foglio_3_A

Soluzioni degli Esercizi di Algebra I
8 marzo 2017 #3A
Teorema 1 (Teorema cinese del resto)
Siano m1 , m2 · · · , mn numeri naturali maggiori di 1 a due a due coprimi e
siano a1 , a2 · · · , an ∈ Z. Allora il sistema di congruenze

x ≡m1 a1



x ≡m2 a2
......



x ≡mn an
ha soluzioni.
Dimostrazione
M
.
Sia M := m1 m2 · · · mn e poniamo Mi := m
i
Allora, dall’ipotesi e dalla Proposizione 1 (Foglio 3 Esercizi) esiste una soluzione
dell’equazione congruenziale Mi y ≡mi 1 e la indichiamo con yi .
Pertanto, una soluzione x̄ del sistema di equazioni congruenziali è data da
x̄ = a1 M1 y1 + a2 M2 y2 + . . . + an Mn yn .
(Si lascia per esercizio la verifica che x̄ sia una soluzione del sistema).
Esercizio n.5
Seguiamo l’istruttiva dimostrazione del Teorema cinese del resto per trovare
una soluzione del sistema.
Il mcd(3, 4) = mcd(4, 5) = mcd(3, 5) = 1, pertanto il sistema ammette
soluzioni.
Quindi M = 3 · 4 · 5 = 60 e siano M1 = 20, M2 = 15 ed M3 = 12. Allora,
l’equazione 20y ≡3 1 ammette soluzione.
Dalla Proposizione 1 (Foglio 3 Esercizi), una soluzione dell’equazione è y1 =
−1. Analogamente troviamo una soluzione delle equazioni 15y ≡4 1 e 12y ≡5
1
1. Siano rispettivamente y2 = −1 e y3 = −2 una soluzione delle equazioni.
Allora x̄ = 2 · 20 · (−1) + 5 · 15 · (−1) + 3 · 12 · (−2) = −187 è una soluzione
del sistema di equazioni congruenziali.
ESERCIZI PROPOSTI
Esercizio 1
(1) Determinare un intero x tale che 259x ≡11 16.
(2) Determinare un intero x tale che 73x ≡35 −101.
(3) Determinare un intero x tale che
x ≡5 2
x ≡7 18
Esercizio 2 Determinare un intero x tale che

 x ≡3 2
x ≡5 3

x ≡7 2
Esercizio 3 Determinare un intero x tale che
x ≡4 1
3x ≡5 2
Esercizio 4 Determinare, se esiste, un intero x tale che

 x ≡4 3
5x ≡3 4

6x ≡7 1
Esercizio 5 Determinare tutte le soluzioni del sistema di congruenze

 x ≡9 3
x ≡8 5

x ≡7 2
2