TEMA D’ESAME
04-03-2015
Scrivere gli assiomi di Poisson
Sia N una v.a poissoniana di parametri : scriverne la legge di probabilità
nonché calcolare E(N) e Var(N)
Di quali proprietà gode N?
Sia ora N il numero di difetti microstrutturali presenti in una porzione di
filo metallico lunga metri. Qual è l’unità di misura di e quella di E(N)?
Come si distribuisce la v.a. D che misura la distanza fra un difetto e il
successivo?
Se =20 qual è la lunghezza minima del filo metallico suddetto affinchè la
probabilità di contare almeno un difetto nella porzione di filo sia maggiore
o uguale allo 0,999?
TEMA D’ESAME 23/09/2011
Sia Xi il tempo, misurato in ore, che intercorre fra l’arrivo di spam successivi ad un
indirizzo e-mail durante il mese di agosto. Le Xi siano indipendenti ed equidistribuite
come delle esponenziali di parametro . Indicare l’unità di misura di
Calcolare E(Xi) e var(Xi)
Calcolare la densità di X1+X2.
Come si distribuisce (esattamente) la v.a. Sn=X1+X2+…+Xn.
Quale proprietà caratterizza la v.a. esponenziale?
Riportiamo alcuni valori del c.c. di dimensione 89 osservato relativo alle attese fra
spam successive misurate in ore: 2,16666666 2,8666666 17,45 16,65 1,2666666
….
La frequenza assoluta delle attese osservate maggiori di 5 è 35, quella per le attese
maggiori di 3 è 57 mentre per le attese maggiori di 8 è 19. E’ possibile utilizzando i
dati sopra riportati, farsi un’idea qualitativa per avere indizi per capire se la proprietà
di cui sopra è verificata?
TEMA D’ESAME
10-05-2013
Sia X~unif[-ϑ,0], (ϑ>0) ed 𝑋(𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ) un c.c da X.
Scrivere la densità 𝑓𝑋 (𝑥; 𝜗) e la funzione di distribuzione cumulativa
𝐹𝑋 (𝑥; 𝜗).
Calcolare E(X) e var(X).
Calcolare la densità Y2=X1+X2
Indicare, motivando brevemente la densità approssimata di Y12=X1+ … +
X12.
Calcolare la densità di W=min{X1,X2}
Scrivere la disuguaglianza di Cebicev per una v.a. D, specificando le ipotesi
sotto le quali vale.
Scrivere sulla base di 𝑋 uno stimatore per la quantità ϑ, dimostrandone le
proprietà.
Ricavare un intervallo di confidenza 𝐼′ 𝛾 (𝑋) di livello γ per ϑ.
Utilizzando la disuguaglianza di Cebicev ricavare un intervallo di confidenza
𝐼′′ 𝛾 (𝑋) di livello almeno γ. Per semplicità di calcolo, se si desidera è
possibile usare l’espressione asintotica del valore atteso e della varianza
dello stimatore di ϑ.
Siao ora A l’evento “l’intervallo 𝐼′ 𝛾 (𝑋) contiene ϑ” Si definisca la v.a.
C=IA(ω) che prende il valore 1 se si verica A e zero altrimenti. Indicato con
ε il parametro che compare nella legge C. Scrivere la legge di probabilità e
il contatore di C.
Se γ=0,75 e vengono costruiti 200 intervalli di confidenza. Quali valori ci
aspettiamo di osservare probabilmente della v.a.
1
200
∑200
𝑖=1 𝐶𝑖 .
