Prove d’esame di Statistica - corso base a.a. 2016-17
Esame del 10/1/2017
Esercizio 1 (punti 4) – Relativamente ai voti riportati da 10 studenti nell’esame X, si dispone delle
seguenti informazioni: voto medio aritmetico 23.4; voto mediano 22; somma dei quadrati degli
scarti dalla mediana 190. Calcolare il coefficiente di variazione e misurare l’asimmetria della
distribuzione.
190= (somma scarti media)^2 + 10*1,4^2
170,4 somma scarti media
17,04 var
4,1280 sqm
0,1764 CV
1,4 asimmetria positiva
Esercizio 2 (punti 3) - Tra le tipologie di soggiorno scelte dagli italiani per trascorrere le proprie
vacanze estive nel 2016 in Italia, al primo posto ci sono gli alberghi, scelti dal 26,7%, seguiti,
nell’ordine, dalla casa di parenti o amici (22,4%), dalla casa di proprietà (13,5%), dai villaggi
turistici (12,1%), dagli appartamenti in affitto (11,3%), dai residence (8,7%) e dai campeggi (5,3%).
Misurare l’eterogeneità della distribuzione delle scelte.
eterogeneità ass
eterogeneità rel
0,8225
0,9596
Esercizio 3 (punti 6) - Da un lotto di 20 macchine, ne vengono scelte 2 in modo casuale. Sapendo
che 5 delle 20 macchine sono difettose, calcolare:
• la probabilità che la prima macchina scelta sia difettosa;
• la probabilità che la seconda macchina scelta sia difettosa sapendo che la prima non lo è;
• calcolare il numero medio di macchine difettose.
prima dffettosa
seconda dffettosa
n. medio
prob
prob
0,25
0,25
0,2632 se senza reimmissione
0,5
Esercizio 4 (punti 6) - Di una variabile casuale X con distribuzione Normale si sa che il primo
quartile è pari a 1.976 e il settimo decile è pari a 5.573. Calcolare la media e la varianza di X e
calcolare le seguenti probabilità:
a) P(X>3);
b) P(X<2);
c) P(1<X<4).
sistema
media
σ
a) prob
b) prb
c) prob
-0,675 = (1,976 - µ) / σ
0,524 = (5,573 - µ) / σ
4
3 varianza
0,6293
0,2514
0,3413
9
Esercizio 5 (punti 6) - In una recente ispezione in una azienda, è stato misurato il rumore (in
decibel) in 74 sale. La media delle misure ottenute è stata 61.3 e lo scarto quadratico medio
campionario 7.8. Calcolare un intervallo di confidenza al 90% per la media dei decibel a cui sono
esposti i lavoratori dell'azienda.
Materiale ad esclusivo uso interno del corso. E’ autorizzata la riproduzione da supporto informatico, ad uso personale. E’ vietato qualsiasi utilizzo commerciale del presente materiale.
Fissato un errore del primo tipo pari a 0.05, verificare se il livello di rumore medio è significativamente superiore a 82.
estremi intervallo
H0: µ ≤ 82
test
H1: µ > 82
59,81
62,79 (appross.normale)
-22,83 non è superiore a 82
Esercizio 6 (punti 8) – Per n = 10 famiglie, si dispone dei seguenti dati sul reddito medio mensile
nel 2015 (X, in migliaia di euro) e sulla spesa media mensile per uno specifico bene (Y, in euro):
X
3.2
1.9
2.4
5.7
3.8
1.6
2.5
2.9
3.6
3.4
Y
43
40
42
68
50
30
34
40
38
35
Determinare i parametri della retta di regressione di Y su X e misurare la correlazione lineare.
Stimare il livello di spesa per il bene Y previsto per una famiglia con reddito medio mensile di 4000
euro.
Sapendo che il coefficiente ISTAT per tradurre valori monetati del 2005 in valori del 2015 è pari a
1.174 e ipotizzando che il potere d’acquisto della famiglia a reddito più elevato sia rimasto invariato
nel decennio, determinare quale avrebbe dovuto essere il reddito mensile in euro 2005 di quella
famiglia.
