Esercizi sulla stima della varianza

Infe 04 - 1 / 70
Lezione 6
Inferenza
statistica
Infe 04 - 2 / 70
parte 3
Esercizi sulla stima
della media e della varianza
Infe 04 - 3 / 70
Strumenti di misura e strumenti di inferenza
1 n
μ  X n   X j  εm
n j 1
  Sn
2
2
1 n
X j  μ 2  ε v


n  1 j 1
Infe 04 - 4 / 70
incertezza dello stimatore campionario
• estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile
casuale X avente densità f (x) qualsiasi con media m e
varianza 2 un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme
di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si possono usare la media
campionaria e la varianza campionaria corretta per stimare i valori
dei parametri m e 2 relativi all’intera popolazione.
• come tutti gli strumenti di misura, anche gli stimatori
sono imperfetti e la loro stima del parametro presenta
un’incertezza che deve essere quantificata.
1 n
μ  X n   X j  εm
n j 1
  Sn
2
2
1 n
2



X

μ
 εv

j
n  1 j 1
Infe 04 - 5 / 70
incertezza dello stimatore media campionaria
• La “probabilità” dell’evento:
P  μ ε
m
 X n  μ  εm 
è uguale alla “confidenza” con cui posso affermare:
μ  X n  ε m , X n  ε m 
Infe 04 - 6 / 70
incertezza dello stimatore varianza campionaria corretta
• La “probabilità” dell’evento:
P
2


Sn
1   v  2  1   v 





è uguale alla “confidenza” con cui posso affermare:
2
2

Sn
Sn 
2
σ  
,

1   v 1   v 
Infe 04 - 7 / 70
incertezza degli stimatori campionari
P  μ ε
P
m
 X n  μ  εm 
2


Sn
1   v  2  1   v 





• La determinazione dell’incertezza degli stimatori campionari si
conduce tramite lo studio della distribuzione di probabilità della
variabile casuale costituita dallo stimatore.
Infe 04 - 8 / 70
Riassunto stimatori campionari
n
1
2
2
X j  X n 
Sn 

n  1 j 1
• varianza campionaria
corretta:
• se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile
casuale X avente distribuzione normale un campione di n
elementi con immagini { X1, X2, …, Xn } (con n > 1) ,
• allora la variabile casuale c 2 :
 X j  Xn 

c  n  1
  



j 1 

2
S
2
n
2
n
2
n  1
segue una distribuzione di tipo “chi-quadro” con n -1 gdl.
Infe 04 - 9 / 70
La variabile c2
f ( c² )
 X j  Xn 

c  n  1
  



j 1 

2
S
2
n
2
n
2
c²
Infe 04 - 10 / 70
Riassunto stimatori campionari
n
1
2
2
X j  X n 
Sn 

n  1 j 1
• varianza campionaria
corretta:
• se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile
casuale X avente distribuzione normale un campione di n
elementi con immagini { X1, X2, …, Xn } (con n > 1) ,
• allora la variabile casuale C 2 :
 X j  Xn 
1


C 




n  1 j 1  

2
S
2
n
2
n
2
n  1
segue una distribuzione di tipo “modificata di chi-quadro”
con n -1 gradi di libertà.
Infe 04 - 11 / 70
La variabile C2
f ( C² )
 X j  Xn 
1


C 




n  1 j 1  

2
S
2
n
2
n
2
C²
Infe 04 - 12 / 70
Incertezza dello stimatore Sn2
Chiediamoci ora:
“ Qual è la probabilità che, estraendo a caso un campione di n
elementi da una popolazione su cui è stata definita una variabile
casuale X con distribuzione normale, il rapporto fra la varianza
campionaria corretta e la varianza relativa all’intera popolazione
 X j  Xn 
S
1







n  1 j 1 


2
n
2
n
sia compreso nell’intervallo
P
2
1  v , 1  v  ? ”
2


Sn
1   v  2  1   v 





n  1
Infe 04 - 13 / 70
Incertezza dello stimatore Sn2
P
2


Sn
1   v  2  1   v 





C2 
P 1  
v
 C 2  1  v

Sn
2
2
Infe 04 - 14 / 70
Incertezza dello stimatore Sn2
P
P C
2

2


Sn
1   v  2  1   v 






 1   v P C 2  1   v

Infe 04 - 15 / 70
Incertezza dello stimatore Sn2
Estraendo a caso un campione di n elementi da una
popolazione per cui è definita una variabile casuale
X con distribuzione normale, media m e varianza  2,
c’è una probabilità pari a:
P C
2


