rette parallele e non

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Rette parallele
Consideriamo due rette che si trovano su di uno stesso
pian o cioè sono complanari.
Per indicare se due rette sono parallele si usa il simbolo :
si scrive s ⁄ ⁄ r e si legge ” la retta s è parallela alla retta r”.
Due o più rette parallele, non si incontrano mai,
mantengono sempre la stessa direzione e la stessa distanza.
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POSTULATO DI EUCLIDE o POSTULATO DELLE PARALLELE.
Per un PUNTO NON APPARTENENTE ad una retta, si può
condurre UNA ed UNA SOLA PARALLELA ad essa.
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DISTANZA tra due RETTE PARALLELE
Se DUE RETTE SONO PARALLELE, i PUNTI DI UNA
DI ESSE HANNO UGUALE DISTANZA DALL'ALTRA.
Il SEGMENTO DI PERPENDICOLARE AB, compreso tra le due
rette parallele, prende il nome di DISTANZA delle DUE RETTE
PARALLELE.
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ANGOLI FORMATI da DUE RETTE TAGLIATE da una
TRASVERSALE
Disegniamo due rette (né parallele, né perpendicolari) e chiamiamole a e b:
Ora disegniamo un'altra retta, che
chiamiamo r, e che interseca le
rette a e b rispettivamente nei punti A e B:
La retta r prende il nome
di TRASVERSALE.
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Essa, incontrando le rette a e b forma 8 angoli che abbiamo indicato,
nella figura sottostante, ognuno con un numero da 1 a 8:
Gli ANGOLI:
si dicono ANGOLI ALTERNI INTERNI
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Gli ANGOLI:
si dicono ANGOLI ALTERNI ESTERNI
Gli ANGOLI:
si dicono ANGOLI CONIUGATI INTERNI
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Gli ANGOLI
si dicono ANGOLI CONIUGATI ESTERNI
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Gli ANGOLI
si dicono ANGOLI CORRISPONDENTI
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ANGOLI FORMATI da DUE RETTE PARALLELE TAGLIATE da una
TRASVERSALE
Disegniamo DUE RETTE PARALLELE e chiamiamole a e b:
Ora disegniamo un'altra retta, che
chiamiamo r, e che interseca le
rette a e b rispettivamente nei punti A e B:
La retta r, incontrando le
rette a e b forma 8 angoli
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Usando un GONIOMETRO possiamo facilmente verificare che
sono UGUALI TRA LORO gli ANGOLI:
cioè gli ANGOLI ALTERNI INTERNI;
cioè gli ANGOLI ALTERNI ESTERNI
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Sempre usando un GONIOMETRO possiamo verificare che
sono SUPPLEMENTARI gli ANGOLI:
cioè gli ANGOLI CONIUGATI INTERNI
e gli angoli
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, cioè
gli ANGOLI CONIUGATI ESTERNI
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Gli angoli coniugati sono così chiamati, perché stanno dalla stessa parte. In figura, gli
angoli 3 e 5, 4 e 6 sono coniugati o anche detti supplementari, dato che la loro
somma è di 180°.
Gli angoli alterni sono chiamati in questo modo, perché si trovano da parti
opposte e sono: 3-6, 4-5, 1-8, 2-7. Le prime coppie 3-6 e 4-5 sono alterni interni; le
altre due sono invece esterni. Infine le coppie 2-6, 1-5, 4-8 e 3-7 si dicono
corrispondenti, perché si trovano contemporaneamente sopra o sotto la retta a
(oppure b).
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PROBLEMI su RETTE PARALLELE TAGLIATE da una TRASVERSALE
Ora vediamo come applicare le nozioni apprese ad alcuni problemi.
Esempio 1:
due rette parallele tagliate da una
trasversale formano una coppia di angoli
coniugati interni, uno dei quali misura 56°.
Calcolare l'ampiezza dell'altro.
Per risolvere questo problema è sufficiente
ricordare che DUE RETTE PARALLELE
TAGLIATE DA UNA
TRASVERSALE formano ANGOLI
CONIUGATI INTERNI SUPPLEMENTARI,
cioè angoli la cui somma è pari a 180°.
Quindi, se la somma dei due angoli è pari
a 180° e uno di essi misura 56° l'altro
angolo misurerà:
180° - 56° = 124°.
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Esempio 2:
due rette parallele tagliate da una trasversale formano una coppia di
angoli coniugati interni, tali che uno di essi è 1/5 dell'altro. Quali sono le
loro ampiezze?
Anche in questo caso noi sappiamo che DUE RETTE PARALLELE
TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE formano ANGOLI CONIUGATI
INTERNI SUPPLEMENTARI.
In questo caso però non sappiamo quanto misura un angolo, ma
conosciamo solamente la somma degli angoli (pari a 180°) e sappiamo
che uno di essi è pari a 1/5 dell'altro.
