Oscillazioni e Onde Forza elastica Riprendiamo la legge oraria di una massa attaccata a una molla vincolata in un estremo. Per fare ciò occorre scriverne la legge del moto: −kx = ma − kx = m d 2x dt 2 da cui d 2x ⇒ dt 2 k =− x m Per trovare la legge oraria basta risolvere questa equazione differenziale: d 2x dt 2 =− k x = −ω 2 x m A. Romero con ω= k m Scmat- Oscillazioni 2 d x(t) 2 + ω x(t) = 0 2 dt 1 Forza elastica E’ soddisfatta da una funzione la cui derivata seconda sia uguale alla funzione stessa cambiata di segno, a meno del coefficiente di proporzionalità (k/m). sen(ωt ) Tale funzione è del tipo con ω= k m x ( t ) = Asen(ωt + φ) Infatti se provo la soluzione : v = dx / dt = ω A cos (ω t + φ ) velocità e accelerazione sono a = dv / dt = d x / dt = −ω Asen (ωt + φ ) 2 2 2 a = − ω Asen (ω t + φ ) = − ω x 2 2 Quindi ho che soddisfo la Equazione dell’oscillatore armonico A. Romero d 2 x + ω 2 x = 0 dt 2 Scmat- Oscillazioni 2 Equazione oscillatore armonico Molti fenomeni descritti dalla legge dell’ oscillatore armonico (semplice, smorzato o forzato) Moto di un pendolo semplice Moto di pendolo di torsione Circuiti elettrico Oscillazione di liquido in un cannello Moto di molecole A. Romero Scmat- Oscillazioni 3 Forza elastica La legge oraria è quindi: x ( t ) = Asen (ω t + φ) Oppure (equivalenti seno x ( t ) = A cos (ω t + φ ) e coseno, cambia φ ): dove A è l'ampiezza di oscillazione con dimensioni lunghezza, e φ è la fase. A e φ dipendono dalle condizioni iniziali del moto, ω dalla fisica (m e k) T periodo tempo per oscillazione completa di seno o coseno cioè 2π (ω ( T + t ) + φ ) → (ω t + φ + 2 π ) ωT = 2π ⇒ T = 2π / ω T = 2π / ω ν = 1/ T = ω/ 2π si osserva che: → nel punto di massimo allungamento e di massima compressione, l'accelerazione è massima e la velocità è nulla (il corpo sta infatti invertendo il verso del moto) → nel punto di equilibrio, l'accelerazione è nulla e la velocità massima (con segno a seconda che la molla si stia allungando o comprimendo) A. Romero Scmat- Oscillazioni 4 Moto Periodico Moto periodico con pulsazione x ( t ) = A sin( ω t ) v( t ) = Aω cos( ωt ) a(t ) = − Aω sin( ωt ) 2 A. Romero Scmat- Oscillazioni ω= 2π ,ϕ = 0 T (posizione) (velocità) (accelerazione) 5 v0 x La figura mostra una particella che si muove lungo una circonferenza di raggio A con velocità costante v0. Anche la sua velocità angolare ω è costante ed è legata alla velocità lineare dalla relazione v0 = Aω Poiché la particella percorre uno spazio 2πA durante un giro, il periodo e la frequenza del moto circolare si ricavano da: v 0 T = 2π A → T= ν = 2 π A 2π = v0 ω 1 ω = T 2π Se la particella parte all’istante t = 0 sull’asse x, il suo spostamento angolare in un istante successivo è dato da θ = ωt = 2πνt. Dalla figura si può vedere che la componente x della posizione della particella è data da: x = A cosθ θ = A cos2πν πνt πν 1 che è uguale all’espressione per il moto armonico semplice. A. Romero Scmat- Oscillazioni 6 Energia nel moto armonico semplice Quando un corpo attaccato ad una molla oscilla, esso ha energia cinetica ed energia potenziale, che variano entrambe nel tempo; ma la loro somma, che