CLASSI IV
DOMANDE GONIOMETRIA
1.
4.
Costruire la circonferenza goniometrica indicandone le proprietà e il
verso di percorrenza.
Scrivere la formula di passaggio da gradi a radianti per un angolo.
Scrivere in tabella a colonne o sulla circonferenza gli angoli notevoli in
radianti.
Definire, con l’ausilio di un grafico, le funzioni goniometriche.
5.
Show that: tg
6.
Show that:
7.
Show that:
8.
Show that:
9.
Show that:
10.
11.
13.
14.
15.
Quali delle identità precedenti è valida x R ?
Quali delle identità precedenti sono sottoposte a condizioni e quali sono
queste condizioni?
Esprimere in tabella i valori delle funzioni senx,cosx e tgx per gli archi
notevoli.
Esprimere in tabella le formule degli archi associati per senx.
Esprimere in tabella le formule degli archi associati per cosx.
Esprimere in tabella le formule degli archi associati per tgx.
16.
Dimostrare che sen
17.
18.
19.
Determinare l’espressione in radianti dell’angolo x=144°.
Costruire e definire geometricamente le 6 funzioni goniometriche.
Definire le principali formule di trasformazione delle funzioni
goniometriche.
Esprimere in tabella le formule di riduzione degli archi associati ed
illustrarle con un grafico.
Dimostrare la formula di sottrazione del coseno.
Ricavare la formula di addizione del seno dalle precedenti.
Ricavare la formula di sottrazione del seno dalle precedenti.
Ricavare la formula di duplicazione del seno dalle precedenti.
Ricavare la formula di bisezione del seno dalle precedenti.
Spiegare la differenza fra identità ed equazione.
2.
3.
12.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
sin
.
cos
cos
ctg
.
sin
1
sec
.
cos
1
cos ec
.
sin
1
cos
.
1 tg 2
6
1
.
2
1
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
Scrivere il procedimento di risoluzione di un’equazione elementare del I
tipo in seno.
Scrivere il procedimento di risoluzione di un’equazione elementare del I
tipo in coseno.
Scrivere il procedimento di risoluzione di un’equazione elementare del I
tipo in tangente.
Scrivere il procedimento di risoluzione di un’equazione elementare del II
tipo in seno.
Scrivere il procedimento di risoluzione di un’equazione elementare del II
tipo in coseno.
Scrivere il procedimento di risoluzione di un’equazione elementare del II
tipo in tangente.
Cosa si intende per equazione riconducibile ad elementare. Portare un
esempio.
Definire il concetto di funzione periodica.
Definire i periodi delle funzioni goniometriche seno, coseno e tangente e
spiegare da quali coefficienti dipendono e come.
Quante soluzioni ha un’equazione goniometrica? Distinguere i casi del
seno, del coseno e della tangente.
Cosa si intende per equazione riconducibile ad elementare. Portare
un esempio.
Definire il concetto di funzione periodica.
Definire i periodi delle funzioni goniometriche seno, coseno e tangente
e spiegare da quali coefficienti dipendono e come.
Quante soluzioni ha un’equazione goniometrica? Distinguere i casi del
seno, del coseno e della tangente.
Cosa si intende per invariante ortogonale?
Qual è l’equazione generica di una conica?
Quali sono gli invarianti ortogonali di una conica?
Costruire la tabella di classificazione di una conica.
Scrivere le equazioni di una traslazione e di una rotazione generiche.
Illustrare il metodo di risoluzione di un’equazione lineare omogenea.
Illustrare il metodo di risoluzione di un’equazione lineare non
omogenea.
Enunciare le formule di prostaferesi e, se possibile, spiegarne l’utilità.
Enunciare, e dimostrarne almeno due, i teoremi sui triangoli rettangoli.
Data l’equazione: Asen(t ) K , spiegare l’effetto delle costanti sulle
proprietà della funzione.
Definire il coefficiente angolare di una retta e dare la formula per il
calcolo dell’angolo formato da essa con l’asse X.
Illustrare la risoluzione di un’equazione omogenea di II grado
asen 2 x bsenx cos x c cos 2 x d 0
53.
Costruire la dimostrazione dei teoremi sui triangoli rettangoli ed
enunciarli.
2
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
Enunciare e dimostrare il teorema della corda.
Enunciare la regola per il calcolo dell’area di un triangolo.
