DIDATTICA DELLA MATEMATICA I
Introduzione alle Funzioni
Goniometriche Fondamentali:
SENO COSENO E TANGENTE
Ssis Veneto
Padova 2001-2002
Prof.: Enrico Gregorio
Specializzando: Michele Maurizio Laino Matr.: R01818
1
Finalità e obiettivi dell’insegnamento della
Matematica
L’insegnamento della matematica nel triennio di una scuola secondaria superiore amplia e
prosegue quel processo di preparazione culturale e di promozione umana dei giovani che è iniziato
nel biennio; in armonia con gli insegnamenti delle altre discipline, esso contribuisce alla loro
crescita intellettuale ed alla loro formazione critica. In particolare, nell’Ambito Scientifico, essa
potenzia e consolida le attitudini dei giovani verso gli studi scientifici e fa acquisire quella mentalità
scientifica che consentirà loro di seguire con profitto e senza traumi gli stessi studi scientifici a
livello universitario.
Fig.
Fig. 1
2
Introduzione alle Funzioni Goniometriche e
relativa organizzazione della didattica.
Mappa Concettuale:
D = R; C = [-1,1]; f dispari
D = R; C = [-1,1]; f pari
D = R-/2 + k; C = R
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Prerequisiti
Concetto di Funzione;
Coordinate cartesiane;
Angoli, angoli orientati e loro misura.
Obiettivi
Introdurre una nuova unità di misura per gli angoli: il Radiante; acquisendo quindi gli
strumenti fondamentali della misurazione degli angoli nei diversi sistemi;
Definire e studiare le proprietà fondamentali delle funzioni seno , coseno e tangente;
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Concetto di Misura
Agli angoli e agli archi circolari si possono applicare le seguenti considerazioni relative ad ogni
grandezza da misurare.
Si dice misura a di una grandezza A, rispetto ad una grandezza U, omogenea alla data, presa
come unità di misura, il rapporto tra A e U, cioè:
a
A
U
Tale rapporto è quindi un numero, essendo A e U grandezze omogenee; razionale se A ed U
sono commensurabili; irrazionale se A e U sono incommensurabili1
Angoli ed archi circolari (o archi di circonferenza)
Angolo: ciascuna delle due parti del piano in cui esso è diviso da due semirette uscenti da uno
stesso punto O chiamato vertice.
Arco di circonferenza: la parte di circonferenza inclusa in un angolo al centro della
circonferenza stessa, ovvero l’intersezione della circonferenza con l’angolo al centro; A e B sono
detti estremi dell’arco.
Fig. 2
Se si assume come unita di misura l’arco il cui angolo al centro è l’angolo unità, per la
proporzionalità esistente fra la misura degli archi di una circonferenza e la misura del
corrispondente angolo al centro, segue che lo stesso numero che indica l’ampiezza dell’arco di una
data circonferenza indica pure l’ampiezza dell’angolo al centro che insiste su questo arco e
viceversa: pertanto si parlerà indifferentemente dell’ampiezza di un arco o dell’angolo al centro
1
Due grandezze omogenee si dicono commensurabili quando ammettono una grandezza sottomultipla comune; si
dicono invece incommensurabili quando non ammettono una grandezza sottomultipla comune.
5
corrispondente. Da quanto detto si può concludere che archi aventi angoli al centro uguali hanno la
stessa ampiezza, che è la misura del comune angolo al centro, mentre hanno lunghezza diversa.
Misura degli angoli e degli archi circolari
Per misurare un angolo (o equivalentemente un arco circolare) si adotteranno i seguenti sistemi
di misura: il sessagesimale ed il circolare.
Sistema sessagesimale
Si assume come unità il grado, che è la novantesima parte dell’angolo retto e si indica col
simbolo 1°.
I suoi sottomultipli sono: il minuto primo (o, più brevemente, primo) che è 1/60 di grado e si
indica con 1’ e il minuto secondo (o, più brevemente, secondo) che è 1/60 di primo e si indica
con 1’’.
Sistema circolare
Si assume come unità il radiante, che è l’arco rettificato la cui lunghezza è uguale al
raggio.
Per misurare in radianti un arco di circonferenza (o del corrispondente angolo al centro), si
esegue il rapporto fra la lunghezza dell’arco e del raggio della circonferenza a cui appartiene
l’arco.
Indicando con l la lunghezza dell’arco e con r quella del raggio, sarà = l/r la misura in
radianti dell’angolo considerato.
Dalla definizione precedente risulta che:
angolo giro =
2 r
2 radianti
r
angolo piatto =
r
r
radianti
r
2
radianti
angolo retto =
r
2
6
D’ora in poi indicheremo la misura degli angoli con le lettere greche e precisamente:
°, °, ° se misurati in gradi sessagesimali;
, , se misurati in radianti.
