sempre positiva con asintoti di equazione x k con k Z
b) funzione sempre negativa con asintoto di equazione y 2
c) funzione simmetrica rispetto all’asse delle ordinate che interseca l’asse x nei punti x k
con
2
k Z
d) funzione con dominio D 2;4
.
VERIFICA N. 9 CLASSE 4B
1) La semicirconferenza di diametro BC ed il triangolo equilatero ABC giacciono ambedue in uno
dei semipiani individuati dalla retta BC. Indicati con M ed N le ulteriori intersezioni dei lati AB
ed AC con la semicirconferenza data, sia P un punto dell’arco MN della semicirconferenza.
Denotata con x la misura dell’angolo PBˆ A , si rappresenti graficamente la funzione:
2
y
2
PB PA
AC
2
mettendo in evidenza il tratto relativo al problema.
(2.5 punti)
2) Considera il quadrato ABCD di lato 2r e costruisci, internamente ad esso una semicirconferenza
di diametro AB. Considera un punto P variabile sulla semicirconferenza e indica con x l’angolo
PAˆ B .
PK 3
Determina le soluzioni dell’equazione
PQ 4
Esprimere la funzione: y PK PQ e dire per quale posizione di P la funzione ha valore
minimo o massimo.
(2.5 punti)
Compiti di matematica vacanze 2007/2008
7
3)
Data la funzione f ( x) 2 sin x 2 cos x sin x 1 determina:
le intersezioni con gli assi cartesiani
per quali valori di x la funzione è positiva
per quali valori di x si ha f(x)<-1
Rappresenta graficamente la funzione in un periodo
Partendo dal grafico, al variare del parametro reale k, indica quante soluzioni ha l’equazione
f ( x) k in 0; .
(3 punti)
2
2
VERIFICA N. 10 CLASSE 4D
A) Risolvi le seguenti equazioni o disequazioni (punti: 3)
1)
7) log (3x ) 3 2
3x 1
0
1
8)
25
3 x 3
x 3
sin x
cos x
5
2) 2
4
0
x1
x1
9) (2 x 3)(3 x 2) 0
3) 3 5 3 6 0
10) 11x 18 11 x
4) 2 2 x 2 x 1 0
5) 2 5 x 7 3 x1 0
6) log 3 (2 x 1) 2
C) Risolvi graficamente le seguenti disequazioni (punti:2)
2
1)
3
x
2x 1
0
x
D) Data la funzione y
2) (1 4 x 2 ) 3 x1 2
1 5 x1
2(2 x2 8)
determina:
a) dominio
b) intersezione con gli assi cartesiani
c) per quali valori di x si ha f(x)>0
(punti: 1)
1
E) Considera la funzione y
,
1 3 x1
a) determina il dominio
b) determina le intersezioni con gli assi
(punti: 2)
c) traccia il grafico
d) dal grafico deduci i limiti agli estremi del dominio.
VERIFICA N. 11 CLASSE 4B
Risolvere le seguenti disequazioni (1.25 punti ciascuna):
1
1) log 3 ( x 2) 2 log 1 x
log 2 3
3
Compiti di matematica vacanze 2007/2008
8
2)
4 x 2 x2 3
0
log 1 log 1 ( x 2)
5
5
3) 3 senx 2 33senx 12 8 3 senx
ln( senx ) ln( senx 3)
2
ln( senx 1)
4)
5) Risolvere graficamente la disequazione seguente:
(1.5 punti)
ln x 1 ln x 1
6) Dato un semicerchio di centro O e diametro AB=2r, determinare una corda CD, in modo che
COˆ D sia retto e che l’area della superficie generata dalla corda CD, ruotando di un giro
completo intorno alla retta AB, sia k 2r 2 . Discussione. (2.5 punti)
VERIFICA N. 12 CLASSE 4D
1)
3 x1 32 x 4
3x
2) log 3 (10
8
3
9
) 2x 1
3 2 x 2
3) log 3 x 3 log 9 3 x 3
x2
55
x2
log 2 x 3
0
2x 4x
7)
x
81 9
x
x 2
3 x
4
8) 2 x 1 3 2 x
9) x log x 2
4) 2 x 1 x 2 0
5) 25
6)
10)
500 0
log 2 ( x 2 4) 2
2 x 3x 5x
0
VERIFICA N. 13 CLASSE 4B
1) Rappresentare la funzione: y tg
1
y log f ( x) e y
2
x
1 1 e successivamente:
2
f ( x)
2) Rappresentare (come funzione composta):
(2 punti)
1
y log 1 2 x
2
2
(1.5 punti)
3) Rappresentare la funzione: y 3senx cos x e successivamente:
1
y
e y f (x)
(2 punti)
f ( x)
4) Rappresentare (Determinare il dominio, il segno, le intersezioni con gli assi, gli eventuali
x 1
asintoti) la funzione seguente: y
(1.5 punti)
x 2
5) Rappresentare (Determinare il dominio, il segno, le intersezioni con gli assi, gli eventuali
x 2 2x
asintoti) la funzione seguente: y ln 2
(2 punti)
x 1
Compiti di matematica vacanze 2007/2008
9