Enunciare e dimostrare il teorema dei seni.
Enunciare il teorema di Carnot.
Quanti dati sono necessari e sufficienti per risolvere un triangolo
qualsiasi.
Dati due angoli e un lato, spiegare come si risolve il triangolo.
Dati due lati e un angolo non compreso, spiegare come si risolve il
triangolo.
Dati due lati e l’ angolo compreso, spiegare come si risolve il
triangolo.
Dati tre lati, spiegare come si risolve il triangolo.
3
DOMANDE ESPONENZIALE E LOGARITMO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Definire la funzione esponenziale chiarendo le condizioni sulla base.
Scrivere le proprietà della funzione esponenziale.
Definire la funzione logaritmica chiarendo le condizioni sulla base.
Fornire almeno due esempi che spieghino la definizione di logaritmo.
Scrivere le proprietà della funzione logaritmica riguardanti l’argomento (x).
Scrivere le proprietà della funzione logaritmica riguardanti il cambio di base
(a).
7. Cosa si intende per logaritmo decimale?
8. Descrivere il primo tipo di equazione esponenziale e la sua risoluzione.
9. Descrivere il secondo tipo di equazione esponenziale e la sua risoluzione.
10.Descrivere il terzo tipo di equazione esponenziale e la sua risoluzione.
11.Descrivere il primo tipo di equazione logaritmica e la sua risoluzione.
12.Descrivere il secondo tipo di equazione logaritmica e la sua risoluzione.
13.Quali sono le particolarità della base a nella risoluzione delle disequazioni
esponenziali e logaritmiche?
14.Descrivere il primo tipo di disequazione esponenziale e la sua risoluzione.
15.Descrivere il primo tipo di disequazione logaritmica e la sua risoluzione.
16.Definire la funzione esponenziale e fornirne i grafici.
17.Scrivere le proprietà della funzione esponenziale.
18.Definire la funzione logaritmica e fornirne i grafici.
19.Fornire 4 esempi che illustrino la definizione di logaritmo.
20.Scrivere le proprietà della funzione logaritmica.
4
TEST GONIOMETRIA
1-La tangente di
1
2
a. 2 / 2
è:
4
1
2
b. 3 / 2
c. 1
d.-1
2-La tangente di un angolo è:
a. Il prodotto del seno per il coseno b. La perpendicolare all’angolo
d. Il rapporto tra il seno e il coseno.
c.La parallela all’angolo
3-L’equazione cos x 2 ha per soluzione:
a. x=30°
b. x=0°
c. nessuna
d.x=180°
4-Per qualunque x, è cos(360°+x)=
a. sen(360°+x)
b. senx
c. cosx
d.-cosx
5-Il coseno dell’angolo di 110° è:
a.negativo
b. >0,5
c.uguale al sen20°
d. uguale al cos290°
6-Il seno di un angolo è sempre:
a. misurato in radianti
b. misurato in metri c. un numero puro
d. misurato in gradi
7-Se senx>0 e cosx>0, l’angolo è:
a.compreso tra 0° e 90° b. compreso tra 90° e 180° c. non esiste d. compreso tra 270° e 360°
8-Sia A un angolo. L’espressione senA/tgA è uguale a:
a.1
b. ctgA
c. senA
d. cosA
9-Se il seno di un angolo è 0,8, il suo coseno è:
a. 0,6 b. 0,2 c. 1,8 d. 1,6
10-L’equazione senx=1 , ha come soluzione:
a. x=180°
b. x=0°
c. x=90°
d. x=-90°
11-Data la funzione y sen 2 x , quale delle seguenti relazioni è VERA?
a. y 1 cos 2 x
b. y 1 cos 2 x
c. y senx 2 d. y=senxcosx
12-Se due angoli sono supplementari, cioè x+y=180°, valgono le relazioni:
a. senx=seny e cosx=cosy b.senx=seny e cosx=-cosy c.senx=-seny e cosx=cosy
d.senx=cosy e cosx=seny
13-La funzione senx equivale a:
a.cos(90°-x) b.1-cosx
c.1/cosx
d.nessuna delle precedenti
14-Sia x un angolo,l’espressione cosx/ctgx è equivalente a :
a.1
b.tgx
c.senx
d.cosx
5
15-Per quale dei seguenti angoli il coseno NON è nullo?