La relazione dunque che rende possibile la trasformazione in gradi di un angolo espresso in
radianti e viceversa è la seguente:
180° : ° = :
Esercizio: calcolare la misura in gradi dell’angolo
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radianti. (Soluzione: ° = 42°30’);
72
calcolare la misura in radianti dell’angolo 51°45’. (Soluzione: = 0.90275 radianti);
calcolare la misura in gradi dell’unità radiante. (Soluzione: ° = 57°17’44’’,32);
calcolare la misura in radianti dell’unità grado. (Soluzione: = 0,0174 radianti).
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Angoli ed archi circolari orientati
«Orientare» un angolo significa considerare i suoi lati in un certo ordine, cioè stabilire quali
dei due lati deve considerarsi come primo e quale come secondo.
Sia data la semiretta di origine O. Essa può ruotare intorno ad O in due versi opposti, nel verso
antiorario oppure nel senso orario. Si conviene di considerare positivo il senso antiorario, negativo
quello orario.
Fig. 3
senso antiorario “+”
senso orario “-“
fig. 4
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FUNZIONI GONIOMETRICHE
FONDAMENTALI
Circonferenza goniometrica
Una circonferenza si dice goniometrica quando il centro si trova nell’origine di un sistema di
assi cartesiani ortogonali e il raggio è unitario; sulla circonferenza il senso positivo è quello
antiorario.
Fig. 5
Tale circonferenza viene divisa da due diametri perpendicolari AA’ e BB’ in quattro quadranti:
I quadrante, corrispondente all’arco AB
II quadrante, corrispondente all’arco BA’
III quadrante, corrispondente all’arco A’B’
IV quadrante, corrispondente all’arco B’A
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Seno e Coseno di un angolo
Essendo O il centro della circonferenza e OP il raggio unitario, le funzioni seno e coseno
dell’angolo si possono definire nel seguente modo:
Il Seno di un arco (o del corrispondente angolo al centro) è l’ordinata dell’estremo dell’arco e
quindi:
sen( )
PP
PP
OP
Il Coseno di un arco (o del corrispondente angolo al centro) è l’ascissa dell’estremo dell’arco
e quindi:
cos( )
OP
OP
OP
Da quanto affermato, risulta che il seno e il coseno di un angolo:
1. sono numeri, in quanto rapporto tra grandezze omogenee;
2. sono funzioni dell’ampiezza dell’arco (o del corrispondente angolo al centro) in
quanto, variando l’estremo dell’arco e restando immutata l’origine, variano le misure
dell’ordinata e dell’ascissa dell’estremo dell’arco;
3. non sono proporzionali all’ampiezza dell’arco, e cioè sen2 è diverso da 2sen;
4. non dipendono dall’unità di misura prescelta, cioè dal raggio della circonferenza
goniometrica.
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Variazione del seno e del coseno di un angolo
Dalle definizioni date segue che:
sen 0 = 0 = sen 0°
cos 0 = 1 = cos 0°
sen / 2 = 1 = sen 90°
cos /2 = 0 = cos 90°
sen = 0 = sen 180°
cos = -1 = cos 180°
sen (3/2) = -1 = sen 270°
cos (3/2) = 0 = cos 270°
sen 2 = 0 = sen 360°
cos 2 = 1 = cos 360°
Inoltre:
quadrante
I
II
III
IV
/2
0
sen
cresc.
0
cos
1
/2
1
+
1
+
0
-
3/2
decresc
0
0
decresc.
0
3/2
decresc.
decresc.
+
cresc.
cresc.
-1
-1
2
-
-1
-1
0
0
0
-
cresc.
1
+
Variazione del Seno, Coseno e Tangente
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Periodicità del seno e del coseno di un angolo2
Aggiungendo o sottraendo all’arco AP = (fig. 5) multipli di 2, i nuovi archi + 2k hanno
ancora lo stesso estremo P e, di conseguenza, il seno e il coseno degli angoli + 2k sono
rispettivamente uguali al seno e al coseno dell’angolo , cioè:
seno e coseno di un angolo sono funzioni periodiche con periodo 2
Pertanto:
sen( ) sen( 2k )
cos( ) cos( 2k )
sen( ) sen( k 360 )
cos( ) cos( k 360 )
Sinusoide e Cosinusoide
Ci proponiamo ora di studiare e rappresentare graficamente le funzioni:
y = senx sinusoide
e
y = cosx cosinusoide
dove x misura in radianti l’arco rettificato; il seno dell’arco è l’ordinata del suo estremo e il
coseno l’ascissa dell’estremo stesso.
fig. 6
Una funzione y = f(x) si dice periodica, con periodo T, se il valore di f(x) non cambia quando, aumentando l’angolo x
di T, qualunque sia x, si ha f(x+T) = f(x).
