EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
INTRODUZIONE
La seguente presentazione è un esempio di unità didattica
contestualizzabile in un percorso didattico riferito al
programma di matematica di un istituto professionale.
E’ rivolta non solo agli studenti di una classe seconda
superiore,ma anche agli adulti che intendono conseguire
il diploma di scuola secondaria di II grado attraverso una
formazione a distanza.
L’unità didattica è ampliabile e integrabile con l’interazione
diretta col docente attraverso gli strumenti offerti dalla
piattaforma on line o in presenza dell’insegnante
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
METODOLOGIA
Poiché acquisire la tecnica per risolvere equazioni di 2° grado è
fondamentale per tutto il percorso didattico che seguirà, l’unità
didattica è stata sviluppata mettendo in rilievo le nozioni basilari e i
saperi essenziali che consentono allo studente di raggiungere tale
obiettivo.
A tale scopo, dopo la trattazione di ogni unità di apprendimento sono
stati introdotti:
esercizi svolti per esemplificare regole ed applicazioni;
esercizi guidati per permettere allo studente sia di verificare
immediatamente quanto appreso sia di ottenere gratificazione e
motivazione;
esercizi da svolgere.
Al termine dell’unità didattica:
brevi test o domande a risposta aperta consentono un ripasso
generale dell’argomento.
Link utili per un lavoro di personale approfondimento.
EQUAZIONI DI 2° GRADO
PREREQUISITI
Per affrontare questa unità
didattica lo studente deve saper:
Eseguire
operazioni con numeri
naturali, interi relativi e razionali
relativi
Risolvere equazioni di primo
grado
Calcolare radici quadrate
OBIETTIVI
In questa unità didattica lo
studente imparerà:
A riconoscere la forma normale
di un’equazione di II grado
A distinguere tra equazioni
complete, pure e spurie
A conoscere ed applicare la
formula risolutiva
A conoscere il significato del
discriminante
A risolvere equazioni complete,
pure e spurie
CONTENUTI
Equazioni complete
Formula risolutiva
Significato del discriminante
Equazioni incomplete
Equazioni incomplete pure
Equazioni incomplete spurie
Libro di riferimento:
Mario Lepora
ELEMENTI DI MATEMATICA
per gli Istituti Professionali vol 2
Petrini editore
EQUAZIONI COMPLETE
La forma normale di un’equazione di 2°
grado completa è:
a x2 + b x + c = 0
con a, b, c numeri reali e a ≠ 0
FORMULA RISOLUTIVA
Per risolvere un’equazione di secondo grado
completa si applica la formula:
x = - b ± √b2 – 4ac
2a
L’espressione che appare sotto il segno di radice
b2 – 4ac
si chiama discriminante dell’equazione e si indica
con la lettera greca ∆ ( delta ).
SIGNIFICATO DEL
DISCRIMINANTE
Il segno di ∆ determina le soluzioni di
un’equazione di secondo grado:
Se ∆ > 0
l’equazione
ammette
due soluzioni reali
e distinte
Se ∆ = 0
l’equazione
ammette
due soluzioni reali
e coincidenti
Se ∆ < 0
L’equazione
non ammette
soluzioni
ESEMPIO 1
x2 – 4x + 3 = 0
a = 1, b = - 4, c = 3
∆>0
x = 4 ±√16 – 4·1·3 = 4 ±√4 = 4 ± 2
2
2
2
X1 = 1
DUE SOLUZIONI REALI E DISTINTE
X2 = 3
ESEMPIO 2
x2 + 6x + 9 = 0
a = 1, b = 6, c = 9
∆=0
x = -6 ±√36 – 4·1·9 = 4 ±√0 = 4 ± 0
2
2
2
X1 = 2
DUE SOLUZIONI REALI E COINCIDENTI
X2 = 2
ESEMPIO 3
x2 + x + 5 = 0
a = 1, b = 1, c = 5
∆<0
x = -1±√1– 4·1·5 = -1±√-19
2
2
EQUAZIONE IMPOSSIBILE
Esercizio guidato 1
8x2 -10x + 3 = 0
Si applica la formula risolutiva:
x = 10 ±√ 100 – 96 =
16
Le soluzioni sono:
x1 =
x2 =
Esercizio guidato 2
3x2 + 4x + 5 = 0
Si applica la formula risolutiva:
x = - 4 ±√ 16 – 60 =
6
Le soluzioni sono:
Esercizio guidato 3
4x2 - 28x + 49 = 0
Si applica la formula risolutiva:
x = 28 ±√ 784 - 784 =
8
Le soluzioni sono:
Soluzioni esercizi guidati
equazioni complete
1.