è l’energia totale, è costante. Infatti L’energia potenziale Ep di una molla di costante elastica K, allungata di un tratto x dalla posizione di equilibrio, è data dall’equazione Ep = ½ kx2 E p = 1/ 2kA2sen2 (ωt ) L’energia cinetica è: Ec = ½ mv2 L’energia totale E c = 1 / 2m ω 2 A 2 cos 2 ( ω t ) = 1 / 2kA 2 cos 2 ( ω t ) è la somma di queste due quantità: Etot = ½ kx2 + ½ mv2= ½ k A2 infatti sen2 +cos2=1 L’energia totale di un corpo che oscilla con moto armonico semplice è direttamente proporzionale al quadrato dell’ampiezza. A. Romero Scmat- Oscillazioni 7 Energia del moto armonico A. Romero Scmat- Oscillazioni 8 Moto Periodico Composto Due corpi identici attaccati a molle identiche vengono lasciati andare simultaneamente. Essi raggiungono le loro posizioni di equilibrio nello stesso istante, perché il periodo dipende dalla massa e dalla costante elastica, che sono le stesse, e non dall’ampiezza. Grafici dello spostamento In funzione del tempo per i due corpi. Le cose cambiano se le fasi iniziali non sono le stesse A. Romero Scmat- Oscillazioni 9 Composizione di moti armonici su stesso asse Se ho due moti armonici con stessa pulsazione posso scrivere la loro somma come un moto armonico di stessa pulsazione, fase diversa e ampiezza che dipende da differenza di fase : x 1 ( t ) = A 1 sen (ω t + ϕ 1 ) x 2 ( t ) = A 2 sen (ω t + ϕ 2 ) x ( t ) = x 1 ( t ) + x 2 ( t ) = Asen (ωt + ψ ) per dimostrarlo posso usare il metodi di Fresnel ( v grafico precedente) o quello qui indicato. Esplicito il seno della somma x ( t ) = A 1 (sen ω t ⋅ cos ϕ 1 + cos ω t ⋅ sen ϕ 1 ) + A 2 (sen ω t ⋅ cos ϕ 2 + cos ω t ⋅ sen ϕ 2 ) Raccolgo a fattor comune seno e coseno x ( t ) = (A 1 cos ϕ 1 + A 2 cos ϕ 2 )sen ω t + (A 1sen ϕ 1 + A 2 sen ϕ 2 ) cos ω t A. Romero Scmat- Oscillazioni 10 Composizione di moti armonici su stesso asse(cont) Se pongo A cos ψ = (A 1 cos ϕ 1 + A 2 cos ϕ 2 ) Asen ψ = (A 1sen ϕ 1 + A 2 sen ϕ 2 ) Quadrando e sommando ottengo A = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) A è massima se i moti hanno stessa fase , minima se fasi differiscono di π tg ψ = A 1sen ϕ 1 + A 2 sen ϕ 2 A 1 cos ϕ 1 + A 2 cos ϕ 2 Ottengo un moto armonico con ampiezza dipendente da differenza di fase x ( t ) = x 1 ( t ) + x 2 ( t ) = Asen (ω t + ψ ) A. Romero Scmat- Oscillazioni 11 Somma di due moti armonici lungo la stessa direzione con stessa ampiezza per vari valori della differenza di fase A. Romero Scmat- Oscillazioni 12 6 y(t) 5 4 3 3 2 2 1 1 0 -2 -3 T T T/ 2 0 T T -1 3/ 4 -2 t 3/ 4 T/ 2 0 T/ 4 0 -1 t -3 -4 -4 -5 -5 -6 -6 ∆ϕ =3/2π 6 Se si considerano due segnali sinusoidali aventi la stessa pulsazioni, si può poi parlare di differenza di fase tra loro ∆φ o sfasamento. 