 1  v  P C 2  1  v

che il rapporto fra il valore ottenuto della varianza
campionaria corretta e la varianza della X per l’intera
2
popolazione
2
n
 X j  Xn 
Sn
1




2

σ
n  1 j 1 
σ

sia compreso nell’intervallo
 1 v
, 1 v

Infe 04 - 16 / 70
Incertezza dello stimatore Sn2
P
P C
2

2


Sn
1   v  2  1   v 






 1   v P C 2  1   v

Infe 04 - 17 / 70
Incertezza dello stimatore Sn2
P C
2

P
2


Sn
1   v  2  1   v 





P
2
 Sn 2
S
2
n




 1 
1 v
v


 1   v P C 2  1   v





Infe 04 - 22 / 70
Intervallo di confidenza a (1 – a )
possiamo quindi sostenere che:
estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione
per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione
normale, media m e varianza 2, c’è una probabilità 1 - a pari a
1 α
 P C
2


 1   v P C 2  1   v

che l’intervallo casuale
I1a
2
 Sn 2
Sn 
 
,

1   v 1   v 
contenga il valore della varianza 2 per l’intera popolazione.
I1-a è l’intervallo di confidenza allo 1 - a per la varianza
Infe 04 - 23 / 70
Riassunto
• varianza campionaria
corretta:
n
1
2
2
X j  X n 
Sn 

n  1 j 1
• Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza
campionaria corretta Sn2 e della varianza 2 riferita all’intera
popolazione sia compreso nell’intervallo [ 1 - v , 1 + v ] ?
P
2


Sn
1   v  2  1   v 





P 1  
v
 C 2  1 v

se la X ha distribuzione
normale la probabilità
cercata corrisponde alla :
Infe 04 - 24 / 70
Riassunto
n
1
2
2
X j  X n 
Sn 

n  1 j 1
• varianza campionaria
corretta:
• Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza
campionaria corretta Sn2 e della varianza 2 riferita all’intera
popolazione sia compreso nell’intervallo [ 1 - v , 1 + v ] ?
2
Sn
1  v  2  1  v


2
2
Sn
Sn
2
  
1  v
1  v
Infe 04 - 25 / 70
Riassunto
• varianza campionaria
corretta:
n
1
2
2
X j  X n 
Sn 

n  1 j 1
• Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza
campionaria corretta Sn2 e della varianza 2 riferita all’intera
popolazione sia compreso nell’intervallo [ 1 - v , 1 + v ] ?
P
2
 Sn 2

S
2
n


1     1  
v
v 

corrisponde alla area della
regione campita in verde:
Infe 04 - 26 / 70
Riassunto
• varianza campionaria
corretta:
n
1
2
2
X j  X n 
Sn 

n  1 j 1
• Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza 2 riferita
all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo
2
 Sn 2
Sn 
,


1


1


v
v

• con le nostre tavole:
P C

2
 1  v
P C
2

 1  v

Infe 04 - 27 / 70
Riassunto
• varianza campionaria
corretta:
n
1
2
2
X j  X n 
Sn 

n  1 j 1
• Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza 2 riferita
all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo
2
 Sn 2
Sn 
,


1


1


v
v

• con le nostre tavole:
P C

2

 1  v 
P C
2
 1  v

Infe 04 - 28 / 70
Intervallo di confidenza allo ... ?
• per bassi valori di n la f (C 2 )
non è simmetrica
pertanto non è agevole individuare
il valore di v da cui si ottiene
un intervallo simmetrico
con una prestabilita confidenza
– esempio:
0,05
0,10
a = 0,10
gdl = 10
C2 0,05 = 0,394 da cui:
v  0,6
da cui a = 0,15 pertanto 1 - a = 0,85 e non 0,90 !!!
Infe 04 - 29 / 70
Intervallo di confidenza allo 0,90
• per bassi valori di n la f (C 2 )
non è simmetrica:
si preferisce pertanto definire
un intervallo asimmetrico
individuato dai due quantili
Ca2 2
0,05
0,05
e
– esempio:
C12a 2
a = 0,10
gdl = 10
Infe 04 - 30 / 70
Intervallo di confidenza
• varianza campionaria
corretta:
1 n
2


