Oscillazioni di betatrone Si assume che il campo magnetico B non

Oscillazioni di betatrone
Si assume che il campo magnetico B non sia solo lungo l’asse z ma abbia linee di campo per cosi’
dire leggermente incurvate (verso l’esterno del ciclotrone generalmente) con un andamento del tipo
 r R
r

Bz = B0   = B0 1
R 

R
n
n
rR
r R
≈ B0 1  n
 = B0 1  n  con  
R
R 

Dall’equazioni di Maxwell sara’ nel traferro, cioe’ lontano dalle sorgenti del campo magnetico,
nB
nzB0
Br Bz
anche

  0 e quindi Br = 
z
r
R
R
Equazioni moto di una particella di carica q nei campi radiali ed assiali:
MOTO ASSIALE
m z = qvBr = qr  Br
nzB0
m z = 
qr 
R
qB0
ma assumendo r ≈ R, e inoltre
= frequenza di ciclotrone = 0 ≈  quindi
m
z  n0 2 z  0 che descrive un moto oscillatorio attorno a z = 0 con frequenza
n0 purche’ sia n>o
MOTO RADIALE
mv 2
m r 
 qvBz o anche dalle posizioni sopra
r
m r  mr 2  qrBz
e r  R
ponendo in prima approssimazione  ≈ 0(1-) e ricordando che e’ Bz= B0 1  n 
sostituendo si ha al primo ordine:
2
mR  mr0 1  2   qr0    B0 1  n 
assumendo r ≈ R e di nuovo sviluppando al primo ordine si ottiene infine:
  1  n0 2   0
Oscillazioni armoniche se e’ 1-n > 0 cioe’ 1>n
Per cui alla fine dovra’ essere 0 <n <1 per avere oscillazioni sia assiali che radiali.