Primi concetti come presentazione

La probabilità
PRIMI CONCETTI DI PROBABILITÀ
Scuola Secondaria 1° grado; Argomento: Probabilità - Prob; (30.09.13); Pacchetto: S1.C.1
INDICE
1) Introduzione alla probabilità
2) Eventi casuali
3) Esempi di calcolo della probabilità
4) Valore della probabilità
5) La legge empirica del caso
6) Eventi incompatibili ed eventi compatibili
7) Eventi complementari
8) Eventi composti
9) La probabilità condizionata e gli eventi dipendenti
Introduzione alla probabilità
La maggior parte dei fenomeni, ai quali assistiamo
quotidianamente, può manifestarsi in vari modi, ma è quasi
sempre impossibile stabilire a priori quale di essi si presenterà
ogni volta.
Se si getta in aria una moneta e si registra il risultato (testa o
croce) del lancio, si dice che si è effettuato un esperimento
casuale semplice o un esperimento casuale elementare. In
effetti prima di effettuare il lancio, entrambi i risultati sono
possibili, per cui a priori il risultato dell’esperimento è incerto.
Situazioni simili si possono avere gettando in aria un dado,
sorteggiando il numero della tombola e via dicendo.
Eventi casuali
Un evento casuale (o evento aleatorio) può essere:
 evento impossibile, come quello di estrarre il numero 100
dalla tombola
 evento certo, come l’uscita di un numero compreso tra 1 e 6
nel lancio di un dado
 evento possibile, come quello di estrarre una pallina bianca da
una scatola contenente sia palline bianche che rosse
Definizione classica di probabilità
Una prima definizione, che si usa chiamare «classica», è quella
che definisce la probabilità di un evento aleatorio come il
rapporto tra il numero di casi favorevoli ad esso e quello di tutti i
casi possibili, purché essi abbiano la stessa probabilità di
verificarsi.
probabilit à 
numero dei casi favorevoli
numero dei casi possibili
Esempi di calcolo della probabilità
La probabilità è un numero che si associa a un evento E ed
esprime il grado di aspettativa circa il suo verificarsi
Facciamo un esempio: se lancio una moneta qual è la probabilità
che esca “croce”?
I casi possibili sono 2 “testa” o “croce”
Il caso favorevole è 1 cioè “croce”
La probabilità che esca “croce” sarà 1 su 2, cioè 1/2
Esempi di calcolo della probabilità
Facciamo un altro esempio: se lancio un dado qual è la
probabilità che esca un “numero pari”?
I casi possibili sono 6 (tanti quanti sono i numeri che possono
uscire)
I casi favorevoli sono 3 (cioè può uscire il numero 2, 4 o 6)
La probabilità che esca un numero pari 3 su 6, cioè 3/6
Dal grado di probabilità alla percentuale
La probabilità che un evento si verifichi si può esprimere:
 Con una frazione, ad esempio 3 su 6:
Probabilità=3/6
3= numero di casi favorevoli
6= numero di casi possibili
 Con un numero decimale che va da 0 a 1.
Ad esempio:
3/6= 0,5
 Con una percentuale, ad esempio:
3/6= 0,5
0,5x100=50%
Infatti
3/6=0,5=50%
Valore della probabilità
Valore della probabilità (P)
P=0
0<P<1
P=1
 La probabilità di un evento casuale qualsiasi è sempre un
numero compreso fra 0 e 1.
 La probabilità di un evento casuale certo è 1
 La probabilità di un evento casuale impossibile è 0
Valore della probabilità
Per una adeguata comprensione della relazione tra il verificarsi o
meno degli eventi ed i relativi livelli di probabilità possiamo
utilizzare la seguente una scala orientativa:
0  P 1
P0
Evento
impossibile
0  P 1 2
Evento
poco probabile
P 1 2
Evento
incerto
1 2  P 1
Evento
molto
probabile
P 1
Evento
certo
La legge empirica del caso 1/1
La legge più importante del calcolo delle probabilità è la legge
empirica del caso o legge dei grandi numeri, che stabilisce una
relazione fra la probabilità teorica di un evento e la frequenza
statistica con cui quell’evento si verifica.
Ad esempio, lanciando una moneta gli eventi possibili sono:
E1= «esce testa» e E2= «esce croce»
le rispettive probabilità sono:
P(E1)= 1/2 e P(E2)= 1/2
Naturalmente non possiamo assolutamente affermare che se
eseguiamo due lanci e al primo otteniamo «testa», al secondo
avremo sicuramente «croce»!
La legge empirica del caso 1/2
Supponiamo di effettuare 10 lanci della moneta e di ottenere 6
volte «testa» e 4 volte «croce», si può affermare che:
 Il numero di volte che un evento E si è verificato, durante un
numero n di prove effettuate, si chiama frequenza assoluta
dell’evento.
