Convezione

Convezione
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Generazione di energia nelle stelle.
.
Di quanta energia ha bisogno il sole perchè conservi il suo flusso
attuale?
L0  4  1026 W  4  1026 Js -1
Il sole ha approssimativamente lo stesso flusso da 109 yr (3x106 s)
 Il sole ha irradiato 1.2 x1043 J
E  mc 2
Quindi il sole ha perso una quantità di massa pari a  mlost  1026 kg  104 M 0
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Equazione per la produzione di energia:
La terza equazione di struttura
stellare.
Consideriamo una stella a simmetria
sferica con trasporto di energia
radiale e non dipendente dal
tempo.
L(r)=flusso di energia attraverso una
sfera di raggio r
L(r+r)=flusso di energia attraverso una
sfera di raggio r +r
Se il guscio è sottile, allora
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 V (r )  4 r  r
e  m(r )  4 r 2  (r ) r
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Sia  = produzione di energia per unità di massa e per unità
di volume (Wkg-1). Allora l’energia prodotta nel guscio è:
4 r 2 (r)r
La conservazione dell’energia porta a:
L(r   r )  L(r )  4 r 2  (r ) r

L(r   r )  L(r )
 4 r 2  (r )
r
e per  r  0
dL(r )
 4 r 2  (r )
dr
Questa è l’equazione della produzione di energia. Ci sono 5 incognite:
P(r), M(r), L(r), (r) ,(r) . Ci vuole l’equazione del trasporto di energia!
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Trasporto di energia
Esistono 3 modi per trasportare energia:
• Convezione – movimenti di massa del gas
• Conduzione – scambio di energia per collisione.
• Radiazione – trasporto di energia per emissione e assorbimento di fotoni.
Quale domina nelle stelle?
Energia di una singola particella che può essere trasportata ~ 3kT/2 è
confrontabile con l’energia tipica di un fotone ~ hc/
Tuttavia le densità di particelle nel plasma è molto maggiore e questo
sembrerebbe favorire la conduzione.
TUTTAVIA
Mean free path (cammino libero medio) di un fotone ~ 10-2m
Mean free path di una particella ~ 10-10 m
Quindi I fotoni si muovono attraverso gradienti di temperatura molto
facilmente e trasportano più facilmente energia: domina il trasporto
radiativo.
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Convezione nel sole
Dimensione tipica delle granule: 1000 km
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Convezione:
La convezione avviene soltanto
quando il gradiente di temperatura
supera un certo limite.
Cnsideriamo un elemento convettivo
ad una distanza r dal centro della
stella in equilibrio con il gas
circonstante.
Supponiamo di sollevarlo a r+r. Si
espande ad un nuovo valore
P- P e  - 
Questi valori potrebbero non coincidere con quelli del gas circostante: P- P e
 - 
Se l’elemento di gas è più denso a r+r sprofonda (convettivamente stabile)
Se è meno denso continua a salire– convettivamente instabile
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La condizione per l’instabilità è quindi
      
Le condizioni per il verificarsi dell’instabilità dipendono da
•
Quanto si espande l’elemento per la diminuzione di P
•
Quanto cala la densità del gas con l’altezza.
Facciamo due assunzioni:
1. L’elemento sale adiabaticamente (senza scambio di calore) cioè vale
l’equazione PV   constant
con =cp/cv
2. L’elemento sale con una velocità minore della velocità del suono. Durante
il moto le onde sonore possono ridurre le differenze di pressione tra
l’elemento e l’ambiente (no onde di shock). Quindi P =P ad ogni istante
di tempo.
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Dato che V è inversamente proporzionale a  (M= V) , abbiamo:
P

 costante

Allora eguagliando I due valori di P e  a r e r+r si ottiene:
P  P
P
 

(  )

Se  è piccolo si può espandere ( - ) con il teorema del binomio:
( - ) ~  -  -1 
 
Infine, combinando le due espressioni:

 P che è la variazione della densità nella cella che sale
P
Ora calcoliamo come varia la densità del materiale 
Per una variazione infinitesima r
 
d
r
dr
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Sostituendo queste espressioni per  and  nella condizione per
l’instabilità convettiva ottenuta in precedenza si ha:
      


d
P 
r
P
dr
Ricordando che la cella deve rimanere alla stessa pressione del materiale
circostante il limte per r →0 dà la seguente:
 P dP

 r dr
e quindi:
 dP d 

 P dr dr
L’espressione a sinistra rappresenta la variazione di  della cella ed è anche
la variazione che avrebbe il materiale circostante se ci fosse una relazione di
tipo adiabatico tra densità e pressione al variare di r. A destra c’è la reale
variazione della densità con il raggio del materiale stellare. Possiamo ora
dividere entrambi I membri per dP/dr (che è negativa e quindi il segno di
diseguaglianza cambia) e ottenere:
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 d  dP

 P dr
dr

d


P
dP
 P  d 1

 
   dP 
Per un gas ideale con trascurabile pressione di radiazione (interno
stellare) con m massa media delle particelle, vale la:
P
 kT
che può essere sviluppata in forma logaritmica
m
ln P  ln   ln T  costante
Differenziando quest’ultima equazione si ottiene:
dP d dT


P

T
Combinando questa e l’equazione per l’instabilità convettiva si ha:
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P dT   1

T dP

Questa è la condizione all’interno della stella perchè si verifichi instabilità
convettiva in termini del gradiente di temperatura. In altre parole, un gas è
convettivamente instabile se il gradiente di temperatura è maggiore del
gradiente adiabatico. Se viene soddisfatta questa condizione, ci sono moti su
larga scala per il trasporto di energia. Ci sono 2 vie per soddisfare questo
criterio:
 è vicino a 1
Il gradiente di temperatura è elevato.
Ad esempio, se il rilascio di energia al centro della stella è grande, allora ci vuole
un gradiente elevato di T per trasportarlo verso l’esterno.
Oppure, negli strati esterni della stella il gas può essere solo parzialmente
ionizzato. Allora una consistente quantità di calore che viene utilizzato per
aumentare la temperatura viene assorbito dal processo di ionizzazione. Il calore
specifico a V costante è quasi uguale al calore specifico a P constante e quindi
~1. In questo caso, una stella può avere uno strato convettivo esterno freddo.
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