a.180°
b.90°
c.270°
d.450°
16-Quale delle seguenti relazioni goniometriche è vera per ogni x?
a.senx=sen(x+180°)
b.cosx=cos(x+180°)
c.tgx=tg(x+180°)
17-ctg90°=
a.1
b.-1
c.infinito
d.0
18-Il coseno di un angolo è sempre:
a.positivo
b.misurato in metri c. un numero puro
19-L’equazione senx=-1, ha come soluzione:
a.x=90°
b.x=180°
c.non ha soluzione
20- sen 2 cos 2 è:
a.positivo
b.1
21-
d.senx=cos(x-180°)
c.dipende da
d.misurato in radianti
d.x=270°
d.-1
sen30°+cos120°=
a) 1
22-
b) 3
c)
3 d) 0
Se x=π-y,quale relazione è vera:
a) senx+seny=1
b) cosx+cosy=-1
23-
c) cosx+cosy=0
Un angolo di ampiezza 3 radianti si trova nel:
a) I quadrante b) II quadrante
c) III quadrante
d) senx+seny=0
d) II giro
24-
Nel III quadrante valgono tutte le relazioni seguenti tranne una, quale?
a) senx<0
cosx<0
b) tgx<0
senx<0
c) tgx>0
cosx<0
d) secx<0
cosecx<0
25-
L’equazione senx+1=3 ha:
a) 0 soluzioni
b) 1 soluzione
31)
d) infinite soluzioni
a) 4 sol.
Indicato con x un angolo la cui misura in radianti varia tra 0 e 2π, l’equazione:
senx+cosx=0
ammette:
b) 2 sol.
c) 1 sol.
d) 8 sol.
27a) 2
Il minimo periodo di :
b) 2 2
c)
26-
30)
c) 2 soluzioni
y cos 2 x , è:
d) 4
L’uguaglianza cos 4 x sen 4 x cos 2 x , è verificata:
a) sempre
b) solo per x
c) solo per x
d) mai
2
sen 2 x
2 , è:
Il valore minimo della x che soddisfa l’equazione
cos 2 x
6
c)
d)
4
3
senx
La funzione y
ha periodo:
cos x
a)
b)
c)
d)
2
4
3
L’equazione 2senx+1=0, ha:
a) una soluzione
b) nessuna soluzione c) infinite soluzioni d) due soluzioni
a)
32)
33)
34)
2
38)
40)
41)
b) 2
c) nessuna di quelle indicate
3
d)
) ha periodo:
c)
d) 6
b) 3
c)
3
Se x=π+y,quale relazione è vera:
a) senx+seny=1
b) cosx+cosy=-1
d) 0
c) cosx+cosy=1
Il valore minimo della x che soddisfa l’equazione
2
d) senx+seny=0
3sen 2 x
2 , è:
cos 2 x
c)
d)
6
4
3senx
La funzione y
ha periodo:
5 cos x
3
a)
b)
c)
d)
5
2
4
L’equazione 23senx-11=0, ha:
a) una soluzione
b) nessuna soluzione c) infinite soluzioni d) due soluzioni
a)
39)
4
sen150°+cos120°=
a) 1
37)
b)
1
, ha fra le sue soluzioni:
cos x
La funzione y cos( 2 x
a) 4
36)
b)
L’equazione senx
a)
35)
2
b)
1
La funzione y cos( x ) ha periodo:
2
3
a) 4
b) 2
c)
d) 6
42)
Nel triangolo ABC, rettangolo in B, l’angolo nel vertice A è tale che:
BC
AB
AC
AB
a) cos
b) cos
c) cos
d) cos
AC
AB
BC
AC
43)
L’insieme dei valori che può assumere la funzione y 2sen( x ), è:
a) da -1 a 1 b) da 0 a 1
c) tutti i valori reali d) da -2 a 2
7
44)
Se in un triangolo rettangolo, l’ipotenusa BC misura 30 e l’angolo β ha il seno 4/5,
allora l’area vale:
a) 216
b) 184
c) 324
d) non si può dire
45)
cos 2 sen 2 , è:
a) sen2
b) cos 2
46)
c) 1
d) 0
Il coefficiente angolare di una retta è:
a) l’angolo θ formato dalla retta e dall’asse X
c) il seno di θ
b) la cotangente di θ
d) la tangente di θ
47)
Se una retta forma un angolo di 30° con l’asse X, il suo coefficiente angolare è:
3
a) 1
b)
c) -1
d) 3
3
48)
sen3x-senx è:
a) sen2x
b) sen 2 3 x
c) 2senxcos2x
d) 2sen2xcosx
49)
Quale fra le seguenti equazioni rappresenta una conica?
