Calcolo delle Probabilità
terza parte
Istituzioni di Matematiche
Scienze Naturali
Sergio Console
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Distribuzioni di probabilità
Facciamo un istogramma le cui
barre rappresentano le
probabilità di vari eventi per un
dato esperimento aleatorio
0,6
Esempio: lancio di una moneta:
Risultati: TT CT o TC CC
Probabilità: 1/4
1/2
1/4
La probabilità può essere pensata
come funzione dei vari risultati,
che possiamo allora vedere come
variabili
(dette variabili aleatorie)
0,5
0,4
0,3
Probabilità
0,2
0,1
0
TT
Probabilit
à
0,25
CT o
TC
0,5
Indichiamo con p(X=a) la
probabilità che la variabile
aleatoria X valga a
CC
0,25
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La distribuzione binomiale
Supponiamo di avere a che fare con prove ripetute che di eventi a
2 soli esiti che diciamo convenzionalmente successo e insuccesso
Una tale situazione è detta processo bernoulliano se
• il risultato di ogni prova è un successo o un insuccesso;
• la probabilità p di successo è la stessa in ogni prova;
• le prove sono indipendenti: il risultato di ogni prova non
influenza quello delle prove successive
Esempi:
• lanci successivi di una moneta
• estrazioni con reimbussolamento
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Distribuzione binomiale
Numero di successi in n prove INDIPENDENTI
0
1
n pi(1-p)n-i
.
P(X=i)=
Binomiale: X=
i
.
n
Esempio Un’urna contiene 10 palline bianche e 23 rosse. Estraggo
=
4 palline CON REIMBUSSOLAMENTO.
Qual è la probabilità di estrarre 3 palline rosse e 1 bianca?
Sia p:=probabilità di estrarre una pallina rossa = 23/33; 1-p=10/33.
Devo trovare P(X=3)= 4 (23/33)3*(10/33)≈0,1026.
3
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Esercizi
• Il semaforo posto ad un incrocio pericoloso a volte si blocca.
L'assessore al traffico è a conoscenza che la probabilità che si blocchi
un determinato giorno è 0.002.
Poiché è impossibile riparare il semaforo in giornata, l'assessore decide
di sistemare all'incrocio altri semafori a fianco del primo e pertanto si
chiede quale sia il numero n di semafori da sistemare in modo che sia
quasi certo che il traffico non si intralci, ossia sia superiore a 0.99999
la probabilità che almeno uno dei semafori funzioni. Quanto vale n?
• Quattro bambini vengono vaccinati
contro il morbillo. Il vaccino attecchisce
con probabilità 0.8, garantendo l’immunità
del bambino alla malattia.
Con quale probabilità tutti i bambini risultano immunizzati?
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Coefficiente binomiale
n
Teorema binomiale
(a+b)n =
i=0
100
15
Abbiamo bisogno
di nuovi mezzi di
calcolo!
Un foglio più
grande potrebbe
bastare!
n
i
ai bn-i
Triangolo di Pascal
5
3
7
2
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La distribuzione ipergeometrica
Un’urna contiene b palline bianche e r rosse.
Ne estraggo n (n≤b+r) SENZA REIBUSSOLAMENTO.
Calcolare la probabilità di estrarre esattamente k palline
rosse.
I casi possibili sono
I casi favorevoli sono C(r,k)C(b,n-k)=
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Esempio
Su un autobus sono presenti 25 persone, di cui 18 sedute.
5 persone scenderanno alla prossima fermata.
Qual è la probabilità che si liberino esattamente 2 posti a sedere?
Ho b=18 persone sedute e r=7 persone in piedi
Ne scelgo n=5 e ne voglio k=2 del tipo “b”
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Esercizi
Stabilire quale delle seguenti situazioni può venire
descritta con un modello binomiale e quale con un modello
ipergeometrico:
Il controllore sale sull’autobus, sia p=0.05 la probabilità
che un passeggero non abbia il biglietto. Con quale
probabilità il controllore trova due persone prive di
biglietto?
Un gruppo di 50 lampadine ne contiene 2 difettose.
Scelte 5 lampadine a caso, qual è la probabilità che
almeno una sia difettosa?
Ogni giorno arrivo alla fermata dell’autobus alle ore
8:00. Sia p=0.2 la probabilità che l’autobus arrivi entro
5 minuti. Qual è la probabilità che in un mese (30
giorni) l’autobus non arrivi mai entro 5 minuti?
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Distribuzione Ipergeometrica/Binomiale
(estrazioni senza/con reimbussolamento)
pr/N = 0.3
S
e
n
z
a
C
o
n
R
e
i
m
b
u
s
s
o
l
a
m
e
n
t
o
R
e
i
m
b
u
s
s
o
l
a
m
e
n
t
o
P(X=i)=
r N-r
i n-i
N
n
n
P(X=i)=
i
pi (1-p)n-i
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