x1 = 1/2
x2 = ¾
2.
L’equazione non ammette soluzioni reali
3.
x1 =x2 = 7/2
Esercizi da svolgere
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
x2 - 2x - 8 = 0
15x2 - 7x - 4 = 0
x2 + 4x - 12 = 0
x2 - 6x + 9 = 0
x2 - 8x + 7 = 0
5x2 - 3x - 2 = 0
3x2 +5x + 42 = 0
9x2 + 15x - 6 = 0
25x2 - 100x + 64 = 0
9x2 + 12x - 12 = 0
x1 = -2
x1 = -1/3
x1 = 2
x1 = x2= 3
x1 = 7
x1 = 1
impossibile
x1 = -2
x1 = 4/5
x1 = -2
x2 = 4
x2 = 4/5
x2 = -6
x2= 1
x2= -2/5
x2 = 1/3
x2= 16/5
x2= 2/3
EQUAZIONI INCOMPLETE
Se b = 0
l’equazione
diventa
a x2 + c = 0
e si chiama
equazione PURA
Se c = 0
l’equazione
diventa
a x2 + bx = 0
e si chiama
equazione SPURIA
EQUAZIONI PURE
Le equazioni pure si risolvono isolando il termine
con l’incognita:
ax2 + c = 0
ax2 = - c
x = ±√-c/a
ESEMPI
ESEMPI di equazioni pure
x2 – 16 = 0
25x2 – 4 = 0
x2 + 9 = 0
x2 = 16
x2 = 4/25
x2 = - 9
x =±4
x = ± 2/5
x = ±√ - 9
Equazione
impossibile
Le soluzioni di un’equazione pura, se esistono, sono numeri opposti.
Esercizi guidati
equazioni pure
1.
2x2 - 18 = 0
2x2 = 18
2.
x2 - 16 = 0
x2 =
3.
4x2 - 25 = 0
4x2 =
4.
x2 + 25 = 0
x2 =
x2 = 9
x=
x=
x2 =
x=
l’equazione è
Soluzioni esercizi guidati
equazioni pure
1.
2.
3.
4.
x=±3
x=±4
x = ± 5/2
impossibile
Esercizi da svolgere
equazioni pure
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
x2 = 49
x2 - 36 = 0
x2 - 625 = 0
10x2 - 1000 = 0
3x2 - 75 = 0
8x2 - 32 = 0
12x2 - 1200 = 0
2x2 + 28 = 0
3x2 = -27
2x2 - 32 = 0
x=±7
x=±6
x = ± 25
x = ± 10
x=±5
x=±2
x = ± 10
impossibile
impossibile
x=±4
EQUAZIONI SPURIE
Le equazioni spurie si risolvono raccogliendo x ed
applicando la legge di annullamento del
prodotto, secondo la quale il prodotto di due
fattori è zero se almeno uno di essi è zero.
ax2 + bx = 0
x=0
x( ax + b ) = 0
ax + b = 0
x = - b/a
ESEMPI
ESEMPI di equazioni spurie
x2 – 4x = 0
x( x – 4) = 0
x1 = 0
x–4=0
x2 = 4
3x2 + 5x = 0
x1 = 0
x( 3x + 5 ) = 0
3x + 5 = 0
x2 = -5/3
L’equazione
spuria ha due
soluzioni reali
una delle
quali sempre
uguale a zero
Esercizi guidati
equazioni spurie
1.