a) x+2y=0 b) x 2 y 3x 2 4 0 c) senx+cosx-1=0 d) 2 x 2 xy 3 y 2 x 5 y 1 0
50)
In un triangolo rettangolo, siano γ e β i due angoli acuti; allora vale la relazione:
a) sen γ=sen β
b) cos γ=cos β
c) tg γ=tg β d) sen γ=cos β
51)
Dato un triangolo rettangolo avente cateti a e b, ipotenusa c, angolo opposto ad a ed
angolo β opposto a b, vale la relazione:
a) a c cos( ) b) a c sen
c) a b tg d) b a tg
4
52)
Data una circonferenza di raggio 1 e un angolo alla circonferenza di 30°, la corda
descritta da tale angolo vale:
a) 2
b) 1
c) 0,5
d)
6
53)
Data una circonferenza di raggio 1 e un angolo al centro di 120°, la corda descritta da
tale angolo vale:
3
2
a)
b) 0,5
c) 1
d)
2
3
54)
Un triangolo ha i lati a=2, b=3 e l’angolo γ=60°. Quanto vale la sua area?
a) 3 2
b) 3
c) 6
d) 3 3
55)
In un triangolo sono dati due lati e l’angolo opposto ad uno di essi, quale teorema è
applicabile per risolvere il triangolo?
a) Carnot
b) Pitagora
c) Euclide I d) seni
56)
In un triangolo sono dati due lati e l’angolo compreso fra essi, quale teorema è
applicabile per risolvere il triangolo?
8
a) solo Carnot
b) Pitagora
c) Euclide I
d) seni e Carnot
57)
In un triangolo sono dati due angoli e il lato opposto ad uno di essi, quale teorema è
applicabile per risolvere il triangolo?
a) Carnot
b) Pitagora
c) Euclide I d) seni
58)
Il teorema della corda si usa per dimostrare:
a) Carnot
b) seni
c) l’area del triangolo d) formula di duplicazione
59)
In un triangolo a= 4, b=6 e γ= 15°. Allora c vale circa:
a) 6,4
b) 3,5
c) 5
d) non si può calcolare
60)
Quanti elementi sono necessari per risolvere un triangolo qualsiasi?
a) 2
b) dipende dal triangolo
c) 3 d) 6
Risposta esatta: 1 punto
Risposta non data: 0 punti
Risposta sbagliata: -0,3 punti
9
TEST ESPONENZIALE E LOGARITMO
a
0 se:
b
a.b=0
b.a=0
c.a=b
d.a=1
2I logaritmi in base 10 di x,y,z e t sono rispettivamente: logx=2,7, logy=-1,25, logz=1,5 e
logt=-1,7. In quale ordine i quattro valori sono crescenti?
a.x,t,z,y
b.t,y,z,x
c.y,t,z,x
d.t,z,x,y
log
1-
3Il logaritmo in base 7 di x è un numero y tale che:
7
a. y x
b. x 7 y
c. 10 y 7
d. 7 y x
x y è uguale a:
4-
b. x y
a. y x
c.
5a.0
La potenza 0 0 è:
b.1
6-
Per b>0 e c>0, log
a.
log b
log c
7a.4
1
xy
d.
c.∞
y
x
d.impossibile perché la base è 0
b
è:
c
b. log b log c
c. log b log c
log 2 4 2 è uguale a:
b.16
c.2
d. b log c
d.1
8La funzione y 2 x è:
a.sempre positiva
b.positiva e negativa c.sempre negativa
9L’equazione y a b ha senso:
a. per ogni valore di a e b
b.se a>0
10a. x 2
c.se b>o
d.se a>0 e b>0
c.x=1
d.x=4
Se 2 x 2 , allora:
1
2
b. x log x 2
11logx+logx+logx=
a.log3x
b. log 3 x
12a.0,5
d.costante
c.3x
d. log x 3
Data l’equazione: 5logx=log32, la soluzione è:
b.2
c.5
d.nessuna delle risposte precedenti
10
L’equazione 3 x 9 ha come soluzione:
13a.x=2
d. x
b.nessuna soluzione c.x=-2
log a log b è uguale a:
a
a. log( a b)
b. log
b
1
2
14-
a x y è uguale a:
15a. a x a y
b. a x a y
16- Posto:
a.c<a<b
a=0,21
b.a<b<c
log a
log b
c. log a b
d.
