Istituzioni di Logica Matematica

Istituzioni di Logica Matematica
Sezione 37 del Capitolo 5
Alessandro Andretta
Dipartimento di Matematica
Università di Torino
A. Andretta (Torino)
Istituzioni di Logica Matematica
AA 2012–2013
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Il Teorema di Completezza
Completezza
Proposizione
Un insieme soddisfacibile di enunciati Σ è coerente.
Dimostrazione.
Supponiamo Σ sia incoerente, cioè Σ ` σ ∧ ¬ σ. Allora Σ |= σ ∧ ¬ σ,
quindi se A è un modello di Σ, allora A σ ∧ ¬ σ: assurdo. Quindi A è
insoddisfacibile.
Teorema (Completezza)
Γ |= ϕ implica Γ ` ϕ.
Teorema (Esistenza di modelli)
Un insieme coerente di enunciati Σ è soddisfacibile. Allora A Σ, per
qualche A. Infatti Σ ha un modello di cardinalità ≤ card(L).
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Il Teorema di Completezza
Esistenza di modelli implica Completezza
Consideriamo prima il caso in cui ϕ è un enunciato. Possiamo supporre
che Γ sia coerente, altrimenti il risultato è banalmente vero. Se Γ 6` ϕ
¬ϕ} è coerente, quindi ammette un modello A. Ma allora A
allora Γ ∪ {¬
testimonia che Γ 6|= ϕ.
Supponiamo ora ϕ sia una formula con variabili libere x1 , . . . , xn . Per la
regola della generalizzazione
Γ ` ϕ se e solo se Γ̃ ` ∀ x1 . . . ∀ xn ϕ
e poiché Γ |= ϕ se e solo se Γ |= ∀ x1 . . . ∀ xn ϕ il risultato segue.
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Il Teorema di Completezza
Nuove costanti
Lemma
Sia Σ una L-teoria coerente, sia c una nuova costante e sia ϕ(x) una
L-formula con un’unica variabile libera. Allora la L ∪ {c}-teoria
∃xϕ ⇒ ϕ[c/x]} è coerente.
Σ ∪ {∃
Dimostrazione.
∃x ϕ ⇒ ϕ[c/x]} `L∪{c} σ ∧ ¬ σ.
Supponiamo, per assurdo, che Σ ∪ {∃
∃xϕ ⇒ ϕ[c/x]) ⇒ σ ∧ ¬ σ e per la regola della
Allora Σ `L∪{c} (∃
∃xϕ ⇒ ϕ[c/x]), cioè
conseguenza tautologica Σ `L∪{c} ¬ (∃
∃x ϕ) ∧ ¬ϕ[c/x].
Σ `L∪{c} (∃
∃xϕ) ∧ ¬ ϕ , da cui Σ `L (∃
∃xϕ) ∧ ¬ ϕ e allora
Quindi Σ `L ∀ x (∃
¬ϕ),
Σ `L ∃ xϕ e Σ `L ¬ ϕ. Per la regola di generalizzazione Σ `L ∀ x(¬
∃xϕ), quindi Σ è incoerente.
cioè Σ `L ¬ (∃
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Il Teorema di Completezza
Lemma
Sia Γ un insieme coerente di L-enunciati e sia C un insieme di nuove
costanti di cardinalità card(L). Allora Γ può essere esteso ad un Γ̃ insieme
coerente di formule di L̃ = L ∪ C in modo che se ϕ(x) è una L-formula
con un’unica variabile libera, allora ∃c ∈ C tale che Σ̃ ` ∃ x ϕ ⇒ ϕ[c/x].
Un insieme Γ di L-formule ammette testimoni se per ogni L-formula ϕ
con al più una variabile libera x c’è una costante c tale che
Γ ` ∃ x ϕ ⇒ ϕ[c/x].
La costante c si dice testimone per ∃ xϕ.
Teorema
Se Σ è un insieme coerente di L-enunciati esiste un insieme C di
cardinalità κ di nuove costanti ed esiste un insieme Σ∞ coerente di
enunciati di L∞ = L ∪ C tali che Σ∞ ⊇ Σ e Σ∞ ha testimoni.
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Il Teorema di Completezza
Dimostrazione
Costruiremo induttivamente
linguaggi L = L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ Ln ⊂ . . . tali che Ln+1 = Ln ∪ Cn
dove Cn è un insieme di costanti che non appartengono a Ln e
|Cn | = card(Ln ) = card(L),
insiemi coerenti Σn ⊆ Sent(Ln ) tali che
1
2
Σ = Σ0 ⊂ Σ1 ⊂ · · · ⊂ Σn ⊂ · · · e
per ogni Ln -formula ϕ(x) con un’unica variabile libera c’è un c ∈ Cn
tale che Σn+1 ` ∃ x ϕ ⇒ ϕ[c/x].
