Esercizi02 Variabili aleatorie unidimensionali, media, varianza, mediana, moda, quantili. Richiami di teoria 1: media e varianza di una v.a. Media di una v.a.: sia X una v.a. (dotata di punti di massa xj e legge pX(x) se discreta, di funzione di densità fX(x) se continua). La media E[X] è data da: E [ X ]=μ X = ∑ x j p X x j , se X è discreta, j ∞ E [ X ]=μ X = ∫ xf X x dx, se X è continua −∞ a patto che queste quantità esistano; Varianza di una v.a.: sia X una v.a. di media X; la varianza di X, indicata con 2X, o Var(X) è data da: σ 2 = ∑ x j− μ X X σ =∫ 2 pX x j , se X è discreta, j ∞ 2X −∞ x− μ X 2 f X se queste quantità sono definite. ottobre 2008 x dx , se X è continua Richiami di teoria 2: mediana, quantili e percentili Data la funzione di ripartizione FX di una v.a. X la mediana è il minimo valore m tale che F X m =P X ≤ m ≥ 1/2 cioè m=inf {ξ:F X ξ ≥ 1/2 } Analogamente si dice quantile q-esimo (0<q<1) della FX di una v.a. X il minimo valore q tale che F X x =P X ≤ x =q x q = inf {x:F X x =q } Se q viene espresso con una percentuale invece che con un numero q, viene definito 100q-esimo percentile. ottobre 2008 Esercizio 1: testo Quattro autobus portano 148 studenti allo stadio di football; gli autobus portano rispettivamente 40, 33, 25 e 50 studenti. Scegliamo a caso uno degli studenti, e denotiamo con X il numero degli studenti che hanno viaggiato sull’autobus dello studente scelto a caso. Scegliamo a caso ora uno dei conducenti dei bus e denotiamo con Y il numero degli studenti che hanno viaggiato sul suo autobus. n Quale tra E[X] ed E[Y] pensate sia più grande? Perché? n Si calcolino E[X] ed E[Y] ottobre 2008 Esercizio 1- Soluzione n n A voi: proposte? Che valori può assumere la variabile X? 40 33 X= 25 50 p= 40148 p= 33148 p= 25148 p= 50148 { } Quindi siamo capaci di calcolare la sua media: 40 33 25 50 E X = 40 33 25 50 ≃ 39. 284 148 148 148 148 Un discorso analogo vale per Y: 40 33 Y= 25 50 p=14 p=14 p=14 p=14 { } ottobre 2008 Esercizio 1- Soluzione Sono quindi in grado di calcolare anche la media di Y: E Y = 40 1 4 33 1 1 1 148 25 50 = = 37 . 4 4 4 4 Le due variabili assumono valori identici ma con differenti probabilità. ottobre 2008 Esercizio 2: testo e soluzione del punti 1 Sia X una variabile aleatoria tale per cui E(X)=1, e Var(X)=5. Si calcoli: E [(2+X)2]; Var(4+3X); SVOLGIMENTO 2 2 Calcoliamo la media: E [ 2+X ]=E 4 4X+X = 4 4E X +E X 2 Ci manca E[X2], ma possiamo ottenerlo con la formula 2 Var X =E X − E X ⇒E X 2 = 5 1= 6 2 Si ottiene perciò E [ 2 +X ottobre 2008 2 ]= 4 4⋅ 1 6= 14 Esercizio 2: testo e soluzione del punto2 E la varianza, sarà Var 4 3X = 0+Var 3X = 9Var X = 45. ottobre 2008 Esercizio 3: testo Da un mazzo di 52 carte se ne estraggono 5. Sia X la v.a. che conta il numero di assi contenuti nelle 5 carte. Dire quali sono le determinazioni di X ed indicare la sua funzione di densità discreta. ottobre 2008 Esercizio 3- Soluzione Tra le 5 carte pescate si possono presentare 0, 1, 2, 3 oppure 4 assi. Con quale probabilità? X=0 p= X=1 X=2 p= p= X=3 X=4 ottobre 2008 4 0 48 5 52 5 4 1 48 4 52 5 4 2 48 3 = 0 . 658 ; = 0 . 298 ; = 0 . 0398 ; 52 5 p=0 . 00174 ; p= 1. 847⋅ 10− 5 Esercizio 3- Soluzione Tali probabilità rappresentano la densità discreta della variabile X. Si possono allora disegnare i grafici della densità discreta pX(x) e della funzione di ripartizione FX(x): ottobre 2008 Esempio Si tirano due dadi indipendenti e non truccati, e si denota con la lettera X la v.a. definita dalla loro somma. Ricaviamo la densità discreta di X: P P P ⋯ P ⋯ P X=2 =P { 1,1 }= 136 ; X=3 =P { 1,2 , 2,1 }= 236 ; X=4 =P { 1,3 , 2,2 , 3,1 }= 336 ; X=7 =P { 1,6 , 2,5 , 3,4 , 4,3 , 5,2 , 6,1 }= 636 ; X=12 =P { 6,6 }= 136 ; X assume tutti i valori interi da 2 a 12, con probabilità specificate dalle equazioni precedenti; poiché 12 X deve necessariamente assumere uno di questi valori, S= i=2 {X=i } varrà che segue che se P S =P ¿i=212 {X=i } = ∑ P X=i = 1. ottobre 2008 Esercizio 5: testo e soluzione 2 3 Sia F X t = 3t − 2t I [ 0,1 ] t +I [1,+¥] t , dove IA(t) è la funzione indicatrice dell’insieme A, la f.d.r. di una v.a. X : Considerando che il grafico di FX(t) è il seguente, dire quali delle seguenti sono vere e quali false: P X³ 1 = 1 P X≤ 0= 0 P X=12 = 12 P 0≤ X<12 = 0 P − 5≤ X ≤ 8 = 1 ottobre 2008 V V F F V Esercizio 6: testo Una v.a. continua ha densità f x= { kx 0<x< 4 0 altrove } Determinare la costante di normalizzazione k, e poi calcolare P X ≤ 2 . Calcolare inoltre il valore atteso e la mediana di X. ottobre 2008 Esercizio 6- Soluzione ∞ k deve essere tale che ∫ f x dx=1 perciò −∞ 4 ∫ 0 x2 4 1 kxdx=k ∣ ∣ = 8k= 1, cioè k= . 2 0 8 Inoltre 2 P X ≤ 2 =∫ 0 ottobre 2008 1 1 xdx= . 8 4 Esercizio 6- Soluzione Calcoliamo il valore atteso: 4 E X =∫ 0 1 1 x3 4 8 x xdx= ∣ ∣ = . 8 8 3 0 3 Poiché X è continua, la mediana è il valore m tale che F m = 0.5 . Per 0 <x<4 si ha: x F x =∫ 0 1 1 tdt= x 2 , 8 16 e perciò la mediana deve soddisfare 1 2 F m= m = 0 .5, da cui m= 8. 16 ottobre 2008 Esercizi per voi La funzione { 2 3x 0 <x<1 f x= 0 altrove } è una funzione di densità? Se lo è, calcolatene la corrispondente funzione di ripartizione. Determinare la mediana ed il terzo quartile delle variabili aleatorie definite dalle seguenti funzioni di densità: f x =e− x , x³ 0; f x = 1, 0≤ x≤ 1. Determinare il k-esimo quantile mp ( con p=k 100 ) in funzione di p, per la variabile aleatoria di densità f x = 2e− 2x , x³ 0. Sapendo che E X = 2, E X 2 = 8, calcolare 2 E 2 4X , e E [ X ottobre 2008 2 2 X+1 ].