 Il rapporto fra la frequenza assoluta dell’evento E e il numero
n di prove effettuate si chiama frequenza relativa, F(E)
dell’evento:
F (E) 
frequenza assoluta
n
Nel nostro caso possiamo scrivere:
«esce testa»
P(E1)= 1/2,
F(E1)=6/10
«esce croce»
P(E2)= 1/2,
F(E2)=4/10
La legge empirica del caso 1/3
Continuando ad eseguire un numero elevato di lanci si osserva
che il valore della frequenza relativa si avvicina al valore della
probabilità, pertanto si può affermare che:
In una serie di prove, ripetute un gran numero di volte, eseguite
tutte nelle stesse condizioni, la frequenza relativa si approssima
sempre più alla probabilità dell’evento stesso.
Con l’aumentare del numero di prove tale approssimazione
tende a coincidere con la probabilità matematica.
Tale definizione riconduce a quella che viene definita concezione
frequentista della probabilità.
Introduciamo il concetto di eventi
incompatibili 1/1
Consideriamo il lancio di un dado ed esaminiamo due eventi
possibili:
 E1: «esce il numero 4»
 E2 :«esce il numero 1»
E’ ovvio che si potrà verificare uno solo dei due eventi, in quanto
non possono uscire contemporaneamente, in un solo lancio, il 4
e il 1, quindi il verificarsi di E1 esclude il verificarsi di E2; ma è
anche possibile che nessuno dei due si verifichi in quanto
possono uscire l’ 3, il 2, il 5 o il 6.
Eventi come
incompatibili.
quelli
che
abbiamo
considerato
si
dicono
Due eventi aleatori E1 e E2 sono incompatibili se il verificarsi
dell’uno esclude il verificarsi dell’altro e può anche accadere che
nessuno dei due si verifichi.
Eventi incompatibili 1/2
Dati due eventi incompatibili, qual è la probabilità che si verifichi
o l’uno o l’altro?
Riconsideriamo l’esempio:
 E1: «esce il numero 4»
P(E1)=1/6
 E2 :«esce il numero 1»
P(E2)=1/6
La probabilità dell’evento «esce il numero 4 o il numero 1» è
uguale a :
P(E1o E2)=1/6+1/6=2/6=1/3
Dati due eventi aleatori incompatibili, E1 ed E2, la probabilità
che si verifichi o l’uno o l’altro è data dalla somma delle
probabilità di ciascuno dei due eventi:
P(E1o E2)=P(E1)+P(E2)
Eventi compatibili 1/1
Consideriamo l’estrazione di una carta da un mazzo di carte
napoletane ed esaminiamo due eventi possibili:
 E1 : «esce una carta di spade»
 E2 :«esce un asso»
I due eventi possono verificarsi contemporaneamente in quanto,
se esce l’asso di spade, si verifica sia l’evento E1 (esce una carta
di spade), sia l’evento E2 (esce un asso).
Eventi come
compatibili.
quelli
che
abbiamo
considerato
si
dicono
Due eventi aleatori E1 e E2 sono compatibili se il verificarsi
dell’uno non esclude il verificarsi dell’ altro, è cioè possibile che
si verifichino entrambi contemporaneamente.
Eventi compatibili 1/2
Dati due eventi aleatori compatibili, qual è la probabilità che si
verifichi uno dei due?
Riconsideriamo l’esempio:
 E1 : «esce una carta di spade»
p(E1)=10/40=1/4
 E2 :«esce un asso»
p(E2)= 4/40=1/10
Per calcolare la probabilità dell’evento «esce una carta di spade
oppure un asso» dobbiamo addizionare le due probabilità
(E1+E2) e sottrarre la probabilità dell’evento comune E «esce
l’asso di spade» con probabilità p(E)=1/40.
Per cui la probabilità che si verifichi uno dei due eventi
compatibili sarà:
P(E1o E2)=P(E1)+P(E2)-P(E)=1/4+1/10-1/40=13/40
Dati due eventi aleatori compatibili, E1 ed E2, la probabilità che
si verifichi uno dei due è data dalla somma delle probabilità
di ciascuno dei due eventi meno la probabilità che si
verifichino contemporaneamente i due eventi:
P(E1o E2)=P(E1)+P(E2)-P(E1e E2)
Eventi complementari 1/2
Consideriamo l’estrazione di una lettera da un sacchetto
contenente le seguenti lettere:
ed esaminiamo due eventi possibili:
 E1 : «estrarre una consonante»
 E2 : «estrarre una vocale»
I due eventi sono incompatibili: il verificarsi di E1 esclude il
verificarsi di E2, però uno dei due si verificherà certamente;
infatti l’evento «estrarre una consonante o una vocale» è un
evento certo.
