Nono ciclo SSIS
Didattica della Matematica 1 – Modulo 2
9 aprile ’08
Da un disegno ad una “isola deduttiva”
1. Rette perpendicolari
1.A. Seguendo le regole:
non usare squadre, usare riga non graduata, compasso, carta non quadrettata
disegnare: un punto P , una retta r che non passa per P, la retta perpendicolare ad r passante per P.
1. B. Presentazione delle soluzioni
1. C. Giustificare le costruzioni, in base a
elenco condiviso di conoscenze di base date per acquisite
utilizzo dei dati e dalle conoscenze di base.
1.D. Scrivere
l’elenco delle conoscenze preliminari
la dimostrazione di risultati necessari per la costruzione
la dimostrazione della correttezza della costruzione
l’elenco dei termini introdotti e dei risultati ottenuti.
2. Bisettrice di un angolo.
2.A. Con le stesse regole di 1.A, riprodurre il motivo ornamentale arabo blu1, notando che il segmento NE
appartiene alla bisettrice dell’angolo ∠HEO (di vertice E).
Suggerimento: un modo (non l’unico) per costruire la bisettrice si basa sulla proprietà: in un triangolo isoscele
l’altezza relativa alla base coincide con la bisettrice dell’angolo al vertice e con la mediana relativa alla base.
2.B, C, D come 1.B, C, D.
3. Rette parallele.
3.A. Seguendo le regole:
non usare squadre, usare riga non graduata, compasso, carta non quadrettata
disegnare: un punto P , una retta r che non passa per P, la retta parallela ad r passante per P.
Suggerimento: vi sono vari modi di utilizzare le proprietà dei parallelogrammi.
3.A’. E se è permesso usare la squadra?
3.B, C, D come 1.B, C, D.
Aiuto per una parte di 3.D.
L’elenco delle conoscenze su cui basare lo studio si arricchisce di
definizione di rette parallele
“postulato” o “assioma” di esistenza ed unicità della parallela ad una retta data per un punto fissato fuori
di essa
teorema: due rette sono parallele se e soltanto se formano, con ogni trasversale, angoli alterni (oppure,
corrispondenti) congruenti
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da Source book of Problems for Geometry, di Mabel Sykes (Dale Seymour Publ., Palo Alto, Ca., ristampa dell’originale del 1912)
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teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo
definizione di parallelogramma.
Da queste conoscenze si può dedurre la proposizione: un quadrilatero avente i lati opposti a due
congruenti è un parallelogrammo.
Deduzione guidata. Nel quadrilatero ABCD per ipotesi è AB = CD, AD = BC.
a) I triangoli ABC, CDA soddisfano le ipotesi del ………… criterio di congruenza, quindi gli
…………………………
b) Le rette AB, CD formano con la trasversale AC …………….
sono …….
c) Le rette AD, BC formano con la trasversale AC …………….
sono…….
d) Ne segue che il quadrilatero ………………………………………………………….
e) C.v.d.
a due
angoli
quindi
quindi
4. Divisione di un segmento in (più di due) parti uguali.
4.A. Utilizzando riga non graduata, compasso, carta non quadrettata, e, se si vuole, squadra, disegnare un
segmento e dividerlo in 3 parti uguali.
4.B, C, D come 1.B, C, D.
5. Riflessione.
A. Nel ruolo di studente.
Riguardo alle conoscenze
L’attività è servita per farmi ricordare proprietà geometriche già note? Quali?
L’attività è servita per farmi acquisire nuove conoscenze? Quali?
Sono capace di ricostruire la genealogia delle conoscenze conquistate al termine di questa
attività?
Quali difficoltà ho incontrato?
Riguardo alla didattica
Il metodo usato è stato utile oppure mi sarei sentito più a mio agio con altri metodi? Perché?
Se per me sono più efficaci altri metodi, quali e perché?
Ho avuto un ruolo attivo in questa attività? In quali momenti?
Quali difficoltà ho incontrato?
B. Nel ruolo di professore.
Riguardo alle conoscenze
Quali conoscenze erano oggetto di questa attività didattica?
I problemi posti sono adeguati allo scopo?
Se no, che cosa bisognerebbe cambiare o aggiungere?
Quali carenze evidenti, difetti, errori ho notato?
Riguardo alla didattica
Quali errori o imperfezioni il docente dovrebbe correggere riguardo alla
progettazione dell’attività
scansione dei tempi
conduzione della discussione
altro?
Come si potrebbero correggere i difetti riscontrati?
Come si potrebbe rendere più efficace questo tipo di attività?
Note.
Queste proposte didattiche hanno, come le precedenti, lo scopo di aiutare gli studenti del primo anno della scuola
superiore a recuperare nozioni di base della geometria euclidea del piano ma si pongono anche l’obiettivo di
iniziare gradatamente alla formazione di capacità di ragionamento e di deduzione. Come chiaramente illustrato
nel citato testo di V. Villani, Cominciamo dal punto, al n. 2, pag. 21 e successive, un percorso didattico possibile
per l’insegnamento della geometria della scuola superiore è quello delle “isole deduttive”:
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“si parte da una ricognizione a tutto campo sulle nozioni geometriche già possedute dagli allievi (per
esempio, all’inizio della scuola secondaria superiore, tale elenco potrà comprendere il postulato delle parallele,
i tre criteri di uguaglianza dei triangoli, il fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo
piatto, la disuguaglianza triangolare, l’enunciato del teorema di Pitagora). Si assume questo insieme di
conoscenze condivise dalla classe come punto di partenza per dedurne, con brevi catene di ragionamenti, altre
proprietà geometriche non scontate e magari sorprendenti” (Villani, pag. 25).
Per giustificare le costruzioni 1, 2 basta conoscere le proprietà dei triangoli isosceli, per la terza costruzione
occorre richiamare il postulato delle parallele, e la caratterizzazione delle parallele attraverso le proprietà degli
angoli che esse formano con una trasversale. Il presupposto della quarta costruzione è il teorema attribuito a
Talete relativo ai segmenti che sono tagliati su due diverse trasversali dalle rette di un fascio di rette parallele (si
veda un testo di geometria per la scuola superiore).
Nella figura qui sotto sono riportati esempi di soluzione dei quattro problemi di costruzione. In rosso il primo e
l’ultimo passo di ogni costruzione.
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