2
12
Per rappresentare le due curve, ci si riferirà ad un sistema di assi cartesiani ortogonali,
determinando i punti che:
per la funzione seno hanno per ascissa l’arco rettificato e per ordinata l’ordinata
dell’estremo dell’arco sulla circonferenza goniometrica
SINUSOIDE
Fig. 7
per la funzione coseno, hanno per ascisse l’arco rettificato e per ordinata l’ascissa
dell’estremo dell’arco sulla circonferenza goniometrica
COSINUSOIDE
Fig. 8
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Relazione tra seno e coseno di uno stesso angolo
La somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo vale 1, cioè:
sen 2 cos 2 1
(1)
qualunque sia l’angolo .
Nel triangolo OPP’ (fig. 5), infatti, per il Teorema di Pitagora si ha:
PP 2 OP 2 OP 2
Essendo PP sen , OP cos e OP 1 , risulta:
sen 2 cos 2 1
La relazione (1) ci permette di calcolare il valore del seno di un angolo quando è noto il valore
del coseno dello stesso angolo e viceversa:
sen 1 cos 2
cos 1 sen 2
(2)
I valori di sen e di cos sono entrambi accettabili in quanto si ha:
0 1 sen 2 1
0 1 cos 2 1
Osservazione: seno e coseno sono funzioni definite in tutto e a valori in [-1, 1].
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Tangente trigonometrica di un angolo
Consideriamo la circonferenza goniometrica e conduciamo:
a. la retta t, tangente in A alla circonferenza nell’origine degli archi;
b. l’arco AP = (fig. 9)
Fig. 9
Prolunghiamo il raggio OP sino ad incontrare la retta t in T. Ciò premesso definiremo la
tangente trigonometrica di un arco (o del corrispondente angolo al centro) l’ordinata del punto
di intersezione (quando esiste) fra la tangente geometrica nell’origine degli archi e il
prolungamento del raggio estremo dell’arco, cioè:
tg
AT
AT
OP
Osservazioni: se il punto P (fig. 9) coincide con A, cioè se = 0, il punto T ha ordinata nulla e
sarà:
tg 0 = 0
Al variare del punto P sull’arco AB, l’ampiezza di varia da 0 a
; quando si approssima a
2
, la tangente trigonometrica AT cresce e il suo valore è maggiore di un qualunque numero per
2
quanto grande esso sia. Si dice cioè che, al tendere di a , la tangente dell’angolo tende a e
2
cioè:
lim tg
o
2
15
, la retta a cui appartiene il raggio vettore è parallela alla tangente t; non esiste
2
dunque il punto d’intersezione e quindi:
Per =
la tangente di
non esiste
2
, la tangente t assume valori
2
negativi, in valore assoluto maggiore di un numero grande a piacere; si dice cioè che, al tendere di
a , la tangente dell’angolo tende a , cioè:
2
Se poi P si avvicina a B per valori dell’arco AP maggiore di
lim tg
0
2
Quando il punto P raggiunge A’, cioè percorre l’arco A’B, l’ordinata del punto T è nulla e sarà:
tg = 0
Si deduce inoltre che la tangente di un angolo ha periodo , cioè:
tg tg ( k )
La Tangentoide
Per ottenere il grafico della tangente, riferendoci ad un sistema di assi cartesiani oxy, basterà
rappresentare i punti che hanno come scissa l’arco rettificato di circonferenza e per ordinata quella
del punto in cui il raggio vettore incontra la tangente t. Unendo i punti trovati, si ottiene la
tangentoide di equazione y =tg(x) (fig. 10):
Fig. 10
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Relazione tra la tangente, il seno e il coseno dello
stesso angolo
La tangente di un angolo è uguale al rapporto fra il seno e il coseno dello stesso angolo, cioè
(fig. 9):
tg
sen
cos
(3)
I triangoli OAT e OP’P rettangoli in A e P’ e aventi TOA in comune sono simili avremo quindi
la seguente proporzione:
AT : P’P = OA : OP’
da cui, essendo
AT tg , P' P sen , : OA 1 e OP ' cos
sarà:
tg
sen
cos
Per le (2), si può anche scrivere:
sen
1 cos 2
tg
cos
1 sen 2
Osservazione: l’unico caso di impossibilità si ha per
2
k .
1
Esercizio: essendo cos , nell’ipotesi che l’estremo dell’arco sia nel III quadrante,
4
calcolare tg . (Soluzione: tg = 15 ).
Espressione di seno e
tangente
coseno in funzione della
Dalla relazione fondamentale della trigonometria (1), si ha:
sen 2
sen 2
sen 2 cos 2
cos 2
cos 2
sen 2 cos 2
Dividendo numeratore e denominatore delle frazioni per cos 2 0 , si ha:
17
sen 2
tg 2
1 tgs 2
cos 2
1
1 g 2
da cui:
sen
tg
cos
1 tg 2
1
1 tg 2
1
, calcolare il seno e il coseno dell’angolo , supposto che
4
17
17
l’estremo dell’arco cada nel IV quadrante. (Soluzione: sen =
; cos 4
).
7
7
Esercizio: essendo tg
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