Ora immaginiamo che questo sia il primo angolo:
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Esso può essere diviso in 5 parti uguali. Così:
Il secondo angolo è pari ad 1/5 del primo.
Quindi esso è:
Ora sommando i due angoli avremo un
angolo di 180°:
Come possiamo notare l'angolo
di 180° risulta diviso in 6 parti uguali,
ognuna di esse misurerà:
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180° : 6 = 30°
Ora noi sappiamo che il primo, angolo, quello indicato nel disegno
in GIALLO, può essere immaginato come formato da 5 angoli
ciascuno pari a 30°, quindi il nostro angolo misura:
30° x 5 = 150°.
l secondo angolo, invece, indicato nel
disegno in VERDE, è evidentemente pari
a 30°.
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Esempio 3:
due rette parallele tagliate da una trasversale formano una coppia di
angoli coniugati interni la cui differenza è di 72°. Quali sono le loro
ampiezze?
Anche in questo caso noi sappiamo che DUE RETTE PARALLELE
TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE formano ANGOLI CONIUGATI
INTERNI SUPPLEMENTARI.
In questo caso però non sappiamo quanto misura un angolo, ma
conosciamo solamente la somma degli angoli (pari a 180°) e la loro
differenza che è pari a72°.
Ora immaginiamo che questo sia il primo angolo.
Ora immaginiamo che questo sia
il secondo angolo.
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Noi sappiamo che:
e che:
180° - 72° = 108°
180° + 72° = 252°
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108° : 2 = 54°
252° : 2 = 126°
RETTE PERPENDICOLARI
DUE RETTE si
dicono PERPENDICOLARI quando
INCONTRANDOSI
FORMANO 4 ANGOLI UGUALI tra loro.
Ognuno dei 4 angoli formati dalle due rette
perpendicolari è un ANGOLO RETTO,
cioè un angolo che misura 90°.
Due RETTE che si INCONTRANO in un
punto senza formare 4 angoli uguali tra
loro si dicono INCIDENTI.
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PIEDE della PERPENDICOLARE
Disegniamo una retta r e un
punto A esterno alla retta r:
Ora disegniamo la retta q perpendicolare
ad r passante per A:
Chiamiamo con B il punto in cui la retta q e
la retta r si intersecano:
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Il punto B si chiama:
PIEDE DELLA PERPENDICOLARE condotta da A alla retta r;
oppure
PROIEZIONE di A su r.
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DISTANZA di UN PUNTO da una RETTA
Disegniamo:
una retta r;
un punto A esterno alla retta r;
la retta q perpendicolare ad r passante per A;
il punto B in cui la retta q e la retta r si intersecano,
ovvero il PIEDE DELLA PERPENDICOLARE condotta
da A alla retta r.
Disegniamo ora, sulla retta r, un qualsiasi punto C:
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Quindi disegniamo un SEGMENTO che vada dal punto A al punto C:
Il segmento AC si
chiama OBLIQUA rispetto ad r.
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Confrontando tra loro i segmenti AB e AC avremo:
Notiamo che
AB < AC.
Possiamo provare a fissare vari punti sulla retta r e a tracciare vari
segmenti che uniscano il punto A con ciascuno di tali punti:
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Osserviamo che il segmento AB è inferiore a ciascuno degli altri segmenti
tracciati.
Possiamo allora affermare che il SEGMENTO DI PERPENDICOLARE
ABBASSATO DA UN PUNTO SU UNA RETTA (ovvero, nel nostro esempio il
segmento AB) è MINORE di qualsiasi OBLIQUA.
Per questa ragione il segmento AB si dice DISTANZA del punto A dalla retta r.
In altre parole la DISTANZA di un PUNTO da una RETTA è la LUNGHEZZA
DEL SEGMENTO DI PERPENDICOLARE condotta da quel punto alla retta.
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ASSE di un SEGMENTO
Consideriamo il SEGMENTO AB
Fissiamo il PUNTO MEDIO di tale
segmento e chiamiamolo M:
Ora disegniamo la retta
PERPENDICOLARE al
segmento AB passante per il PUNTO M:
La retta r che abbiamo disegnato prende il
nome di ASSE DEL SEGMENTO AB.
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L'ASSE di un SEGMENTO è la RETTA
PERPENDICOLARE al
segmento stesso passante per il suo PUNTO
MEDIO.
Ora fissiamo, sull'ASSE DEL SEGMENTO alcuni PUNTI: ad esempio, il
punto P, il punto Q e il punto R:
Congiungiamo i punti segnati con gli
estremi A e B del segmento:
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Misurando i segmenti ottenuti noteremo che
Possiamo allora affermare che OGNI PUNTO dell'ASSE DI UN
SEGMENTO ha UGUALI DISTANZE dagli ESTREMI DEL
SEGMENTO.
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