Sn 
X j  Xn

n  1 j 1
2
• Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera
popolazione corrispondente ai due quantili Ca2 2 e C12a
corrispondenti alla confidenza scelta?
P
 2

S n2
2
 Ca 2  2  C1a 2  



corrisponde alla:
P
2 
 S n2
S
2
n 




2 
 C2
C
a 2 
 1a 2
2
Infe 04 - 31 / 70
Intervallo di confidenza
• varianza campionaria
corretta:
1 n
2


Sn 
X j  Xn

n  1 j 1
2
• Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera
popolazione corrispondente ai due quantili Ca2 2 e C12a
corrispondenti alla confidenza scelta?
l’intervallo cercato è:
 S n2
S n2 
; 2 
 2
Ca 2 
 C1a 2
2
Infe 04 - 32 / 70
Intervallo di confidenza varianza
possiamo sostenere che:
estraendo a caso un campione da una popolazione su cui è
definita una variabile casuale X con distribuzione normale,
media m e varianza 2, c’è una probabilità pari a 1 - a che
l’intervallo casuale
I1a
in cui
Ca2 2
e
 S n2
S n2
  2
; 2
 C1a 2 Ca 2
C12a 2



sono rispettivamente i valori del
quantile (a/2) e del quantile (1 - a/2) di una variabile C 2
che segue la distribuzione “modificata di chi-quadro”
con n -1 g.d.l contenga il valore della varianza 2.
Infe 04 - 33 / 70
Stima intervallo di confidenza con c2

n
• varianza campionaria:
1
S 
n 1
2
n
X
i
 Xn
i 1
• avendo introdotto la distribuzione “chi-quadro”
è stato possibile affermare che la variabile aleatoria c2
 Xi  Xn 

c  n  1
  

 
i 1 

S
2
n
2
n
segue tale distribuzione con n - 1 g.d.l..
2
2
Infe 04 - 34 / 70
Stima intervallo di confidenza con c2

n
1
S 
n 1
2
n
• varianza campionaria:
X
i
 Xn
2
i 1
• se dispongo dei valori della c2
χ
S
2
n
χ n1,Q sup
2
2
n 1
n  1
 n  1
 
2
S

S
2
n
2
2
n
χ n1,Q inf
2
n  1
Infe 04 - 35 / 70
Esercizio 1
stima per intervalli
della varianza
Infe 04 - 36 / 70
Esercizio 1
Supponiamo di avere una
popolazione di induttori
per la soppressione di
rumori e su tale
popolazione definiamo una
variabile casuale X che
assume, per ciascun
induttore, valore uguale al
valore della induttanza misurata in mH alla frequenza di 1,0 MHz.
Vogliamo individuare l’intervallo di confidenza allo 0,95 per la
varianza della X mediante l’uso di un campione composto da
n = 26 induttori.
Infe 04 - 37 / 70
Esercizio 1
Alla frequenza di 1,0 MHz
la induttanza può essere
misurata con l’uso di un
“ponte per radio frequenza”
Z10  Z 40  Z 20  Z30
Y10  Y40  Y20  Y30
  Y
Y
Y10  jC10  20 30
Y40
  Y
1
Y
Y1 
 jC1  20 30
jLx
Y40
1
1
C10 
 C1  Lx  2
Lx
 C1  C10 
Infe 04 - 38 / 70
Esercizio 1
dai valori misurati determino prima il valore dello stimatore
n
“media campionaria”
1
Xn 
n

Xi
i 1
e poi il valore dello stimatore “varianza campionaria corretta”

n
1
S 
n 1
2
n
X
i
 Xn
i 1
nel nostro caso il campione di 26 induttori ci porta a:
x26  7,97
;
2
s26
 0,0144
2
Infe 04 - 39 / 70
Esercizio 1
Se la induttanza degli induttori presenta una variabilità provocata
da molteplici cause legate al processo produttivo che agiscono
indipendentemente le une dalle altre allora è plausibile assumere
che la variabile X che è stata definita presenti una distribuzione di
tipo normale.
Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media m
e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile
casuale C2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria
corretta e la varianza della popolazione 2
2
Sn
C  2

