angoli di 30° 45° 60° File - TED

Funzioni goniometriche per angoli di 30°, 60°, 45°
pag.1 di 3
PH  sen 30
OH  cos 30
OP  1
Vogliamo calcolare le funzioni goniometriche relative all’angolo   30
 Nella figura sono riportate le informazioni che già conosciamo e in più abbiamo costruito il
triangolo OHK ribaltando verticalmente il triangolo OHP. Abbiamo quindi che:
KÔH  PÔH  30
OK  OP  1
KH  PH
OK̂H  OP̂H  90  30  60
PÔK  60
 Il triangolo OPK ha tre angoli di 60° per cui è un triangolo equilatero.
 Ne consegue che PK  OK  OP  1
e quindi
PH 
PK 1

2
2
sen 30 
 Ma PH  sen 30 per cui abbiamo ottenuto che
1
2
Ora possiamo calcolare facilmente le altre funzioni goniometriche tenendo conto che sono tutte
positive e usando le formule corrispondenti:
 cos 30  1  sen 2 30  1 
1
3
3


4
4
2
1
sen 30
1 2
1
 2  

 tg 30 
cos 30
3 2 3
3
2
1
 3
 cot g 30 
tg 30
quindi
cos 30 
quindi
tg 30 
quindi
3
2
1
3

3
(razionalizzato)
3
cot g 30  3
…………………………………………………………………………………………………………
NB: questi valori numerici sono importanti per cui vanno memorizzati
Funzioni goniometriche per angoli di 30°, 60°, 45°
pag.2 di 3
PH  sen 60
OH  cos 60
OP  1
Vogliamo calcolare le funzioni goniometriche relative all’angolo   60
 Nella figura sono riportate le informazioni che già conosciamo e in più abbiamo costruito il
triangolo KHP. Abbiamo che:
180  POˆ K 180  60

 60
KP  OP  1 quindi OPˆ K  OKˆ P 
2
2
 Il triangolo OPK allora ha tre angoli di 60° per cui è un triangolo equilatero.
 Ne consegue che OK  PK  OP  1
e quindi
OH 
OK 1

2
2
cos 60 
 Ma OH  cos 60 per cui abbiamo ottenuto che
1
2
Ora possiamo calcolare facilmente le altre funzioni goniometriche tenendo conto che sono tutte
positive e usando le formule corrispondenti:
 sen 60  1  cos 2 60  1 
1
3
3


4
4
2
3
sen 60
3 2
 2 
  3
 tg 60 
1
cos 60
2 1
2
1
1

 cot g 60 
tg 60
3
3
2
quindi
sen 60 
quindi
tg 60  3
quindi
cot g 60 
1
3

3
3
NB: questi valori numerici sono importanti per cui vanno memorizzati
E’ importante notare che con 60° si sono ricavati gli stessi valori ottenuti per 30° con la
differenza che si scambiano tra loro i valori di seno e coseno e quelli di tangente e cotangente.
Funzioni goniometriche per angoli di 30°, 60°, 45°
pag.3 di 3
PH  sen 45
OH  cos 45
OP  1
Vogliamo calcolare le funzioni goniometriche relative all’angolo   45
 Il triangolo OPH è un triangolo rettangolo e isoscele (avendo gli angoli acuti entrambi di 45°)
 Poniamo allora x  OH  PH (in questo caso x è positivo).
 Il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo OHP ci permette di scrivere:
2
2
OH  PH  OP
x2 
1
2
2
quindi


quindi


x
 Siccome OH  cos 45
2
sen 45
 tg 45 
 2 1
cos 45
2
2
1
2
x 2  x 2  12
quindi


quindi

 2 x 2  1
x  OH  PH 
PH  sen 45 abbiamo ricavato:
ne consegue poi:
1
2

2
2
cos 45  sen 45 
2
2
tg 45  cot g 45  1
…………………………………………………………………………………………………………
NB: questi valori numerici sono importanti per cui vanno memorizzati