7x2 + 4x = 0
x ( 7x + 4 ) = 0
x=0
7x + 4 = 0
2.
5x2 – x = 0
x(
)=0
x=
Soluzioni esercizi guidati
equazioni spurie
1.
2.
x=0
x=0
x = - 4/7
x = 1/5
Esercizi da svolgere
equazioni spurie
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
3x2 - 4x = 0
8x2 - 32x = 0
25x2 + 5x = 0
7x2 - 2x = 0
9x2 - 36x = 0
12x2 + x = 0
7x2 - 56x = 0
2x2 + 14x = 0
4x2 - 6x = 0
5x2 + 5x = 0
x=0
x=0
x=0
x=0
x=0
x=0
x=0
x=0
x=0
x=0
x = 4/3
x=4
x = - 1/5
x = 2/7
x=4
x = - 1/12
x=8
x = -7
x = 3/2
x=-1
ax2 + bx + c = 0
Nome
equazione
Soluzioni
Tipo di soluzioni
Se ∆ > 0 reali distinte
Se ∆ = 0 reali
coincidenti
Se ∆ < 0 nessuna
soluzione
b ≠ 0, c ≠ 0
completa
x = -b±√ ∆
2a
b = 0, c ≠ 0
pura
x = ±√-c/a
Se esistono, sono
opposte
b ≠ 0, c = 0
spuria
x1 = 0
x2 = -b/a
Reali distinte
VERIFICA
test
Riconosci , tra le seguenti espressioni, l’equazione di II grado
a) x + 1= 2x2
b) x – 2x + 1 = 0
c) 3x2 – 4x +2
d) 4x3 -5 x2 +3 = 0
Riconosci, tra le seguenti, l’equazione di II grado completa
a) 3 x2 -x = 0
b) x2 - x - 3= 0
c) x2 - 9 = 0
d) 5 x2 = 0
Riconosci, tra le seguenti, l’equazione di II grado spuria
a) 3 x2 -x = 0
b) x2 - x - 3= 0
c) x2 - 9 = 0
d) 5 x2 = 0
test
Riconosci, tra le seguenti, l’equazione di II grado pura
a) 3 x2 -x = 0
b) x2 - x - 3= 0
c) x2 - 9 = 0
d) 5 x2 = 0
Riconosci l’equazione di II grado completa ridotta a forma normale
a) 3 x2 = x – 5
b) 4 x2 + 7x – 2x +3 = 0
c) 4 x2 + 3x - 1 = 0
Individua i coefficienti a,b e c delle seguenti equazioni
a) 4 x2 - 8x + 3 = 0
a=
b=
c=
b) 3x2 -1 +8x = 0
a=
b=
c=
c) 2x – 3x2 + 1 = 0
a=
b=
c=
test
La formula risolutiva dell’equazione completa di II grado è:
a) x = b ±√ b2 + 4ac
2a
b) x = b ±√ -b2 – 4ac
2a
c) x = -b ±√ b2 – 4ac
2c
d) x = - b ±√ b2 – 4ac
2a
VERIFICA
domande aperte
Data l’equazione 2x2 - 3x + 5 = 0, applica la formula risolutiva
Risolvi le equazioni
3 x2 - 6x + 3 = 0
3 x2 - 6x = 0
3 x2 - 27= 0
Scrivi la formula del
Completa le seguenti frasi
Se risulta ….. 0, l’equazione ha ……………………………………….
Se risulta ….. 0, l’equazione ha ……………………………………….
Se risulta ….. 0, l’equazione ha ……………………………………….
LINK UTILI
Per approfondire l’argomento si segnalano i
seguenti siti:
http://www.matematicamente.it
http://www.ripmat.it
http://www.silviocilloco.it
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_quadratica
http://matematicagenerale.it
http://www.matematiche.org
http://www.zanichelli.it