Eventi come quelli
complementari.
che
abbiamo
considerato
si
dicono
Due eventi casuali E1 e E2 sono complementari se il verificarsi
dell’uno esclude il verificarsi dell’ altro, ma uno dei due si
verificherà certamente.
Eventi complementari 2/2
Riconsideriamo l’esempio «estrazione di una lettera da un
sacchetto contenente le lettere S T A T I S T I C A» e
calcoliamo le probabilità:
 E1 : «estrarre una consonante»
P(E1)= 6/10
 E2 :«estrarre una vocale»
P(E2)= 4/10
Se consideriamo l’evento E: «estrarre una consonante o una
vocale», otteniamo un evento certo, per il quale quindi deve
essere P(E)=1; eseguendo la somma delle probabilità otteniamo
infatti:
P(E)=P(E1)+P(E2)=6/10+4/10=1
Due eventi complementari sono sempre incompatibili, ma due
eventi incompatibili non sono necessariamente complementari.
La somma delle probabilità di due eventi complementari è
uguale a 1.
P(E)=P(E1)+P(E2)=1
Eventi composti
Lanciando una moneta si possono verificare due eventi semplici
E1 = Testa ; E2 = Croce
Lanciando la stessa moneta due volte, sono possibili i seguenti
eventi
E1,1=(T, T); E1,2=(T, C); E2,1=(C, T); E2,2=(C,C)
Un evento che può essere suddiviso in eventi semplici è un
evento composto
La probabilità di eventi indipendenti tra loro
Un evento E2 è indipendente da un evento E1 se il verificarsi di
E1 non altera la probabilità che E2 ha di manifestarsi.
Se consideriamo un’urna contenente 10 palline, numerate da 1
a 10, la probabilità che estraendone una si abbia la pallina n°3
o la pallina n°10 è 1/10.
Se si estrae la pallina n°3 e la si rimette nell’urna, la probabilità
di estrarre la n°8 ad una seconda estrazione è ancora 1/10 per
cui i due eventi sono indipendenti detti anche «processi senza
memoria»
Il sorteggio con ripetizione (cioè con reimmissione) dà luogo ad
eventi indipendenti, poiché la composizione dell’urna rimane
la stessa nelle varie estrazioni successive e la probabilità degli
eventi considerati non si altera
La probabilità di eventi dipendenti tra loro
Se però la pallina n°3 sorteggiata non si rimette nell’urna, la
probabilità di estrarre la n°8 al secondo sorteggio diventa 1/9.
La probabilità quindi si è modificata e gli eventi sono diventati
dipendenti
Il sorteggio
senza ripetizione dà luogo ad eventi dipendenti
La probabilità condizionata 1/2
Quando gli eventi sono dipendenti bisogna introdurre il concetto
di probabilità condizionata
Si supponga con riferimento a due eventi E1 ed E2 di sapere che
E1 si sia già verificato: se si vuole conoscere la probabilità che
verrà indicata con P(E2|E1), che l’evento
E2 si verifichi
subordinatamente alla condizione che si sia verificato E1, qual è
il valore di questa probabilità?
Riprendiamo il precedente esempio delle estrazioni successive,
ma senza reimmissione delle palline n°3 e n°8:
-la probabilità dell’evento P(E2 e E1) = 1/90 poiché i casi possibili
sono 90 ( essi si ottengono associando ognuna delle 10 palline
della prima estrazione con ognuna delle 9 rimanenti della
seconda) mentre si ha un solo caso favorevole (uscita del n° 3
alla prima estrazione e del n° 8 alla seconda);
La probabilità condizionata 2/2
 la probabilità dell’evento E1 alla prima estrazione è 1/10
 la probabilità dell’evento E2 alla seconda estrazione,
subordinatamente al verificarsi di E1 nella prima, cioè la
probabilità di E2|E1 è 1/9, poiché i casi possibili sono 9,
mentre si ha un solo caso favorevole (uscita della n° 8)
Pertanto
1/9= 1/90 / 1/10
P(E2|E1)=P(E2 e E1)/P(E1)
Definizione soggettiva di probabilità
Ci sono casi in cui non ci sono le condizioni per calcolare la
probabilità utilizzando la definizione classica o frequentista,
come ad esempio
• se vogliamo sapere quale squadra di calcio vincerà il
campionato
• se vogliamo sapere se una nuova trasmissione televisiva avrà
successo o no
In casi di questo genere si fa ricorso all’approccio soggettivista
della probabilità.
La definizione soggettiva della probabilità di un evento è
definita come la misura del grado di fiducia che una persona, in
base alle informazioni in suo possesso e alla sua opinione,
assegna al verificarsi di un evento.
…e adesso…
buon lavoro!
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