CAPITOLO 2
Equazioni e disequazioni di grado
superiore al secondo e irrazionali
1. LE EQUAZIONI POLINOMIALI E IRRAZIONALI CON DERIVE
La maggior parte delle equazioni di tipo polinomiale si possono risolvere con il comando Risolvi/Espressione giaÁ
usato per le equazioni di primo e secondo grado; questo comando, applicato per trovare le soluzioni reali delle
seguenti due equazioni, daÁ questi risultati:
Se della prima equazione, che eÁ di quarto grado, possiamo dire di avere trovato tutte le soluzioni, della seconda,
che eÁ di terzo grado, ne abbiamo trovata una sola reale. Poiche il polinomio 2x 3 11x 2 14x 10 non eÁ il cubo
di un binomio e quindi l'equazione associata non ha tre soluzioni coincidenti, dobbiamo concludere che le altre
due soluzioni non sono reali.
Anche un'equazione irrazionale puoÁ essere risolta con lo stesso comando, ma occorre fare qualche precisazione
sulle modalitaÁ di scrittura e sul tipo di risultati che si ottengono.
Ricordiamo innanzi tutto che per indicare una radice quadrata basta usare il corrispondente simbolo dalla tabella
p p
dei simboli oppure usare la funzione SQRT; per esempio, per scrivere l'equazione
4x 2 2
x2 x 2 x
si deve digitare il seguente testo:
SQRT
4x^2
2
SQRT
x^2 x
2 x
Non esistono invece simboli per le radici di indice 3 o altro e si deve quindi trasformare il radicale in una potenza;
r
1
3
per esempio, per inserire l'equazione x x 2 x 1 si deve scrivere:
2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 3 - Cap. 2: EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI
1
x 1=2x^2^
1=3 x 1
Un inconveniente che qualche volta si verifica eÁ che le soluzioni che vengono restituite da Derive non sono tutte
accettabili; per esempio, se usi il comando Risolvi/Espressione sulla prima equazione, trovi come soluzioni
x
9
8
_
x0
ma, se effettui la verifica delle soluzioni usando il comando Semplifica/Sostituisci variabili trovi:
s
2 s
2
9
9
9
9
9
9
9
l per x
:
4
2
!
vero
2
8
8
8
8
8
8
8
l
per x 0 :
p
2
p
20
e quest'ultima relazione, anche se puoÁ essere considerata vera, non ha significato in R.
Ulteriori inconvenienti derivano dal fatto che Derive considera qualunque radicale solo in senso aritmetico, per cui,
per esempio, una radice cubica ha significato solo se il suo argomento eÁ positivo o nullo; allora l'equazione
p
3
x2 9 2
che per noi eÁ equivalente a x 2 9 8 ed ha quindi soluzione x 1, per Derive eÁ impossibile e viene restituito come risultato false.
Per ovviare a questo inconveniente dobbiamo modificare il testo dell'equazione trasportando il segno "meno"
fuori dal simbolo di radice e scrivere cosõÁ:
p
3
x2 9 2
In questo modo Derive interpreta correttamente l'uguaglianza fra due numeri negativi e restituisce le soluzioni
x
1 _ x1
Anche una disequazione irrazionale si puoÁ risolvere con Derive usando gli stessi accorgimenti di scrittura visti per
le equazioni; di seguito puoi vedere alcuni esempi:
Attenzione peroÁ alle disequazioni con radicali di indice dispari perche spesso le soluzioni che vengono restituite
sono sbagliate. Per esempio
p
p
p
3
daÁ come risultato
x 2 3 _ x2 3
x 2 12 > 2
2
Tema 3 - Cap. 2: EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
che corrisponde al dominio della disequazione, in quanto il radicale al primo membro, che eÁ considerato positivo,
eÁ sempre maggiore di un numero negativo. Sappiamo invece che le soluzioni della disequazione sono
x2
12 >
8
!
x2 > 4
!
x<
2
_
x>2
2. LE EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO CON EXCEL
Abbiamo giaÁ visto nel capitolo sui polinomi come sia possibile progettare un foglio di lavoro che, dato un polinomio P
x di grado n ed un binomio della forma x a, stabilisca se P
x eÁ divisibile per x a.
