FUNZIONE CARATTERISTICA DI UN FENOMENO ALEATORIO § 1.

B.
DE F I N E T T I
(Roma - ItaKa)
FUNZIONE CARATTERISTICA DI UN FENOMENO ALEATORIO
§ 1. - Scopo di questa comunicazione è di mostrare come il metodo deKa
funzione caratteristica (l), già così vantaggiosamente introdotto neKa teoria deKe
variabiK casuaK, si presti pure assai utilmente aKo studio dei fenomeni aleatori.
Mostreremo quindi, in primo luogo, come si possa individuare completamente un
fenomeno aleatorio mediante la sua funzione caratteristica, e accenneremo poi aKe
operazioni che ne fanno un potente strumento di calcolo. Un'esposizione completa si troverà in una memoria che sarà presentata quanto prima aKa R. Accademia dei Lincei (2).
§ 2. - Un fenomeno di cui si può fare (o quanto meno si può concepire) un
numero qualunque di prove lo diremo fenomeno aleatorio quando l'ordine in
cui le prove favorevoK e sfavorevoK si alternano sia da attribuirsi al caso. Si
esige cioè che tutte le L J successioni di n prove di cui h favorevoK, successioni
che differiscono tra loro solo per l'ordine, abbiano uguale probabiKtà. Questa,
in termini precisi, la proprietà caratteristica di quelK che abbiamo convenuto di
definire fenomeni aleatori.
Sarà bene vedere con qualche esempio la portata di tale restrizione, e avere
così un'idea chiara del campo di questa ricerca. Se si ha una moneta o un
dado, e lo si lancia sempre aKo stesso modo, non ci sarà nessun motivo, d'indole causale, nemmeno se deKa perfezione del pezzo non siamo sicuri, che possa
influire suK'ordine in cui si alternano le prove favorevoK e sfavorevoK: l'ordine
sarà dovuto al caso, e si ha quindi un fenomeno aleatorio, secondo la data definizione. Lo stesso si dica per il problema della roulette, per le estrazioni da
un'urna scelta a sorte in una collezione nota, e tutti i casi consimiK. Se invece
si considera una successione di tiri al bersaglio di uno stesso tiratore, o la successione deKe giornate piovose e non piovose, o deKe giornate in cui il signore
di rimpetto si rade la barba, tale condizione non si potrà ragionevolmente rite-
(*) V. i Trattati di Calcolo delle Probabilità di G. CASTELNUOVO e di P. L é V Y .
(2) Memorie della R. Aee. Naz. dei Lincei, S. 6 a , voi. IV, fase. V.
180
COMUNICAZIONI
nere verificata, perchè nel primo caso si può prevedere dapprima un progressivo addestramento del tiratore, e poi il sopravvenire della stanchezza, ciò che
rende probabüe un addensamento deKe prove favorevoK nel periodo di forma
migKore, perchè i giorni piovosi saranno riuniti in periodi di piovosità più o
meno lunghi, senza parlare poi deKa periodicità stagionale, e perchè il signore
di rimpetto si raderà sempre a intervalK più o meno regolari.
Per decidere, in pratica, se un certo fenomeno si possa considerare fenomeno
aleatorio, oppure no, basta pensare se un'eventuale regolarità o altra singolarità
riscontrata neK'ordine della successione si attribuirebbe al caso (e aKora si ha
un fenomeno aleatorio) o si potrebbe ritenere dovuta a qualche circostanza connessa al fenomeno, in modo da far pensare che anche in un'altra uguale serie
di prove sia probabile si rinnovi.
§ 3. - Se di un certo fenomeno aleatorio si fanno n prove, il numero di queKe
che risultano favorevoli è ovviamente una variabile casuale xn capace di assumere soltanto i valori 0, 1,...., n ; se indichiamo wf/f la probabilità che il fenomeno
considerato si verifichi h volte su n prove, la variabile casuale xn è caratterizzata
daKe probabiKtà wf\ co^,...., coty coKe quaK può assumere i diversi valori possibiK. Nel caso particolare e ben noto in cui il fenomeno abbia una probabiKtà
costante p nota a priori, si sa che co^ ) =( )ph(l— p)n~h, ma nel caso generale
di cui ci occupiamo le œ{/p potranno essere qualunque (a parte delle limitazioni
imposte dalla natura stessa del problema, e che troveremo in seguito).
Un fenomeno aleatorio ci definirà dunque una successione di variabili casuaK Xi, x2,...., xn,...., che è chiaro debbano risultare tra loro interdipendenti.