2
segue una distribuzione di tipo “modificata di chi quadro”
Infe 04 - 40 / 70
Esercizio 1
il campione è composto da n= 26 elementi pertanto opero con 25
g.d.l.
Dalle tabelle dei valori critici di C ²25 trovo che i valori dei due
quantili 0,025 e 0,975 sono rispettivamente: 0,52 e 1,62
2
Sn
2
C  2

S n2
Cn21,Q sup
 σ2 
S n2
Cn21,Q inf
0,0144
0,0144
2
0,0089    0,0277
1,62
0,52
Intervallo di confidenza allo 0,95
Infe 04 - 41 / 70
Esercizio 2
stima per intervalli
della varianza
Infe 04 - 42 / 70
Esercizio 2
Un campione è costituito da 11 resistori estratti da una popolazione
infinita con distribuzione normale.
La misurazione della resistenza degli elementi del campione fornisce
i seguenti valori, in kW:
12,1 ;
12,2 ;
12,2 ;
12,2 ;
12,3 ;
12,3 ;
12,3 ;
12,4 ;
12,4 ;
12,4 ;
12,5 ;
Viene definita una variabile casuale X che assume, per ciascun
resistore della popolazione, valore uguale a quello della resistenza in
kW diminuito di 12.
Si individui l’intervallo di confidenza allo 0,95 per la varianza della X.
Infe 04 - 43 / 70
Esercizio 2
dai valori misurati determino prima il valore dello stimatore
“media campionaria”
n
1
X n   xi  0,3
11 i 1
e poi il valore dello stimatore “varianza campionaria corretta”
1 n
2
xi  X n   0,014
S 

11  1 i 1
2
n
Infe 04 - 44 / 70
Esercizio 2
Se la resistenza dei resistori studiati presenta una variabilità
provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che
agiscono indipendentemente le une dalle altre allora è plausibile
assumere che la variabile X che è stata definita presenti una
distribuzione di tipo normale.
Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media m
e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile
casuale C2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria
corretta e la varianza della popolazione 2
2
Sn
C  2

2
segue una distribuzione di tipo “modificata di chi-quadro”
Infe 04 - 45 / 70
Esercizio 2
il campione è composto da n= 11 elementi quindi opero con 10 g.d.l.
Dalla tabella, per
C ²10 trovo che i
valori dei due
quantili 0,025 e 0,975
sono rispettivamente:
0,325 e 2,05
S n2
Cn21,Q sup
 2 
S n2
Cn21,Q inf
0,014
0,014
2
0,0068    0,0431
2,05
0,325
Intervallo di confidenza allo 0,95
Infe 04 - 46 / 70
Esercizio 3
stima per intervalli
della varianza
Infe 04 - 47 / 70
Esercizio 3
Un campione è costituito da 31 resistori estratti da una popolazione
infinita con distribuzione normale.
Viene definita una variabile casuale X che assume, per ciascun
resistore della popolazione, valore uguale a quello della resistenza in
kW diminuito di 12.
La misurazione della resistenza degli elementi del campione fornisce:
1 n
X n   xi  0,3
31 i 1
1 n
2
xi  X n   0,014
S 

31  1 i 1
2
n
Si individui l’intervallo di confidenza allo 0,95 per la varianza della X
usando sia la distribuzione “modificata di chi-quadro” sia la
distribuzione “chi-quadro”.
Infe 04 - 48 / 70
Esercizio 3
Se la resistenza dei resistori studiati presenta una variabilità
provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che
agiscono indipendentemente le une dalle altre allora è plausibile
assumere che la variabile X che è stata definita presenti una
distribuzione di tipo normale.
Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media m
e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile
casuale C2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria
corretta e la varianza della popolazione 2
2
Sn
C  2