5 4 3 2 1 T T 3/ 4 -2 T/ 2 -1 T/ 4 0 0 y(t) ∆ϕ =π 5 ∆ϕ =π/2 4 6 T/ 4 y(t) Differenza di fase di onde sinusoidali t y 2 (t ) = A ⋅ sen(ωt + ϕ2 ) -3 -4 -5 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 -6 A. Romero y1 (t ) = A ⋅ sen(ωt + ϕ1 ) Scmat- Oscillazioni 13 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 ∆ϕ =π/2 T T 3/ 4 T/ 2 T/ 4 y(t) Somma 0 t 6 4 3 2 1 0 6 ∆ϕ =π 5 T T 3/ 4 -2 t T/ 2 0 -1 -3 4 -4 3 -5 2 -6 1 T T t 3/ 4 -2 T/ 2 -1 T/ 4 0 0 y(t) ∆ϕ =7/8π 5 T/ 4 y(t) Somma di due onde non in fase -3 -4 Somma -5 -6 A. Romero Scmat- Oscillazioni 14 Composizione di moti armonici se ho forze diverse Se ho due moti armonici con diversa pulsazione (soggetti a due forze diverse) ho due diverse x 1 ( t ) = A 1 sen (ω 1 t + ϕ 1 ) equazioni differenziali . x 2 ( t ) = A 2 sen (ω 2 t + ϕ 2 ) x =x1+x2 non è soluzione di nessuna delle due Per sommare uso le formule di Fresnel e ho: δ = δ 1 + δ 2 = (ω 1 t + ϕ 1 ) - (ω 2 t + ϕ 2 ) 1 = ( ω 1 − ω 2 ) t + ϕ 1 − ϕ 2 A ( t ) = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos[(ω1 − ω2 ) t + (ϕ1 − ϕ 2 )] Moto non è armonico semplice: ampiezza è funzione del tempo modulata: ad esempio se A1 = A2 = A e φ1= φ2 = 0 x ( t ) = x 1 ( t ) + x 2 ( t ) = Asenω1 t + Asenω2 t = 2A cos ω1 − ω2 ω + ω2 t sen 1 t 2 2 E ottengo A. Romero Scmat- Oscillazioni 15 Composizione di moti armonici se ho forze diverse x ( t ) = A ( t ) sen ω t = 2 A cos Ω t sen ω t Se pongo ω1 + ω2 ω= 2 ω1 − ω2 Ω= 2 Moto non è armonico semplice: ampiezza è funzione del tempo o modulata. Fenomeno è detto Battimento è sfruttato nelle trasmissioni radio AM ω è pulsazione di onda radio e Ω pulsazione generata nel microfono A. Romero Scmat- Oscillazioni 16 Composizione di moti armonici su asse perpendicolari Se ho punto soggetto a due forze elastiche in direzioni ortogonali. Ho sovrapposizione di due moti armonici rettilinei che danno moto piano . Supponiamo siano con stessa costante elastica quindi stessa pulsazione x ( t ) = A sen ω t y ( t ) = B sen ( ω t + ϕ ) Se sono in fase e φ=0 x ( t ) = A sen ω t , y ( t ) = B sen ω t x A = ⇒ retta y B retta fa angolo θ con asse x. Simile se φ=π x A = − ⇒ retta y B A. Romero Scmat- Oscillazioni 17 Composizione di moti armonici su asse perpendicolari Se sono in φ=π/2 quadratura di fase e x ( t ) = A sen ω t π y ( t ) = B sen ( ω t + ) = B c os ω t 2 x 2 y2 2 2 + = (cos ω t + s en ωt ) = 1 2 2 A B Ellisse percorsa in senso orario (antiorario se φ=3π/2) . Se A=B cerchio Queste figure si possono osservare con oscilloscopio. In situazioni particolari ellisse degenera in cerchi o in rette. In onde EM utilizzati per studio di polarizzazione A. Romero Scmat- Oscillazioni 18 A. Romero Scmat- Oscillazioni 19 Figura di Lissajous Una Figura di Lissajous è il grafico di una curva data dal sistema di equazioni parametriche: x = A x cos( ωx t + δ x ) y = A y cos( ωy t + δ y ) dove Ai sono le ampiezze, le ωi le pulsazioni e le φi le fasi di due moti oscillatori ortogonali. Esistono delle figure particolari per determinati valori del rapporto ωx e ωy della differenza di fase ∆δ. Esprimendo le due equazioni come: x = A x cos( ωt + δ ) y = A y sent si ottengono le figure di Lissajous qui mostrate per i diversi valori di ω e δ A. Romero Scmat- Oscillazioni 20 oscillatore armonico smorzato da forza di attrito Un oscillatore armonico nella realtà dopo un certo numero di oscillazioni si ferma Se il corpo è soggetto alla forza di attrito radente di modulo F=µ mg sempre in direzione opposta al moto, compie oscillazioni sempre più piccole ( fa meno strada per attrito) . La figura da l’idea di cosa