c. a x y
d. x y
b=
1
5
c.c<b<a
1
si ha:
log 2 5
d.b<a<c
e.a<c<b
c=
17- Quale delle seguenti espressioni è uguale a log( 1 x 2 )x : 0 x 1 ?
log 1
a. log x 2
b.
c. 2 log( 1 x) d. log( 1 x) log( 1 x) e. log( 1 x) log( 1 x)
log x 2
log2 7 log1 3
18- Sia:
a.a=4
a2
b.a=7+1/3
2
, allora:
c.a=7/3
d.a=21
e.a=-21
19- Quante delle seguenti uguaglianze sono verificate a 0, a 1 a
log 2 a a
a.Nessuna
1
1
; log a 2 ; (log a a 2 ) (log a2 a) 1 ;
2
a
b.Una
c.Due
d.Tre
20- L’espressione
a. 7 2 x
b. 49 log 7 x
7 2 log7 x , è uguale a:
c.49+x
d.49
1
2
a 1
2 2
e.Tutte
log a
e. 49 log 7 x
21- Data l’equazione: 2logx=log64, la soluzione è:
a.0,5
b.8
c.5
d.nessuna delle risposte precedenti
22- L’equazione 3 x
a.x=2
1
ha come soluzione:
9
b.nessuna soluzione c.x=-2
log a 2 log b è uguale a:
a
a. log( a b)
b. log 2
b
d. x
1
2
23-
c. log a b
d.
log a
log b
11
a x y z è uguale a:
24a. a x a y a z
b. a x a y a z c. a x y z
d. x y z
Risposta esatta: 1 punto
Risposta non data: 0 punti
Risposta sbagliata: -0,3 punti
12
1)
2)
3)
4)
5)
6)
ESERCIZI GONIOMETRIA
8 cos 4sen 2 sen 2 cos
3
6
4
4
3
cos 0 4sen cos sen cos 2
3
3
2
5
3
tg sen cos cos 3 cos 2
4
2
2
3
cos 3 sen 4 sen
2
2
7
3
2
3
cos tg sen ctg tg ctg sen cos
4
4
6
3
3
2
6
13
3
tg sen
6
4
5
4sen 2 cos
6
3
3
7
1
1
1
tg sen
tg
2
4
4
3 6
cos
cos
4
3
7)
sen cos 2 sen 3 sen
8)
cos 3 sen 3
cos sen
1 sen cos
9)
cos ec 2 1 ctg 2
10)
1
cos 2 sen tg cos 1 sen 2
cos
11)
tg tg
1
sec
sen
cos
12)
tg (
13)
5
) cos( )
3
6
tg
5
cos( ) sen( )
3
6
14)
sen 2
1 2sen 2
tg 2
15)
sensen cos cos 1
4
sen(
) tg (
4
1
cos 2
sen
sen
sen
)
2
cos sen 2
2
13
16)
3
sen cos sen sen
2
2
2
cos 3 sen
cos2 sen
17)
3
3
a sen b cos
2
2
3
3
a sen b cos
2
2
18)
Trasformare in tgx:
19)
Sapendo che: sen
8
tgx senx ctgx senx cos 2 x
2
ctg x
4
e che è nel IV quadrante, determinare:
5
cos , tg , cos2 sen .
20)
Sapendo che: tg
7
e che è nel III quadrante, determinare:
24
sen , cos , sec
2
21)
Sapendo che: sec 2 e che è nel II quadrante, determinare:
sen , cos , tg.ctg , cos ec.
22)
3
7
a sen b cos b sen a cos
4
4
6
3
23)
5
3 16
4
a 2 tg 2 ab sen cos 16b 2 cos 2
3
6
4 3
3
7
a ctg 2b
4
24)
Sapendo che: senx
25)
26)
3
7
e che cos y
, calcolare:
5
25
sen ( x y )
The scalar product of two vectors is v1 v2 v1 v2 cos , where is the angle
between v1 ,v2 . Knowing that v1 v2 =9 and that v1 10 and v2 8 , find the
angle .