2
segue una distribuzione di tipo “modificata di chi quadro”
Infe 04 - 49 / 70
Esercizio 3
Se la resistenza dei resistori studiati presenta una variabilità
provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che
agiscono indipendentemente le une dalle altre allora è plausibile
assumere che la variabile X che è stata definita presenti una
distribuzione di tipo normale.
Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media m
e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile
casuale c2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria
corretta e la varianza della popolazione 2 moltiplicato per n-1
c 
2
Sn

2
2
n  1
segue una distribuzione di tipo “chi quadro”
Infe 04 - 50 / 70
Esercizio 3
• il campione è composto da n= 31 elementi quindi opero con 30 g.d.l.
• dalla tabella dei valori
critici di C ²30 trovo che
i valori dei due quantili
0,025 e 0,975
sono rispettivamente:
0,560 e 1,57
S n2
Cn21,Q sup
 2 
S n2
Cn21,Q inf
0,014
0,014
22
0,0089  0,025
1,57
0,560
Intervallo di confidenza allo 0,95
Infe 04 - 51 / 70
Esercizio 3
• il campione è composto da n= 31 elementi pertanto opero con
una distribuzione chi-quadro a 30 g.d.l.
c
• Dalle tabelle della f. cumulativa di ²30 trovo che i valori dei due
quantili 0,025 e 0,975 sono rispettivamente: 16,791 e 46,979
S n2
χ
2
n 1,Q sup
n  1   2 
S n2
χ
2
n 1,Q inf
n  1
0,014
0,014
2
30   
30
46,979
16,791
0,0089  2  0,025
Intervallo di
confidenza allo 0,95
Infe 04 - 52 / 70
Esercizio 4
stima per intervalli
della varianza
Infe 04 - 53 / 70
Esercizio 4
Si è definita su di una popolazione di sfere da cuscinetto una variabile
casuale avente, per ciascuna sfera prodotta, valore uguale al valore
del diametro misurato in centimetri.
Un campione casuale costituito da 41 sfere mostra un valore
della media campionaria di 0,824 e
della deviazione standard campionaria corretta di 0,042.
Determinare l’intervallo di confidenza al 99% per la varianza della
variabile casuale relativa all’intera popolazione.
Infe 04 - 54 / 70
Esercizio 4
Anche in questo esercizio dovremo assumere che la variabilità del
diametro della sfere sia provocata da molteplici cause legate al
processo produttivo che agiscono indipendentemente le une dalle
altre allora. Con questa premessa è plausibile assumere che la
variabile X che è stata definita presenti una distribuzione di tipo
normale.
Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media m
e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile
casuale C2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria
corretta e la varianza della popolazione 2
2
Sn
2
C  2

segue una distribuzione di tipo “modificata di chi quadro”
Infe 04 - 55 / 70
Esercizio 4
• il campione è composto da n= 41 elementi pertanto opero con la
tabella dei valori critici
della C ² per 40 g.d.l.
• dalla tabella trovo che i
valori dei due quantili
0,005 e 0,995
sono rispettivamente:
0,518 e 1,67
S n2
Cn21,Q sup
 2 
S n2
Cn21,Q inf
0,00176
0,00176
2
0,0010    0,0034
1,67
0,518
Intervallo di confidenza allo 0,99
Infe 04 - 56 / 70
Esercizio 4
• il campione è composto da n= 41 elementi pertanto opero con
una distribuzione chi-quadro a 40 g.d.l.
c
• Dalle tabelle della f. cumulativa di
²40 trovo che i valori dei
due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 20,707 e
66,766
S n2
χ
2
n 1,Q sup
n  1   2 
S n2
χ
2
n 1,Q inf
n  1
0,00176
0,00176
2
40   
40
66,766
20,707
0,0010   2  0,0034
Intervallo di
confidenza allo 0,99
Infe 04 - 57 / 70
Esercizio 5
stima per intervalli
della varianza
Infe 04 - 58 / 70
Esercizio 5
Ricalcolare l’intervallo di confidenza dell’esercizio precedente
nell’ipotesi che il campione sia costituito da 21 sfere.
Un campione casuale costituito da 21 sfere mostra un valore
della media campionaria di 0,824 e
della deviazione standard campionaria corretta di 0,042.
Determinare l’intervallo di confidenza al 99% per la varianza
della variabile casuale relativa all’intera popolazione.
Infe 04 - 59 / 70
Esercizio 5
• il campione è composto da n= 21 elementi pertanto opero con
20 g.d.l.
• dalla tabella della f. cumulativa
c
di
²20 trovo che i valori dei
due quantili 0,005 e 0,995
sono rispettivamente:
7,434 e 39,997
S n2
χ
2
n 1,Q sup
n  1   2 
S n2
χ
2
n 1,Q inf
n  1
0,00176
0,00176
2
20   
20
39,997
7,434
Infe 04 - 60 / 70
Esercizio 5
• il campione è composto da n= 21 elementi pertanto opero con
20 g.d.l.
• dalla tabella della f. cumulativa
c
di
²20 trovo che i valori dei
due quantili 0,005 e 0,995
sono rispettivamente:
7,434 e 39,997
S n2
χ
2
n 1,Q sup
n  1   2 
S n2
χ
2
n 1,Q inf
0,0009   2  0,0047
n  1
Intervallo di confidenza allo 0,99
Infe 04 - 61 / 70
Esercizio 5
• il campione è composto da n= 21 elementi pertanto uso la funzione
C ² con 20 g.d.l.
• Dalle tabelle di
C ²20 trovo che i valori
dei due quantili
0,005 e 0,995
sono rispettivamente:
0,372 e 2,00
S n2
Cn21,Q sup
 2 
S n2
Cn21,Q inf
0,00176
0,00176
2
  