Si puoÁ sfruttare questo foglio per determinare le soluzioni razionali dell'equazione P
x 0; basta calcolare P
a,
che rappresenta il resto della divisione, e, se eÁ uguale a zero, possiamo concludere che a eÁ una soluzione.
Riportiamo senza commenti le formule usate in quell'occasione e che si riferiscono al foglio che segue, nel quale
abbiamo considerato l'equazione
x 6 4x 5 3x 4 16x 2 64x 48 0
Abbiamo solo modificato leggermente la formula della cella A7 evidenziando quando a eÁ soluzione:
C4:
=C2 $B$3^C1
C5:
=SOMMA(C4 : I4)
la formula va poi copiata per l'intera riga
A7:
=SE(C5=0;"l'equazione ha una soluzione uguale a "&B3;B3&" non eÁ soluzione dell'equazione")
Nel foglio eÁ evidenziato che 1 eÁ una soluzione; ricerca adesso le altre tenendo presente quali sono i valori razionali che a puoÁ assumere.
1
2
3
4
5
6
7
A
Grado dei termini
Coefficienti dell'equazione
Valore di a
Prodotti
Resto
B
C
6
1
D
5
4
E
4
3
F
3
0
G
2
16
H
1
64
I
0
48
1
1
0
l'equazione ha una soluzione uguale a
4
3
0
16
64
48
1
Le equazioni binomie
Ricordiamo che per trovare le soluzioni di un'equazione che si presenta nella forma x n k si devono calcolare le
radici n-esime algebriche del numero k; occorre dunque distinguere il caso in cui n eÁ pari da quello in cui n eÁ
dispari. Excel ha una funzione per calcolare la radice quadrata, la funzione RADQ, ma, come Derive, non ha funzioni per calcolare le altre radici; in questi casi si dovraÁ ricorrere alla forma di potenza con esponente frazionario.
Progettiamo allora un foglio che, dato il valore di k, trovi le radici reali dell'equazione x n k; nella scrittura delle
formule ci riferiamo al foglio di lavoro al termine dell'esercitazione.
Nella cella B2 eseguiamo il test per stabilire se n eÁ pari o dispari
B2:
=SE(RESTO(B1;2)=0;"pari";"dispari")
Nelle celle B5 e B6 troviamo le soluzioni in questo modo:
l
se n eÁ dispari la soluzione eÁ una sola ed eÁ data dalla formula B3^(1/B1); scriviamo questa soluzione nella cella B5
l
se n eÁ pari e k eÁ positivo o nullo le soluzioni sono due e devono quindi essere scritte in due celle diverse, B5 e B6
l
se n eÁ pari e k eÁ negativo l'equazione eÁ impossibile in R.
Ecco le formule da inserire
B5:
=SE(B2="dispari";B3^(1/B1);SE(B3>=0;B3^(1/B1);"impossibile"))
B6:
=SE(E(B2="pari";B3>=0); (B3^(1/B1));" ")
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Tema 3 - Cap. 2: EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI
3
Nel foglio che segue abbiamo risolto le equazioni
1
2
3
4
5
6
A
Valore di n
Test di paritaÁ
Valore di k
B
x3 8
C
3
dispari
8
e
x 4 12.
D
E
Valore di n
Test di paritaÁ
Valore di k
2
Soluzioni
F
4
pari
12
G
1,86121
± 1,86121
Soluzioni
Le equazioni trinomie
In modo analogo possiamo risolvere le equazioni trinomie ax 2n bx n c 0; il foglio che segue eÁ stato preparato in questo modo:
l
abbiamo innanzi tutto risolto l'equazione di secondo grado at2 bt c 0 determinando le soluzioni t1 e t2
l
utilizzando lo stesso schema del precedente foglio abbiamo poi risolto le equazioni binomie x n t1 e x n t2 .