A building on the other side of a street large 20 metres, is seen under an angle of 60°.
Find the altitude of the building. ( Hint: sketch the diagram of the problem. )
14
27)
La cima di una collina è vista sotto un angolo di 30° dalla piazza di un paese P
posto in pianura. Se ci si allontana di altri 500 metri dalla collina, la sua cima è
vista sotto un angolo di 15° . Quanto è alta (sulla pianura) la collina ? E se i due
angoli sono il primo di 45° e il secondo di 30° ?
Esercizio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Punteggio
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1
0.5
0.5
1
2
2
12-
3-
4-
5-
6-
5
3
7
2 sen
2 cos
6
6
4
4
2
3
cos 0 4sen cos
sen cos
2
3
2
5
3
tg sen cos cos 3 3 cos 5
3
2
2
3
7
cos 3 sen
4sen
2
2
8 cos
4sen
7
5
11
4
3
7
cos tg sen ctg tg ctg
sen cos
4
4
3
6
3
2
6
13
3
tg sen
6
4
5
4sen 2 cos
6
3
Definire le principali formule di trasformazione delle funzioni goniometriche.
7-
cos 3 sen 3
cos sen
1 sen cos
8-
1
cos 2 sen tg cos 1 sen 2
cos
9-
tg tg
1
sec
sen
cos
10-
Costruire e definire geometricamente le 6 funzioni goniometriche.
11-
3
3
sen
cos sen sen
2
2
2
cos 3 sen cos2 sen5
15
12-
3
3
a sen b cos
2
2
3
3
a sen b cos
2
2
13-
Sapendo che: tg
1
e che è nel III quadrante, determinare:
4
sen , cos , sec
2
14-
Sapendo che: sec 2 e che è nel II quadrante, determinare:
2
sen , cos , tg.ctg , cos ec.
1
.
2
15-
Dimostrare che sen
16-
Determinare l’espressione in radianti dell’angolo x=144°.
17-
5
3 16
4
a 2 tg 2 ab sen cos 16b 2 cos 2
3
6
4 3
3
7
a ctg 2b
4
18-
6
The scalar product of two vectors is v1 v2 v1 v2 cos , where is the angle
between v1 ,v2 . Knowing that v1 v2 =-15 and that v1 10 and v2 3 , find the angle
.
19-
20-
A building 90 metres high on the other side of a street , is seen under an angle of 60°.
Find the largeness of the street. ( Hint: sketch the diagram of the problem. )
La cima di una collina è vista sotto un angolo di 30° dalla piazza di un paese P
posto in pianura. Se ci si allontana di altri 500 metri dalla collina, la sua cima è
vista sotto un angolo di 15° . Quanto è alta (sulla pianura) la collina ? E se i due
angoli sono il primo di 45° e il secondo di 30° ?
Esercizio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Punteggio
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1
0.5
0.5
1
2
16
1-
4 cos
3-
3
5
sen cos cos 7 6 sen 5
3
2
2
3
11
cos ec 3 ctg
2sen
2
2
3
13
3
3ctg sec
6
4
11
4
4sen 2 5 cos
6
3
ctg
2-
2
7
3
3sen
5 2 sen 8 cos
3
6
4
4
4-
cos 2 sen 2 cos sen
1 sen cos
cos sen
5-
sec sen 2 sen tg sen ctg sen 2
6-
3
5
3
3
sen
2 cos sen
cos
2
2
2
2
cos 2 sen 3
cos sen5
7-
5
3
3a 2 sen 3b 2 cos
2
2
3
3
a sen b cos
2
2
8-
Sapendo che: cos ec 2 e che è nel III quadrante, determinare:
2
sen , cos , tg ctg , sec.
9-
The vectorial product of two vectors is v1 v2 v1 v2 sen , where is the angle
between v1 ,v2 . Knowing that v1 v2 =0 and that v1 10 and v2 3 , find the two
possible values of the angle .
10-
A tree is mesaured 15 metres high and grow on the other side of a river. If the tree is
seen under an angle of 25° from this side of the river, what is the largeness of the river?
Esercizio
1
2
Punteggio 0.5 1
3
4
0.5 1
5
6
7
8
9
10
0.5 0.5 1
1
1
2
17
EQUAZIONI GONIOMETRICHE
A.
