LA MACCHINA DI BOLTZMANN
Si può pensare che somministrando energia si possa far
uscire il sistema da minimi locali.
Ciò va fatto lentamente, perché una scossa violenta può
allontanare il sistema anche dal minimo globale.
Il metodo migliore è somministrare energia e poi ridurla
lentamente.
Questa idea viene usata in metallurgia, dove uno stato
ordinato del metallo viene ottenuto prima arrivando alla
fusione, poi lentamente riducendo la temperatura.
La riduzione della temperatura man mano che il processo
è in corso si dice simulated annealing o ricottura
simulata.
Si deve a N. Metropolis per la meccanica statistica (1953)
E’ stato applicato all’ottimizzazione da S. Kirkpatrick nel
1983
Questo metodo si può riprodurre aggiungendo alla rete di
Hopfield una regola di aggiornamento probabilistica, e la
rete che lo riproduce si chiama Macchina di Boltzmann.
Ci sarà un parametro che varia, la “temperatura”, per cui
ad alta T la probabilità di saltare a energia più alta è molto
maggiore che a basse temperature.
Quando la temperatura si abbassa, la probabilità di
assumere il corretto stato di minima energia si avvicina ad
1, e la rete raggiunge l’equilibrio termico.
Ogni unità della rete effettua un salto energetico
Ek = wkisi –k
e passa ad uno stato di minor energia secondo la regola
probabilistica (funzione di transizione)
pk = 1/ (1 + e –Ek/T)
Si vede che la probabilità di transizione ad uno stato di
energia più alta è maggiore ad alte T che a basse T.
Ora la rete può assumere una configurazione di stati stabili
secondo la distribuzione di Boltzmann
pa= k e –Ea/T
ossia dipende dall’energia dello stato e dalla temperatura
del sistema.
Gli stati ad energia più bassa sono più probabili, infatti se
Ea < Eb
Pa /Pb >1
per cui Pa > Pb.
Quindi il sistema tende ad uno stato di minima energia.