succede : Il periodo è uno pseudoperiodo in quanto il moto non è armonico semplice A. Romero Scmat- Oscillazioni 21 oscillatore armonico smorzato da forza viscosa Riprendiamo il problema di una massa attaccata a una molla vincolata in un estremo e soggetta anche a una forza di attrito viscoso: la legge del moto diventa : − kx − λ v = ma da cui dx d2x − kx − λ = m 2 ⇒ dt dt Se pongo γ= d 2 x λ dx k + + x=0 2 dt m dt m λ k e ω0 = 2m m Ho l’equazione dell’oscillatore armonico smorzato 2 d x(t) dx 2 + 2γ + ω x (t ) = 0 2 dt dt 0 A. Romero Scmat- Oscillazioni 22 oscillatore armonico smorzato αt Cerco soluzione del tipo x=e Sostituisco d 2 ( e αt ) d ( e αt ) 2 αt 2 + γ + ω ( e )=0 2 dt dt e ottengo 0 e (α + 2 γα + ω0 ) = 0 αt 2 2 Il prodotto = 0 se parentesi è nulla (esponenziale sempre diverso da zero). Ho equazioni di 20 grado in α con soluzioni α = − γ ± γ 2 − ω02 A. Romero Ho tre casi possibili a cui corrispondono soluzioni diverse, che dipendono dalle relazioni tra i parametri fisici dell’oscillatore Scmat- Oscillazioni 23 Smorzamento forte Se γ > ω0 2 2 λ2 > 4 m k Quindi α ha due distinti valori ambedue negativi α1 = − γ + γ 2 − ω02 ; α 2 = − γ − γ 2 − ω02 La soluzione generale è una combinazione lineare delle due ed è un esponenziale decrescente , A e B sono determinate dalle condizioni iniziali x ( t ) = Ae + Be = e (Ae α1t A. Romero α2t − γt t γ 2 −ω02 Scmat- Oscillazioni + Be − t γ 2 −ω02 ) 24 Smorzamento critico Se γ = ω0 2 2 α ha due soluzioni coincidenti λ2 = 4 m k Quindi α1 = α 2 = − γ La soluzione generale è ancora un esponenziale decrescente x ( t ) = e − γt (At + B) A. Romero Scmat- Oscillazioni 25 Smorzamento debole Se γ 2 < ω02 Quindi λ2 < 4 m k Soluzioni per α sono valori complessi e coniugati α1 = − γ + i ω02 − γ 2 = − γ + iω; α 2 = − γ − i ω02 − γ 2 = − γ − iω La soluzione generale è una combinazione lineare delle due, A e B sono determinate dalle condizioni iniziali x ( t ) = Ae + Be = e (Ae + Be ) α1t α2t − γt iωt − iωt Utilizzando la formula di Eulero si arriva alla soluzione x ( t ) = A 0 e sen(ωt + ϕ) − γt con ω = ω02 − γ 2 < ω0 A. Romero Scmat- Oscillazioni 26 Oscillatore forzato Riassumendo quanto visto finora il punto materiale, soggetto a forza elastica e ad attrito costante o viscoso, compie oscillazioni libere che si smorzano velocemente (ad esempio acqua in un bicchiere, pendolo senza molla, etc) Se si vogliono oscillazioni permanenti con ampiezza A e pulsazione ω costanti applico una forza sinusoidale di pulsazione ω diversa da quella propria ω0 per cui l’equazione del moto diventa : ma = − kx − λv + F0senωt d2x dx F0 2 + 2 γ + ω0 x = sen ωt 2 dt dt m A. Romero Scmat- Oscillazioni 27 Oscillatore forzato Se l’equazione sopra scritta ammette, come vedremo, una soluzione particolare del tipo x ( t ) = Asen(ωt + φ) la soluzione generale è una combinazione lineare di questa e della soluzione dell’omogenea associata quindi del tipo x ( t ) = Asen(ωt + φ) + ae α t + be α t 1 2 Il moto totale è la somma di due moti: uno oscillante smorzato con una certa pulsazione ω0 (quella dell'oscillatore smorzato) ed uno oscillante di ampiezza costante alla pulsazione propria della