L’iperbole
Si definisce iperbole il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze
da due punti fissi detti fuochi.
Fissiamo nel piano due punti distinti F1 e F2 e un numero
reale positivo k (minore della distanza tra i due punti).
L’iperbole è l’insieme di tutti i punti P per i quali
PF1 PF2 k
Vediamo come si costruisce geometricamente un’iperbole, di cui sia data la distanza tra i fuochi e la
costante k. Sia F1F2 6 e k . Fissiamo alcune coppie di numeri che abbiano come differenza 4.
Per esempio (1,5); (2,6); (3,7); (7,3); (6,2); (5,1).
Costruiamo la circonferenza con il centro in F1 e
raggio 1 e la circonferenza con il centro in F2 e raggio
5. Il punto A in cui le circonferenze si intersecano
appartiene all’iperbole, e anche il punto B in cui si
intersecano le circonferenze con centro in F1 e raggio
5 e la circonferenza con il centro in F2 e raggio 1.
Costruiamo la circonferenza con il centro in F1 e
raggio 2 e la circonferenza con il centro in F2 e raggio
6. I punti D e E appartengono all’iperbole.
Costruendo altre circonferenze con lo stesso criterio
otteniamo altri punti dell’iperbole.
Facendo variare il punto P con continuità si ottiene
l’iperbole.
A questo link: bbs.tes.mi.it/~pia/iperbole_costruzione_dinamica.html si può visualizzare
un’animazione di quanto spiegato sopra.
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Analizzando la costruzione descritta possiamo osservare che l’iperbole è un curva aperta con due
assi di simmetria tra loro perpendicolari: la retta che contiene i fuochi e l’asse del segmento che
contiene i fuochi. I punti A e B si chiamano vertici dell’iperbole
Il segmento AB è chiamato asse trasverso ( o asse focale)
Per la definizione di iperbole AF2 AF1 k e BF1 BF2 k
AB AF2 BF2 ma anche AB BF1 AF1
Inoltre
Sommando le due uguaglianze, si ottiene
2 AB AF2 BF2 BF1 AF1 AF2 AF1 BF1 BF2 k k
Quindi AB k
La costante k (differenza tra le distanze di ogni punto dell’iperbole dai fuochi) è uguale alla
lunghezza dell’asse trasverso.
Analogamente a quanto fatto per l’ellisse, poniamo
(lunghezza dell’asse trasverso)
AB 2a
F1F2 2c
(distanza tra i fuochi)
Tracciamo la circonferenza con il centro nel punto O in cui si intersecano gli assi di simmetria, e
con raggio c. La circonferenza interseca le rette per A e per B perpendicolari alla retta F1F2 in
quattro punti che sono i vertici di un rettangolo
Poniamo WB b . I lati del rettangolo misurano 2a e 2b.
Per il teorema di Pitagora c 2 a 2 b 2
Le rette individuate dalle diagonali del rettangolo formano quattro angoli: i punti dell’iperbole
appartengono ai due angoli opposti che contengono i fuochi.
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Inoltre i punti dell’iperbole, via via che si allontanano dai vertici, si avvicinano sempre più ai lati di
questi due angoli, senza mai toccarli. Le rette individuate dalle diagonali del rettangolo si chiamano
asintoti dell’iperbole.
Quanto maggiore è la distanza tra i fuochi, tanto più l’iperbole risulta “schiacciata”
(bbs.tes.mi.it/~pia/forma_iperbole.html)..
c
Come per l’ellisse, l rapporto
ci dà una “misura dello schiacciamento” dell’iperbole, e viene
a
chiamato eccentricità.
Dato che c a , l’eccentricità dell’iperbole è un numero maggiore di 1. Quanto più è vicina a 1,
tanto più l’iperbole è “schiacciata”.
In particolare, quando a b , il rettangolo diventa un quadrato, gli asintoti son perpendicolari, e
c
2 . In questo caso l’iperbole si dice equilatera.
a
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