aprile

Corso di CALCOLO NUMERICO – CdL in CHIMICA
Appello del 16 aprile 2009
Esercizio 1
(punti: 2/2/4)
 x 2  2 x3 
2
  2 x1

Si consideri il sistema lineare Ax  b seguente

x3   2
  2 x1
 2x  x  x 
0
1
2
3

1. Risolvere il sistema lineare Ax  b con il metodo di eliminazione di Gauss senza pivot
2. Scrivere la fattorizzazione A  LU della matrice A
3. Calcolare la matrice inversa di A come A 1  U 1 L1
Esercizio 2
(punti: 2/4)
 2 2 0 
Si consideri il sistema lineare Ax  b con A    1 4  1


 0  1 2 
1. Scrivere la matrice di iterazione del metodo di Jacobi
2. Stabilire se il metodo di Jacobi sia convergente o meno
Esercizio 3
(punti: 3/2)
Si determini la formula di quadratura W   f (1)   f (0)   f (1) che abbia il massimo grado
di precisione per approssimare l’integrale 22 f ( x) dx .
1. Quali sono i coefficienti  ,  della formula?
2. Qual è il suo grado di precisione (cioè il massimo grado dei polinomi per cui è esatta)?
Esercizio 4
(punti: 2/2)
2
Si consideri la funzione y( x)  x  x  2 nell’intervallo  1,1 .
1. Scrivere il polinomio P1 che interpola la funzione nei punti x0  1, x1  1
2. Scrivere il polinomio P2 che interpola la funzione nei punti x0  1, x1  0, x2  1
Esercizio 5
(punteggi: 2/3)
3
2
Si consideri il polinomio y( x)  2 x  3x  1 .
1. Stabilire che esso si azzera in un solo punto    (motivando la risposta) e individuare un
intervallo x0 , x1  cui sia applicabile il metodo di bisezione
2. Applicare tre volte il metodo di bisezione a partire da tale intervallo x0 , x1  e determinare
l’errore massimo commesso prendendo x 4 come approssimazione della soluzione 
Esercizio 6
(punteggi: 3/2)
Si consideri il seguente metodo multistep lineare Yn1  a Yn  Yn1  h b f ( xn , Yn ) per approssimare
un problema di Cauchy.
1. Determinare i coefficienti a, b in modo che il metodo risulti consistente del massimo ordine
2. Qual è tale ordine massimo di consistenza?
Corso di CALCOLO NUMERICO – CdL in CHIMICA
Appello del 16 aprile 2009
Domanda 1
Illustrare il metodo dei minimi quadrati per approssimare una sequenza di punti con la retta di
regressione lineare.
Domanda 2
Introdurre la formula di quadratura dei trapezi semplice e composita per approssimare l’integrale

b
f ( x) dx .
a
Qual è l’errore commesso con la formula composita?
Domanda 3
 y ' (t )  f (t , y (t ))
Considerare il problema di Cauchy per un’equazione differenziale ordinaria 
.
 y (t 0 )  y 0
Illustrare i seguenti metodi di approssimazione:
- Metodo di Eulero implicito
- Metodo dei trapezi
 y ' (t )   y (t )
Applicare i due metodi al problema modello 
,   0, illustrandone il comportamento
y
(
0
)

1

al variare del passo h .
Corso di CALCOLO NUMERICO – CdL in CHIMICA
Prova di MATLAB
Appello del 23 aprile 2009
Scrivere uno script file che esegua i comandi sotto indicati. Copiare da video i risultati richiesti.
Lo script file deve riportare in prima riga come commento: cognome, nome e n. matricola.
 y ' (t )  8 t y (t )  0.5  t  2
Si consideri il problema di Cauchy 
, la cui soluzione esatta è
1
 y (0.5)  e
2
y(t )  e 4t .
PARTE 1
(punteggio: 1/3/1/3)
 Approssimare il problema di Cauchy con il metodo di Eulero esplicito
 Eseguire prove per h  0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125 ; per ogni valore di h calcolare la
norma infinito dell’errore sui passi eseguiti e compilare la relativa colonna della tabella
sottostante
 Tracciare il grafico sovrapposto di soluzione esatta (rosso) e approssimata (blu) per h  0.25
 Dedurre dalla tabella l’ordine del metodo, motivando la risposta
PARTE 2
 Approssimare il problema di Cauchy con il metodo di Heun
 Ripetere quanto sopra eseguito con il metodo di Eulero esplicito
(punteggio: 1/3/1/3)
PARTE 3
 Approssimare il problema di Cauchy con il metodo di Runge-Kutta
 Ripetere quanto sopra eseguito con il metodo di Eulero esplicito
(punteggio: 1/3/1/3)
Eulero esplicito
h
0,5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
Heun
Runge-Kutta
PARTE 4
(punteggio: 6)
2
Si consideri il problema del calcolo di I    8t y(t ) dt , il cui valore esatto è I  e 16  e 1 .
0.5
Utilizzare il Metodo Composito dei Trapezi Th usando i valori approssimati di y (t ) forniti dal
metodo di Heun per h  0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125 riportando i risultati in format long.
Calcolare l’errore commesso e dedurre dalla tabella l’ordine del metodo.
h
Th
0,5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
I  Th
Consegnare:


una copia dello script file che esegue il lavoro sopra descritto (essenziale per il superamento
della prova);
il presente foglio compilato (anche in caso di ritiro dalla prova).
Corso di FONDAMENTI DI CALCOLO NUMERICO – CdL in SCAA
Appello del 16 aprile 2009
Esercizio 1
Determinare la retta di regressione lineare y  x   che approssima nel senso dei minimi
quadrati i seguenti punti:
y
x
-1
-1
0
1
1
3
2
5
Esercizio 2
Scrivere il problema di Cauchy (ai valori iniziali) per una generica equazione differenziale del I
ordine e introdurre i metodi di Eulero esplicito e di Heun.
Applicare quindi tali metodi al problema
 y ' ( x)  4 y ( x), x  0

 y (0)  1
trovando la soluzione approssimata e illustrandone le proprietà.
Esercizio 3
Verificato che la cubica y  2 x 3  1  3x 2 si azzera in un solo punto   (1,2) , approssimare  con
il metodo di bisezione, calcolando le prima tre iterate x2 , x3 , x4 e indicando l’errore massimo
commesso con x 4 .