Risolvi le seguenti equazioni:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
3senx 2 0
3tgx 3 0
2
cos( 3 x) cos 2 x
3
tg (4 x ) ctg ( 2 x)
4
2
3 cos x 4senx 1 0
sen 2 x 3senx 0
tgx senx
1 0
1 cos x
3 cos x 3senx 0
x
tg 2 ( ) 1 0
2 4
3senx cos x 1 0
2senx 2 0
tgx 3 0
5
cos( 4 x ) cos( x )
4
3
tg( 2 x 4 ) ctg (
x)
5
3sen 2 x 4 cos x 1 0
sen2 x 2senx 0
ctgx cos x
1 0
1 senx
3 cos x senx 0
x
tg 2 ( ) 1 0
2 4
2senx cos x 1 0
3
cos x
2
tgx 3 0
4 cos 2 x 1 0
Solve the following equations for θ, giving solutions in the interval
B.
0 360 .
sen cos 0
2
2- tg 2tg 1
3- sen cos 0
1-
18
45678910111213-
tg 2 2 3tg 3
2
cos( 2 x ) cos( 3x)
3
3
1
tg (2 x) tg ( x)
5
x
4
sin( ) sin( x)
2 8
3
2
cos( 4 x ) sin( 2 x)
7
x
cos( 2 x) cos( )
3 4
4
ctgx tg ( 3x)
5
2
2 sin sin cos cos 2 1
sin 2 5 sin cos 3 cos 2 0
2 2 sin 2 cos 3 0
C1.
The population, P, of a certain type of bird on a remote island varies during the course of a year
according to feeding, breeding, migratory seasons and predator interactions. An ornithologist doing research
into bird numbers for this species attempts to model the population on the island with the annually periodic
equation:
P=N-C∙cosωt°
Where N,C and ω are constants, and t is the time in weeks, with t=0 representing midnight on the first of
January.
Taking the period of this function to be 50 weeks, find the value of ω.
Use the equation to describe in terms of N and C
ithe number of birds of this species on the island at the start of each year
iithe maximum number of these birds, and the time of the year when this occurs.
a)
b)
C2.
One end of a piece of elastic is attached to a point at the top of the door frame an the other end freely. A
small ball is attached to the free end of the elastic. When the ball is hanging freely it is pulled down a small
distance and then released, so that the ball oscillates up and down on the elastic. The depth d centimetres of the
ball from the top of the door frame after t seconds is given by:
d=100+10cos500t°
Find:
a)
b)
c)
d)
the greatest and least depths of the ball
the time at which the ball first reaches its highest position
the time taken for a complete oscillation
the proportion of the time during a complete oscillation for which the depth of the ball is less than 99
centimetres.
C3.
In each of the following, construct a formula involving a trigonometric function which could be used to
model the situations described.
a)
b)
Water depths in a canal vary between a minimum of 3,6 metres and a maximum of 6 metres over 24hour periods.
Petroleum refining at a chemical plant is run on a 10-day cicle, whit a minimum production of 15000
barrels per day and a maximum of 28000 barrels per day.
19
c)
Esercizio
Punteggio
At a certain town just south of the Arctic circle, the number of hours of daylight varies between 2 and
22 hours during a 360-day year.
A
10 x 0,5
B
2x1
C
5
TEST
1 / 0 / -0,33
20
Problemi Trigonometria
28)
The scalar product of two vectors is v1 v2 v1 v2 cos , where is the angle
between v1 ,v2 . Knowing that v1 v2 =9 and that v1 10 and v2 8 , find the
angle .
29)
A building on the other side of a street large 20 metres, is seen under an angle of 60°.
Find the altitude of the building. ( Hint: sketch the diagram of the problem. )
30)
An oscillating particle has displacement y metres, where y is given by :
y a sin( kt )
where a is measured in metres, t in seconds and k and α are constants. The time for a
complete oscillation is T seconds. Find:
ik in terms of T
iithe number, in terms of k, of complete oscillations per second.
[ k=360/T
f=k/360 ]
31)
La cima di una collina è vista sotto un angolo di 30° dalla piazza di un paese P
posto in pianura. Se ci si allontana di altri 500 metri dalla collina, la sua cima è
vista sotto un angolo di 15° . Quanto è alta (sulla pianura) la collina ? E se i due
angoli sono il primo di 45° e il secondo di 30° ?
Dato un triangolo rettangolo ABC, determinare area e perimetro sapendo che il
cateto AB è 10 e l’angolo β è 30°.