2,00
0,372
Infe 04 - 62 / 70
Esercizio 5
• il campione è composto da n= 21 elementi pertanto uso la funzione
C ² con 20 g.d.l.
• Dalle tabelle di
C ²20 trovo che i valori
dei due quantili
0,005 e 0,995
sono rispettivamente:
0,372 e 2,00
S n2
Cn21,Q sup
 2 
S n2
Cn21,Q inf
0,0009   2  0,0047
Intervallo di confidenza allo 0,99
Infe 04 - 63 / 70
Esercizio 6
stima per intervalli
della varianza
Infe 04 - 64 / 70
Esercizio 6
Problema 1.
Il propulsore Mod. WEC viene prodotto da ACME Inc. mediante un processo automatizzato: dati storici
confermano che la lavorazione di ogni elemento prodotto richiede tipicamente 1 ora e 40 minuti
(1h 40min 00s): questo valore viene assunto come valore tipico per l'intera popolazione.
Un esperto di organizzazione aziendale suggerisce alla dirigenza di ACME la introduzione di una nuova
macchina affermando che tale azione può ridurre in modo significativo il tempo di lavorazione necessario per
realizzare il propulsore WEC.
A causa dei costi di esercizio della nuova macchina la dirigenza di ACME valuta che la sua introduzione
risulta economicamente conveniente solamente nel caso in cui il tempo di lavorazione necessario per
realizzare il propulsore WEC si riduca fino ad assumere un valore tipico per l'intera popolazione minore di 1
ora e 32 minuti (1h 32min 00s).
La dirigenza di ACME, con la collaborazione del costruttore della nuova macchina che ne mette a
disposizione un esemplare affinché sia possibile sperimentarne il funzionamento, decide di condurre un test
statistico allo scopo di confermare la effettiva utilità dell’acquisto della nuova macchina. Il test sarà condotto
con un livello di significatività pari a 0,01.
Mediante la nuova macchina vengono realizzati 6 esemplari di propulsore WEC misurando, per ciascuno di
essi, il tempo di lavorazione:
propulsore WEC #1
tempo di lavorazione = 1h 31min 06s
propulsore WEC #2
tempo di lavorazione = 1h 31min 24s
propulsore WEC #3
tempo di lavorazione = 1h 31min 36s
propulsore WEC #4
tempo di lavorazione = 1h 31min 42s
propulsore WEC #5
tempo di lavorazione = 1h 31min 48s
propulsore WEC #6
tempo di lavorazione = 1h 32min 00s
In base al risultato del test i dirigenti di ACME decidono di acquistare la nuova macchina oppure no?
Problema 3.
Si individui l’intervallo di confidenza al 95% per la varianza 2 della X riferita all’intera popolazione sulla base
dei valori forniti dal campione del problema 1.
Infe 04 - 65 / 70
Esercizio 6
Problema 1.
Il propulsore Mod. WEC … Mediante la nuova macchina vengono realizzati 6
esemplari di propulsore WEC misurando, per ciascuno di essi, il tempo di
lavorazione:
propulsore WEC #1 tempo di lavorazione = 1h 31min 06s
propulsore WEC #2 tempo di lavorazione = 1h 31min 24s
propulsore WEC #3 tempo di lavorazione = 1h 31min 36s
propulsore WEC #4 tempo di lavorazione = 1h 31min 42s
propulsore WEC #5 tempo di lavorazione = 1h 31min 48s
propulsore WEC #6 tempo di lavorazione = 1h 32min 00s
In base al risultato del test i dirigenti di ACME decidono di acquistare la nuova
macchina oppure no?
Problema 3.
Si individui l’intervallo di confidenza al 95% per la varianza 2 della X riferita
all’intera popolazione sulla base dei valori forniti dal campione del problema 1.
Infe 04 - 66 / 70
Esercizio 6
risoluzione:
La variabile casuale X con cui si descrive la durata della lavorazione viene
definita come: un numero pari al tempo di lavorazione diminuito di 1 ora e 31
minuti ed espresso in multipli di 6 secondi:
propulsore WEC #1 tempo di lavorazione = 1h 31min 06s
propulsore WEC #2 tempo di lavorazione = 1h 31min 24s
propulsore WEC #3 tempo di lavorazione = 1h 31min 36s
propulsore WEC #4 tempo di lavorazione = 1h 31min 42s
propulsore WEC #5 tempo di lavorazione = 1h 31min 48s
propulsore WEC #6 tempo di lavorazione = 1h 32min 00s
Con queste premesse la varianza campionaria corretta risulta:
1 6
2
S   xi  X n   10
5 i 1
2
n
x1 = 1
x2 = 4
x3 = 6
x4 = 7
x5 = 8
x6 = 10
Infe 04 - 67 / 70
Esercizio 6
risoluzione:
Per individuare l'intervallo di confidenza della varianza della X
relativa all'intera popolazione si costruisce una idonea variabile
casuale c2 così definita:
2
S
c 2  n  1 n2