Ecco le formule:
G2:
=C2^2 4 B2 D2
G3:
=SE(G2>=0;( C2-RADQ(G2))/(2 B2);"impossibile")
G4:
=SE(G2>=0;( C2+RADQ(G2))/(2 B2);"impossibile")
B6:
=SE(B4="dispari";G3^(1/B3);SE(G3>=0;G3^(1/B3);"impossibile"))
B7:
=SE(E(B4="pari";G3>=0); (G3^(1/B3));" ")
C6:
=SE(B4="dispari";G4^(1/B3);SE(G4>=0;G4^(1/B3);"impossibile"))
C7:
=SE(E(B4="pari";G4>=0); (G4^(1/B3));" ")
Nel foglio di pagina seguente abbiamo risolto l'equazione
A
1
2
3
4
5
6
7
B
a
Coefficienti dell'equazione
Valore di n
Test di paritaÁ
Soluzioni dell'equazione
C
b
1
4
pari
4
D
c
5 0.
E
5
F
Delta
t1
t2
G
36
5
1
1
1
impossibile
Prova poi a risolvere da solo l'equazione
x 4 4x 2
8x 6
7x 3
10
ESERCIZI
Risolvi con Derive.
1. Usando il comando di fattorizzazione, determina come si possono risolvere le seguenti equazioni applicando la legge di annullamento del prodotto:
a. 3x 3
c. x 4
4
2x 2
12x 8 0
x 3 5x
3x 2
2
b. x 4 2x 3 8x 2 16x
d. 2x 5
x4 x3
Tema 3 - Cap. 2: EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI
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2. Risolvi le seguenti equazioni irrazionali con il comando di risoluzione in R e verifica che le soluzioni siano tutte
accettabili.
p 1
a. 1 x 2 x
2
p
3
c. 1 x 3 2 x
5
3. Risolvi le seguenti disequazioni:
p
x 2 3x < x 1
p
c. 3 2x 3 1 < 2
a.
b.
p p
x1 x 12
d.
p
4x 2 1
p
x 2 x 1 2x
p
x 2 8x 15 > 3x
p
d. 5 x x 6
b.
Risolvi con Excel.
4. Utilizzando il primo foglio preparato nell'esercitazione, verifica se i valori assegnati sono soluzioni per ciascuna delle equazioni date:
a. x 3
b. 2x 4
4x 2 x 2 0
3x 3
c. x 4 x 3
8x 2 9x 6 0
9x 2
9x 0
x2
x
1
x1
x2
x
1
2
x
x0
x
3
x
1
2
1
5. Usando il foglio preparato, trova le soluzioni delle seguenti equazioni binomie e trinomie:
a. x 5 243 0
b. 8x 3
1000 0
c. x 4
16 0
d. x 4 9x 2 8 0
e. 2x 6
11x 3 9 0
f. x 4
3x 2 2 0
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Tema 3 - Cap. 2: EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI
5
Matematica e storia
Le equazioni di terzo grado
Bisogna arrivare ai primi del Cinquecento, epoca del
Rinascimento e del rifiorire dell'interesse per le scienze, perche si giunga a sviluppare un metodo per risolvere le equazioni di terzo grado. La scoperta si deve
al matematico italiano Scipio Dal Ferro, il quale peroÁ,
come era in uso all'epoca, non la pubblicoÁ, bensõÁ la
comunicoÁ ad uno dei suoi allievi. Era costume di quei
tempi istituire delle gare in cui si sfidavano i matematici a trovare dei metodi per risolvere problemi. Fu appunto cosõÁ che l'allievo di Dal Ferro sfidoÁ in una gara
uno dei piuÁ prestigiosi matematici del tempo: NiccoloÁ
Tartaglia (di cui abbiamo giaÁ sentito parlare a proposito del famoso triangolo che consente di determinare
i coefficienti dello sviluppo della potenza di un binomio). Egli accettoÁ la sfida e giaÁ otto giorni prima della
fine della gara trovoÁ a sua volta un metodo per risolvere una qualsiasi equazione di terzo grado che si
presentasse nella forma
x 3 px q 0.