5)
6)
7)
8)
Dato un triangolo rettangolo ABC, determinare area e perimetro sapendo che il
3
cateto AB è 10 e l’angolo β è tale che sen .
5
Date le rette di equazione: 3x 3 y 1 0 e x 2 y 0 , determinare gli
angoli che esse formano con l’asse X e l’angolo minore fra esse formato.
Dimostrare che in un triangolo isoscele è verificata la relazione fra i suoi angoli:
sen 2sensen
9)
Il triangolo ABC, rettangolo in A, ha il cateto AB=7° e tgABC= 24/7. Sul
prolungamento dell’altezza AH relativa all’ipotenusa, dalla parte di H, considera un
punto P tale che AP=24°. Calcola PC.
[ PC=144a/5 ]
10)
Le due corde AB e AC di una circonferenza di raggio r misurano
rispettivamente r/3 e 2r/3. Calcola l’area del triangolo ABC.
2 2 35 2
r ]
[
162
11)
Considera sui lati OX e OY dell’angolo XOY=120° due punti A e B tali che OA=3°
e OB=a. Prolunga il lato OY dalla parte di O e prendi su tale prolungamento un
punto C tale che OC=a. Determina il perimetro del triangolo ABC.
[ 2a 7a 13a ]
21
12)
Dato il triangolo equilatero ABC di lato a, conduci per il vertice A, esternamente al
triangolo, una retta r tale che, dette D e F le proiezioni dei vertici B e C sulla retta,
sia:
BD+CF=3a/2.
( porre x= DAB )
[ x=30° ]
13)
In una circonferenza di diametro AB=2r, la corda AC forma col diametro un angolo
AP 2 PB 2 5r 2 / 2.
di 30°. Determina su tale corda un punto P tale che sia:
3
[ x arctg
]
5
14)
Dato un triangolo rettangolo ABC, determinare area e perimetro sapendo che
4
l’ipotenusa BC è 28 e l’angolo β è tale che cos .
7
15)
Risolvere i seguenti triangoli:
a
b
c
α
β
γ
h
p1
p2
2P
A
r
R
12
6
8
30°
25°
60°
32
90°
40°
/
/
/
/
/
/
22
ESERCIZI ESPONENZIALE E LOGARITMO
1
1
log 2 4; log 2 ; log 2 3 16 ; log 3
; log
8
27
1. Calcolare:
2. Semplificare:
3. Semplificare:
log a
3
3.
x2 3 x y
4
x3 y5
1
log a x 2 log a y log a z 3 log a t
2
RISOLVERE
2 4 1
8
21 x
x 2 3 x 1
5. 10
10 2 x 5
x
4.
1
2 x 1
6. 4 8 x 0
7. 2 2 2 x 2 x 1 0
8. log 2 ( x 1) log 2 x 4
9. log( x 2 x 3) log x log( 2 x)
10. log 2 x 1 0
RISOLVERE
x 3
5 5 x
11. 2 2
12. 3 2 x 5 x 6
2
2x
x
1
1
13. 3 2 0
2
2
14. log( x 4) log( 5 2 x) 0
15. 2 log x log 4 2
Esercizio 1
Punteggio 1
2
1
3
1
16.Calcolare:
17.Semplificare:
18.Semplificare:
4
0,7
5
0,7
6
0,7
log 3 27; log 2
log a
7
0,7
8
0,7
9
0,7
10
0,7
11
0,7
12
0,7
13
0,7
14
0,7
15
0,7
1
1
; log 2 4 2 ; log 9 ; log 3 3 9.
32
81
x4 3 x3 y 2
5
x5 y5
1
1
log a x 6 log a y 2 log a z log a t
4
4
RISOLVERE
2 16 1
2
2 2 x
2 x 2 5 x 2
10 3 x7
20. 10
x
19.
1
3 x 1
21. 4 16 x 0
22. 2 2 2 x 2 x 1 0
23
23. log 2 (5x 4) log 2 3x 1
24. log( x 2 5x 4) log 2 x log( 1 2 x)
25. log x 2 0
RISOLVERE
1
1 x
26. 2 x 2 2 2
27. 7 3 x 5 x 63
2
2x
x
1
1
28. 3 2 0
2
2
29. log( 3x 2) log( 5 2 x) 0
1
2 log x log 4 3
2
24