Se L0 , . . . , Ln , C0 , . . . , Cn−1 e Σ0 , . . . , Σn sono stati costruiti e soddisfano
i requisiti, allora il Lemma precedente garantisce l’esistenza di Cn (e quindi
di Ln+1 ) e di Σn+1 come
S richiesto. S
S
Basta prendere C = n Cn , L∞ = n Ln e Σ∞ = n Σn
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Il Teorema di Completezza
Dimostrazione del Teorema di Esistenza di moddelli
Dimostrazione del Teorema di esistenza di modelli
Sia Σ un insieme coerente di L-enunciati. Aggiungiamo ad L un insieme
C di nuove costanti con |C| = card(L) e estendiamo Σ ad un insieme
coerente di L-enunciati Σ0 in modo che Σ0 abbia testimoni. Per il Lemma
di Lindenbaum sia Σ ⊇ Σ0 un insieme coerente e massimale di L-enunciati.
Per ogni L-enunciato σ
Σ`σ
⇔
σ ∈ Σ.
Costruiremo un L-modello A di Σ: poiché Σ ⊆ Σ0 ⊆ Σ si avrà che A Σ0
e quindi, passando alla contrazione A di A a L, otterremo il modello
cercato.
Sia ∼ la relazione di equivalenza su ClTerm(L), l’insieme degli L-termini
chiusi, definita da
t ∼ u ⇔ (t ≡ u) ∈ Σ.
L’universo di A (e quindi anche di A) è l’insieme
A = ClTerm(L)/∼.
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Il Teorema di Completezza
Dimostrazione del Teorema di Esistenza di moddelli
Dimostrazione del Teorema di esistenza di modelli
Definiamo l’interpretazione in A delle relazioni, delle funzioni e delle
costanti.
Se R è un L-simbolo (e quindi anche un L-simbolo) di relazione n-ario,
poniamo
RA = {h[t1 ]∼ , . . . , [tn ]∼ i ∈ An | R(t1 , . . . , tn ) ∈ Σ}.
Se f è un L-simbolo (e quindi anche un L-simbolo) di funzione n-ario,
poniamo
f A ([t1 ]∼ , . . . , [tn ]∼ ) = [f (t1 , . . . , tn )]∼ .
Se c è un L-simbolo di costante, poniamo
cA = [c]∼ .
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Il Teorema di Completezza
Dimostrazione del Teorema di Esistenza di moddelli
Dimostrazione del Teorema di esistenza di modelli
Se t ∈ ClTerm l’elemento tA ∈ A è cosı̀ definito:
(
cA
se t è c,
A
t =
A A
f (t1 , . . . , tA
n ) se t è f (t1 , . . . , tn ).
Verificheremo che, per ogni enunciato σ ∈ Sent(L):
σ∈Σ
⇔
Aσ
La costruzione di A garantisce ciò vale quando σ è atomica.
Se σ = ¬ τ,
σ∈Σ⇔τ∈
/Σ
⇔A
6 τ
(per la massimalità di Σ)
(ip. ind.)
⇔Aσ
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Il Teorema di Completezza
Dimostrazione del Teorema di Esistenza di moddelli
Dimostrazione del Teorema di esistenza di modelli
Se σ = τ ∧ χ allora
σ∈Σ⇔ τ∈Σ ∧ χ∈Σ
⇔ Aτ ∧ Aχ
(ip. ind.)
⇔ A τ ∧ χ.
Se σ = ∃ x ϕ, allora
∃c ∈ C ∃ x ϕ ⇒ ϕ[c/x] ∈ Σ .
Quindi σ ∈ Σ implica ϕ[c/x] ∈ Σ e allora, per ipotesi induttiva,
A ϕ[c/x] e quindi A ϕ[cA ]. Ne segue che A ∃ xϕ cioè A σ.
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Il Teorema di Completezza
Dimostrazione del Teorema di Esistenza di moddelli
Dimostrazione del Teorema di esistenza di modelli
Viceversa se A σ, allora c’è un a ∈ kAk tale che A ϕ[a]. Sia
t ∈ ClTerm(L) tale che [t]∼ = a. Allora tA = a e dato che t è sostituibile
ad x in ϕ abbiamo A ϕ[t/x]. Per ipotesi induttiva ϕ[t/x] ∈ Σ e dato
che l’enunciato ϕ[t/x] ⇒ ∃ xϕ è un assioma di sostituzione, e quindi è in
Σ, ne segue che ∃xϕ ∈ Σ come richiesto.
Questo conclude la dimostrazione del Teorema di Esistenza di Modelli.
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