Generalizzazioni della formula di Eulero
Dato un poliedro convesso, il numero v dei vertici, il numero s degli
spigoli ed il numero f delle facce sono legati dalla formula
v – s + f = 2,
trovata da Descartes e ripresa da Eulero, di cui oggi porta il nome. Il
giovane Cauchy esordì nel mondo scientifico con un lavoro sui
poliedri, in cui provò molti interessanti teoremi legati a questa
famosa identità.
Cauchy precisò il risultato di Eulero provando che, se a, b, c, d, e,…
sono i numeri di facce triangolari, quadrangolari, pentagonali,
esagonali, ettagonali, ecc. del poliedro, questi sono legati al numero
dei vertici v dall’identità:
4v – 8 = 2a + 4b + 6c + 8d + 10e +…..
Cauchy dimostrò anche che la formula di Eulero continua a valere se
si sostituiscono alle facce singole raggruppamenti di più facce: il
numero v ed il numero s indicano allora rispettivamente il numero di
vertici ed il numero di spigoli che delimitano questi raggruppamenti,
che Cauchy chiamava porzioni.
Immaginiamo ora di decomporre un poliedro convesso in altri
poliedri, aggiungendo un qualunque numero di vertici al suo interno.
Se v, f, s indicano, rispettivamente, i numeri complessivi dei vertici,
delle facce e degli spigoli, e p indica il numero dei poliedri, vale
l’identità:
v + f = s + p + 1.
In assenza di decomposizione, il poliedro è uno solo, cioè p=1. Si
ottiene allora, come caso particolare, la formula di Eulero.
Aggiungendo, ad esempio, un vertice al centro di un cubo, lo si
suddivide in sei piramidi, aventi per basi le sue facce. In tal caso v =
9, f = 18, s = 20, e questi valori verificano l’identità
9 + 18 = 20 + 6 + 1.
