formula equazioni fornendo

Quarta equazione di
struttura stellare : il
trasporto di energia
1
Il trasporto radiativo.
Supponiamo che le condizioni per la convezione non siano
soddisfatte. Deriviamo una espressione che colleghi la variazione di
T con il raggio r assumendo che l’energia sia transportata dalla
radiazione. Trascuriamo gli effetti di convezione e conduzione.
Consideriamo l’equazione del trasporto radiativo in un piano parallelo, le
condizioni fisiche del gas dipendono soltanto da una coordinata, la distanza
radiale r.
r

cos   
dr
dx 

o
dI
j

   ( I  )
dr

dI
dI
 
dx
dr
I = Intensità k = Coefficiente di
assorbimento (1/cm) j = Coefficiente di
emissione (erg s-1 cm-3 Hz-1 sterad-1)
2
Equazione di Fourier:
F  K  T
K è la conduttività.
1 dU
K  cl
3 dt
U (r ) 4 T (r )
Dove c è la velocità della luce, l il cammino libero
medio dei fotoni e U la densità di energia
4
Emissione di corpo nero.
dU (r )
 16 T (r )3
dr
L’intensità di radiazione che attraversa una spessore dr viene ridotta di 
I dr e quindi il cammino libero medio di un fotone prima di essere
assorbito è l=1/().
16c T 3 dT (r ) L(r )
dT (r )
3 L(r )
F 



2
3
dr
dr
4 r
64 cT 3 r 2
3 R
dT

L( r )
2
3
dr 64 r  T
R opacità media di Rosseland,
mediata sulla frequenza.
3
Equazioni di struttura stellare:
Equazioni che determinano la struttura stellare in assenza di convezione.
dM (r )
 4 r 2  (r )
dr
dP(r )
GM (r )  (r )

dr
r2
dL(r )
 4 r 2  (r ) (r )
dr
3 (r ) R (r )
dT (r )

L( r )
2
3
dr
64 r  T (r )
Con
r = raggio
P = pressione a r
M = mass entro raggio r
 = densità a r
L = luminosità in r (flusso di energia attravers
una sfera di raggio r)
T = temperatura in r
R = Rosseland mean opacity a r
 = rilascio di energia per unità di tempo.
In più è necessario fornire delle espressione per:
P = P (, T, composizione chimica) attraverso l’ Equazione di stato.
R = R(, T, composizione chimica)
 =  (, T, composizione chimica)
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Le condizioni al contorno
Al centro della stella: M=0, L=0 at r=0
Alla superficie è più difficile determinare condizioni al contorno. Ad esempio per
il sole (superficie)~10-4 kg m-3 molto minore della densità media
(media)~1.4103 kg m-3. La temperatura superficiale Teff=5780K è molto minore
della temperatura media Tm 2106 K.
Per convenienza, si fanno le seguenti approssimazioni sulle
superficie che rappresentano le condizioni al contorno:
 = T = 0 a r=rs
Cioè si assume che la stella abbia un limite ben definito rispetto
al vuoto.
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Uso della massa come variabile indipendente
Le formule precedenti sono ben definite se si vuole calcolare la struttura di una
stella con un fissato valore del raggio. Tuttavia, il raggio della stella può cambiare
con il tempo mentre la massa resta costante. Allora, conviene riscrivere le equazioni
in funzione della massa M e determinare quindi il Raggio R. Se si divide le altre 3
equazioni per qulla della conservazione della massa e si inverte questa si ottiene:
dr
1

dM 4 r 2 
dP
GM

dM
4 r 4
dL

dM
3 R L
dT

dM
64 2 r 4 acT 3
Con condizioni al contorno:
r=0, L=0 at M=0
=0, T=0 at M=Ms
Se si specifica Ms e la composizione chimica, si ha un set ben definito di
equazioni da risolvere. Si può fare analiticamente in condizioni
particolarmente semplici oppure numericamente.
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Evoluzione stellare:
Il set di equazioni fornisce la struttura completa di una stella data la massa e
composizione chimica.
Se non ci sono movimenti di massa, le equazioni di evoluzione stellare
devono essere completate con delle equazioni che descrivono le variazioni
con il tempo delle abbondanze chimiche. Sia CX,Y,Z la composizione chimica
del materiale stellare in funzione delle frazioni di massa dell idrogeno X, elio
Y, e metalli Z (per il sistema solare ad esempio X=0.7,Y=0.28,Z=0.02)
 (C X ,Y ,Z ) M
 f (  , T , C X ,Y , Z )
 t
(C X ,Y , Z ) M ,t0  t  (CX ,Y ,Z ) M ,t0
 (C X ,Y ,Z ) M

 t
Questa potrebbe essere un’equazione di evoluzione che richiede che
il nostro modello sia risolto anche in funzione del tempo
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Influenza della convezione.
Si può ottenere una espressione approssimata per l’energia trasportata tramite
convezione. Il calore è trasportato da elementi che salgono perchè sono più
caldi del loro intorno, e di elementi più freddi che scendono perchè sono più
freddi. Supponiamo l’elemento differisca di T dal suo intorno. Dato che c’è il
bilanciamento di pressione, ha una energia per kg che differisce dal contenuto
di energia dei dintorni di cp T (dove cp è il caolre specifico a pressione
costante). Se il materiale è mono-atomico allora cp =5k/2m con m = massa
media delle particelle nel gas. Assumendo che una frazione  (1) del materiale
totale si trova in colonne che salgono e scendono e che queste si muovono con
velocità ms-1 allora il rate in cui l’energia è trasportata attraverso il raggio r è:
Lconv  area della sfera  rate of trasporto  energia in eccesso
2
5
k

T
10

r
 vk T
2
 4 r  v

2m
m
8
Dato che il T e v degli elementi che salgono sono determinati dalla differenza tra
il vero gradiente di temperatura e il gradiente adiabatico, con un buon grado di
approssimazione si può assumere che il gradiente di temperatura sia adiabatico
in una regione convettiva e quindi le condizioni per la convezione possono essere
riscritte come:
P dT   1

T dP

Allora in una regione convettiva l’equazione per il trasporto di energia è la precedente e
le equzioni di struttura diventano:
dr
1

dM 4 r 2 
dL

dM
dP
GM

dM
4r 4
P dT  1

T dP


Quando si risolvon le equazioi di struttura stellare, si devono risolvere le
equazioni con convezione ogni volta che il gradiente di temperatura raggiungeil
valore adiabatico e cambiate di nuovo quando l’energia è trasportata dalla
9

radiazione.
Sommario:
E’ stata derivata la 4 equazione di struttura stellare
Non dipendono dal tempo, quindi bisogna iterare le
soluzioni tenendo presente che la composizione
chimica cambia nel tempo. Bisogna utilizzare degli step
temporali brevi rispetto alla vita della stella. Il parametro
importante è il contenuto di H e He nel core.
Si sono discusse le condizioni al contorno
Si è vista l’influenza della convesione nel trasporto di
energia. Va considerata solo nelle regioni dove il
gradiente di temperatura si avvicina a quello adiabatico.
Nelle altre regioni l’energia viene trasportata solo dalla
radiazione e la convezione non entra in gioco.
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