Tartaglia risolse in breve tempo tutti i problemi posti
dall'avversario e vinse la gara. Girolamo Cardano,
che era professore di matematica e fisica a Milano,
venuto a conoscenza del fatto, pregoÁ allora Tartaglia
di comunicargli la sua scoperta. Quest'ultimo, dapprima riluttante, cedette alla fine con la promessa che
Cardano avrebbe tenuto per se quel metodo. Cardano invece, dopo aver approfondito gli studi sull'argomento con la collaborazione di Ludovico Ferrari (al
quale saraÁ poi dovuta la scoperta di una formula
per la risoluzione delle equazioni di quarto grado),
pubblicoÁ i risultati di queste ricerche nel 1545, nella
sua opera Ars Magna, guadagnandosi cosõÁ ufficialmente la fama di inventore della formula per risolvere
le equazioni di terzo grado. La formula di Cardano,
che sarebbe piuÁ corretto chiamare di Tartaglia, parte
dal presupposto che una qualsiasi equazione di terzo
grado nella forma
x 3 ax 2 bx c 0
(si puoÁ sempre supporre che il coefficiente di x 3 sia
uguale ad 1 eventualmente operando le opportune divisioni) si possa ricondurre ad un'altra equazione,
nella quale non compaia il termine di secondo grado,
operando un cambiamento di variabile e ponendo in
questo caso
1
a.
xy
3
Vediamo con un esempio come si dovrebbe operare.
Data l'equazione x 3
6
6x 2 5x
1 0 in cui
a 6, poniamo x y 2. Operando tale sostituzione otteniamo
3
y 2
2
6
y 2 5
y 2
e, sviluppando i calcoli, y 3
7y
10
70
Partendo dunque dal presupposto che un'equazione
di terzo grado si puoÁ sempre scrivere, con la sostituzione anzidetta, nella forma
x 3 px q 0
la formula di Cardano che determina le sue soluzioni eÁ:
s
r s
r
3
3
q
q2
p3
q
q2
p3
x
4
27
4
27
2
2
Tale formula comportava peroÁ qualche difficoltaÁ di
utilizzo sia perche eÁ la somma di due radicali doppi,
non agevole da calcolare a quei tempi, sia percheÂ
spesso porta alla determinazione della radice quadrata di un numero negativo, che per i matematici
del tempo non aveva significato e che soltanto piuÁ tardi, con l'introduzione dei numeri complessi, ne acquistoÁ uno.
Applicandola all'equazione dell'esempio precedente,
y 3 7y 7 0, la formula, tenendo presente che
p 7 e q 7, daÁ
s
r s
r
3 7
3
49 343
7
49 343
x
2
4
27
2
4
27
cioeÁ
s
r s
r
3 7
3 7
7
1
7
1
x
2 6
3
2 6
3
Subito dopo la pubblicazione della formula di Cardano, Ferrari trovoÁ un metodo per risolvere anche l'equazione di quarto grado.
Queste scoperte produssero enorme impressione nel
mondo scientifico dell'epoca. Fino a quel tempo gli studi matematici, come del resto ogni altro genere di studi, erano stati indirizzati all'approfondimento e all'interpretazione delle grandi opere antiche (in particolare
quelle greche), nella convinzione che esse rappresentassero il vertice delle possibili conoscenze. Ora invece
erano state risolte questioni che gli antichi non erano
stati capaci di spiegare. Questo segnoÁ il superamento
di una "soglia" psicologica decisiva, che aprõÁ la via a
ricerche sempre piuÁ ardite e innovative.