forza esterna ω2. Il sistema ha dunque un transiente oscillante iniziale che svanisce esponenzialmente col tempo, lasciando il posto ad un'oscillazione pura ad ampiezza costante; questa oscillazione è determinata essenzialmente dalla forza esterna, e presenta uno sfasamento con essa. A. Romero Scmat- Oscillazioni 28 Oscillatore forzato ma = −kx − λv + F0senωt Se nell’equazione provo a sostituire del moto x ( t ) = Asen(ωt + φ) ottengo F0 − ω Asen(ωt + φ) + 2 γωA cos(ωt + φ) + ω Asen(ωt + φ) = senωt m 2 2 0 Sviluppo seno e coseno di somma , raccolgo senωt e cosωt e ottengo che deve essere : A= F0 1 m (ω02 − ω2 ) 2 + 4 γ 2 ω2 2 γω tgφ = − 2 ω0 − ω 2 Ho moto armonico con pulsazione diversa da quella propria, posizione sfasata di φ rispetto alla forza F, A e φ dipendono dalla dinamica e non dalle condizioni iniziali A. Romero Scmat- Oscillazioni 29 Oscillatore forzato: risposta in funzione di ω 1) Se ω<< ω0 A= F0 1 F0 F0 ≈ = m (ω02 − ω2 ) 2 + 4 γ 2 ω2 mω02 k tgφ = − k, costante elastica è il parametro più importante : 2) Se ω>> ω0 x è in opposizione di fase con la forza , massa è parametro importante 2 γω ≈0⇒φ≈0 2 2 ω0 − ω x≈ A= F0 senωt k F0 1 F0 ≈ m (ω02 − ω2 ) 2 + 4 γ 2 ω2 mω2 tgφ = − x≈ A. Romero x è in fase con la forza Scmat- Oscillazioni 2 γω ⇒φ≈π 2 2 ω0 − ω F0 sen (ωt + π) 2 mω 30 Oscillatore forzato: risposta in funzione di ω A= 3) Se ω= ω0 F0 1 F0 ≈ m (ω02 − ω2 ) 2 + 4 γ 2 ω2 2mγω0 tgφ = − γ coeff. Smorzamento è il parametro più importante: ho risonanza : x≈ 2 γω π ≈ ∞ ⇒ φ ≈ ω02 − ω2 2 F0 cos ωt 2mγω 0 x è in quadratura di fase con la forza Se voglio la A massima azzero dA/d ω e ottengo ω = ωM = ω02 − 2 γ 2 < ω0 A ( ωM ) = F0 1 > A ( ω0 ) 2 2 2mγ (ω0 − 2 γ A. Romero Scmat- Oscillazioni K, costante elastica è il parametro più importante : 31 Potenza media fornita La potenzia media fornita da forza che fa muovere oscillatore Pm = γmω2 A 2 se derivo la potenza media Pm rispetto a ω ho la potenza media massima per ω= ω0 Pris ,m = γmω02 A 2ris se derivo la potenza media Pm rispetto a ω ho la potenza media massima per ω= ω0 A. Romero Scmat- Oscillazioni K, costante elastica è il parametro più importante : 32 Analisi di Fourier Il moto armonico è importante perché tutti fenomeni che si ripetono dopo un certo T possono essere studiati con l’analisi di Fourier. Se abbiamo una f(t) periodica con periodo T e in tale tempo f(t) è divisibile in intervalli di tempo in cui f(t) è continua e monotona possiamo esprimerla come somma di infiniti moti armonici : ∞ f ( t ) = a 0 + ∑ m (a m sen mωt + b m cos mωt) 1 ∞ f ( t ) = a 0 + ∑ m c m sen (mωt + ϕm ) 1 I coefficenti dello sviluppo di Fourier am bm cm si calcolano da 2 T 2 T a m = ∫0 f ( t ) sen mω t dt ; b m = ∫0 f ( t ) cos mω t dt T T A. Romero Scmat- Oscillazioni 33 Analisi di Fourier am c m = a m + b m ; tgϕ m = bm 2 2 T è il periodo di f(t) e ω =2π/T , a0 è il valor medio di f(t) dato da 1 T a 0 = ∫0 f ( t )dt T Termine con m=1 è il primo armonico e ha pulsazione ω Termini con m>1 sono armonici superiori con pulsazioni 2 ω,3 ω, etc La determinazione dei coefficienti am e bm è detta Analisi di Fourier della f(t) A. Romero Scmat- Oscillazioni 34