che ha distribuzione di tipo "chi quadro" con n-1 gradi di libertà.
Si individuano quindi i due quantili della "chi quadro" relativi alle
probabilità 0,025 e 0,975 che, per 5 gradi di libertà, risultano essere:
χ Q2 inf  0,831
;
χ Q2 sup  12,832
Infe 04 - 68 / 70
Esercizio 6
cc2 inf  0,831
;
cc2 sup  12,832
Da questi valori si individuano gli estremi dell'intervallo di confidenza
cercato mediante la:
n  1
S n2
χ Q2 sup
  2  n  1
S n2
χ Q2 inf
Sostituendo nella espressione i valori della varianza campionaria
corretta, dei quantili della "chi quadro" e dei gradi di libertà si ottiene
infine:
10
10
2
3,89  5 
   5
 60,2
12,832
0,831
Infe 04 - 69 / 70
Esercizio 6
Risoluzione alternativa:
Per individuare l'intervallo di confidenza della varianza della X
relativa all'intera popolazione si costruisce una idonea variabile
casuale C 2 così definita:
C2 
S n2
2
che ha distribuzione di tipo “C 2 modificata di chi quadro" con n-1
gradi di libertà.
Si individuano quindi i due quantili della C 2 relativi alle probabilità
0,025 e 0,975 che, per 5 gradi di libertà, risultano essere:
CQ2 inf  0,166
; CQ2 sup  2,57
Infe 04 - 70 / 70
Esercizio 6
CQ2 inf  0,166
; CQ2 sup  2,57
Da questi valori si individuano gli estremi dell'intervallo di confidenza
cercato mediante la:
2
S n2
S
2
n



CQ2 sup
CQ2 inf
Sostituendo nella espressione i valori della varianza campionaria
corretta, dei quantili della C 2 e dei gradi di libertà si ottiene infine:
10
10
2
3,89 
  
 60,3
2,57
0,166