Tema 3 - Cap. 2: EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
r
q
p
1 Data la seguente equazione 4 7 9 4 x quanto vale x?
a. 36
b. 46
c. 56
d. 68
e. 5180
e:
p
e. 1 4 7
c:
2 Un triangolo rettangolo ABC come quello in figura con AB c,
AX p e XC q, rappresenta un terreno. Jenny e Vicky camminano
alla stessa velocitaÁ in direzioni opposte sul bordo del terreno, partendo
entrambe allo stesso istante dalla posizione X. Le due ragazze si incontrano in B. Qual eÁ il valore di q in funzione di p e c?
p c
p
pc
a.
b.
c.
p2 c 2
2
2c
2p c
d.
pc
2
3 Se x
e. c
b:
p
1
1
3, quanto vale x 2 2 ?
x
x
a. 11
b. 9
p
d. 2 3 7
c. 7
4 Per quanti valori del parametro a le equazioni x 3 ax 2 0 e x 3 x 2a 0 hanno almeno una
radice in comune?
a. per infiniti valori di a
b. per un solo valore di a
c. per 2 valori di a
d. per 3 valori di a
e. le quattro risposte precedenti sono errate.
c:
p
p
p
5 Quanti sono i numeri reali x > 0 che verificano la condizione 5 x x 3 x ?
a. nessuno
b. 1
c. 2
d. 5
6 Per quanti valori del parametro reale a l'equazione x 3
progressione aritmetica?
a. 1
b. 2
c. 3
6ax 2
e. infiniti
a:
a2 1x 0 ammette 3 radici reali in
d. 6
e. infiniti
a:
7 Sia P
x x 3 ax 2 bx c. Sapendo che la somma di due delle radici del polinomio vale zero, quale
fra le seguenti relazioni tra i coefficienti di P
x eÁ vera?
a. abc 0
b. c ab
c. c a b
e. nessuna delle precedenti risposte eÁ corretta
8 Il polinomio x 4
a.
2
2x 3
b. 0
7x 2
d. b2 ac
b:
2x 1 ha quattro radici reali a, b, c, d. Quanto vale
c.
1
d. 2
1 1 1 1
?
a b c d
e. nessuno dei precedenti
q
p
p
3
9 n e m sono due numeri interi positivi tali per cui: 45 29 2 m n 2. Quanto vale n m?
a. 3
b. 4
c. 5
10 a e b sono due numeri reali tali che 2a4
d. 6
e. 7
b:
4ab b 2 2 0. Quanti valori puoÁ assumere a?
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. non esiste alcuna coppia
a, b che verifica la condizione
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d:
Tema 3 - Cap. 2: EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI
b:
7
Il tavolo e l'architetto
Uno studio di architettura ha ricevuto l'incarico di ristrutturare un appartamento
rinnovando anche l'arredamento. Una delle idee che eÁ piaciuta di piuÁ ai proprietari riguarda il tavolo della sala da pranzo.
L'architetto lo ha appoggiato alla parete e gli ha dato la forma che vedi in figura;
sostanzialmente si tratta di un cerchio che si interseca con un quadrato.
Il materiale con cui eÁ costruito il tavolo eÁ poi particolarmente interessante: la parte
formata dal cerchio eÁ in marmo con un centro in cristallo trasparente e quella rimanente eÁ in cristallo opaco.
La lunghezza totale del tavolo eÁ 180cm, il diametro della parte circolare eÁ complessivamente di 120cm.
1 Descrivi le caratteristiche della figura geometrica che rappresenta il modello del problema.
2 Trova la misura del lato del quadrato.
3 L'architetto ha calcolato che, per avere il miglior impatto estetico, il raggio del cerchio che definisce la
parte in cristallo trasparente deve essere la metaÁ del segmento che eÁ medio proporzionale fra il raggio del
cerchio esterno e il lato del quadrato. Quanto misura il raggio?
d eÁ approssimativamente di 74 , qual eÁ la su4 Tenendo presente che l'angolo AOB
perficie occupata dal tavolo espressa in metri quadrati?
5 Lo spessore del tavolo eÁ di 2cm. Qual eÁ il suo peso in chilogrammi se il peso specifico del marmo eÁ 2,7g/cm3 e quello del cristallo eÁ 2,5g/cm3 ?
5 circa 82,9kg
4 15896,95cm2 1,59m2
2 72cm
p
3 6 30cm 32,86cm
8
Tema 3 - Cap. 2: EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO E IRRAZIONALI
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