Mx
3,1
MY
42
Var X
1,218
Var Y
102,2
Cov (X;Y)
9,48
stima Y per X = 4
valore equivalente 2005
B0
B1
r
17,8719
7,7833
0,8497
49,00
4,855
Esame del 2/2/2017
Esercizio 1 (punti 5) – Data la seguente distribuzione di frequenze cumulate relative costruita su
1000 individui secondo il numero di giorni di vacanza trascorsi al mare lo scorso anno 2016:
N. giorni
0
fino a 3
fino a 7
fino a 15
fino a 30
Freq. cum. rel.
0,13
0,42
0,82
0,94
0,992
e sapendo che il numero massimo di giorni di vacanza al mare trascorsi da una persona è stato 40,
ricostruire la distribuzione delle frequenze assolute e calcolare media aritmetica, mediana e varianza
della distribuzione.
X
n
X*n
0
130
0
M1
5,64
1-3
290
580
Me
4
4-7
400
2200
Var
34,91
8 - 15
120
1380
16 - 30
52
1196
31 - 40
8
284
Tot
1000
5640
Esercizio 2 (punti 6) - I risultati di una indagine campionaria sono stati organizzati in una tabella a
doppia entrata, sulla quale si è calcolato un valore del χ2 con 14 gradi di libertà pari a 162,82.
a) Valutare la significatività del risultato
b) Individuare le dimensioni (n. righe e n. colonne) della tabella
c) Individuare il numero di casi classificati nella tabella.
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N.B. – Non necessariamente le informazioni fornite consentono di rispondere alle domande poste;
laddove si ritenga che le informazioni non permettano di dare risposta, motivare il perché.
significativo (per α = 0,0005 si ha 38,1085)
a
b
3x8
c
(o viceversa)
non si può rispondere (il valore di chi-quadro non è legato a n)
Esercizio 3 (punti 6) - Su un campione di 61 lavoratori di età 36-40 anni si è calcolato un numero
medio di anni di esperienza lavorativa pari a 12,21, con una deviazione standard corretta pari a 5,63.
Costruire, al livello α = 0,05, gli intervalli di confidenza per la media e per la varianza.
Sapendo che la distribuzione del numero di anni di esperienza lavorativa presenta una debole
asimmetria positiva, individuare quale di questi può rappresentare il valore della mediana della
distribuzione, motivando la risposta fornita:
8
12
16.
estremi int.conf. media
con la t60
10,7681
13,6519
con la N
10,7971
13,6229
estremi int.conf. varianza
22,8315
possibile mediana 12
(se 8, forte asimmetria positiva, se 16 asimmetria negativa)
46,9796
Esercizio 4 (punti 8) - Il prezzo del bene X ha avuto il seguente andamento negli ultimi 7 anni:
Anno
Prezzo (€)
2010
2,01
2011
2,05
2012
2,13
2013
2,19
2014
2,15
2015
2,20
2016
2,25
Interpolare l’andamento del prezzo in funzione del tempo e misurare la bontà di adattamento del
modello.
Costruire quindi le serie dei numeri indici del prezzo, a base mobile e a base fissa 2014 = 100.
t
p
N.I mob
NI fix
-3
2,01
===
93,49
-2
2,05
101,99
95,35
-1
2,13
103,90
99,07
0
2,19
102,82
101,86
1
2,15
98,17
100,00
2
2,20
102,33
102,33
3
2,25
102,27
104,65
0
4
2,14 media
0,0062 var
0,1486 cov
2,14 b0
N.B. assumendo una diversa origine dei tempi sarebbe stato diverso
0,0371 b1
0,94343 r
0,8901 R2
Esercizio 5 (punti 2) - Per due stimatori T1 e T2 del parametro θ, entrambi corretti, si conoscono le
varianze delle rispettive distribuzioni campionarie:
Var (T1) = 3,24
Var(T2) = 2,87.
Quale dei due stimatori è preferibile utilizzare e perché?
Meglio T2, perché è più efficiente (varianza minore)
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Esercizio 6 (punti 6) - Ad un tizio viene proposto di scommettere sul numero di successi ottenuti in
10 prove, consistenti nel lancio di una moneta truccata. Definito come successo l’uscita della faccia
“testa” (T), al tizio conviene giocare con una moneta per quale p(T) = 0,42 scommettendo che si
otterranno esattamente 3 successi, oppure con una moneta per la quale p(T) = 0,55 scommettendo
che si otterranno almeno 8 successi?
p(T) = 0,42
3 successi
0,1963
P(T) = 0,55
8 successi
0,0763
9 successi
0,0207
10 successi
0,0025
conviene
0,0996
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