Tale interdipendenza si traduce anaKticamente in una relazione differenziale ricorrente che lega le loro funzioni caratteristiche yjif ip2,...., ipn,...., e che costituisce
la base di questa ricerca.
Si dimostra che al crescere di n la funzione
n
s
'
n
0
tende uniformemente in ogni regione finita aKa funzione intera
JS
ihth
o
che è queKa appunto che si dirà per definizione « funzione caratteristica
del
fenomeno aleatorio ». Nota la yj si ricavano tutte le \pn e di conseguenza tutte
le co\f, e ciò giustifica bene la denominazione.
eit__e-m
L'integrale da — oo a + oo deKa funzione
%p(t) esiste sempre per
ogni valore di f, ed è uguale rispettivamente a 0 e 2n per f < 0 e f > 1 ; di
B.
DE F I N E T T I
: Funzione
caratteristica
di un fenomeno aleatorio
181
conseguenza esiste una variabile casuale di cui yj(t) è la funzione caratteristica,
la corrispondente funzione di ripartizione è
+00
rPu—p-w
1
ed è # ( ! ) = 0 per | < 0 e &(£) = ! per f > l .
Da taK risultati scendono due teoremi importanti :
I. La probabilità che la frequenza su n prove sia compresa entro limiti
assegnati fi e £2 tende a <P(f2) — <5(fi) al crescere di n;
IL La probabiKtà che tutte le frequenze dopo Vnm* siano comprese fra Kmiti
assegnati | 4 e f2 tende a
Kmd # ( f ) - K m s <5(|)
al crescere di w.
Perchè, assegnata una ip(t), possa esistere un fenomeno aleatorio di cui essa
sia funzione caratteristica occorre e basta che la corrispondente funzione di
ripartizione &($) (naturalmente reale e mai decrescente) sia nuKa per f < 0
e = 1 per f > l .
§ 4. - Esponiamo succintamente i calcoK.
Tra le co^ dovrà sussistere la relazione
(h\ In — h\
n-m+k
(1)
aP-J^WfiZ*)
U
perchè I ÏÏ _ _ J : ( ) è la probabiKtà che su m prove, prese tra n di cui h
favorevoK, le favorevoK siano Jc, quando tutte le combinazioni sono ugualmente
probabili. In particolare (per m=n — 1):
(2)
nœ^=(n-k)m^
+ (k+l)co^\.i
e ponendo
(3)
£„(*) = 2 > £ V '
0
tutte le (2) per k=0,1,...., n — 1 si riassumono neKa relazione differenziale ricorrente
(4)
nQn_i(z)=nQn(z)
+ (1
-z)DQn(z).
Derivando la (4) e ricavandone i valori deKe successive derivate per z=l si ha
(5)
ün(l+z)^Jnh)co^
182
COMUNICAZIONI
e si trova che Qn[l + -\, quando ^-*oo, tende uniformemente a
nj
oo
j
ß(l+ 2 ) = 2 Ä < 0 ^ .
(6)
o
La funzione caratteristica yju è
(7)
Wn(t)=Qn(e%
t
u
si dimostra che Q\e ) tende pure a Q(l + t), e quindi la funzione caratteristica
del fenomeno aleatorio (funzione Kmite cui tende uniformemente v^(~)) è
(8)
yj(t) =
Q(l+it).
§ 5. - Una prima conseguenza notevole: come mostrano le (8), (6), per n
indefinitamente crescente, il momento m m o di —, ossia il valor-probabile-Kmite
della potenza m m a deKa frequenza per un numero indefinitamente crescente di
prove, tende a co\"t'\ cioè al valore della probabiKtà che m prove siano tutte
favorevoli.
Ai teoremi enunciati nel § 3 si arriva traducendo i risultati ottenuti per le
funzioni caratteristiche in quelli corrispondenti per le funzioni di ripartizione:
indicando $>n(x) la funzione di ripartizione di xn, si ha
(9)
lim $„(nf) = #(£).
n=oo
L'altro teorema, relativo alla probabilità che tutte le frequenze da un certo n
in poi appartengano a un dato intervaKo, si può considerare come l'estensione
al caso di un qualunque fenomeno aleatorio del teorema relativo alle prove ripetute indipendenti e con probabiKtà costante, che è un caso particolare del noto
teorema di CANTELLI (*). Anche la dimostrazione si può ricondurre a quella
del caso trattato da CANTELLI.
§ 6. - Le (6), (5), (7) provano chiaramente l'asserto che la %p basta a determinare completamente tutte le %pn. Altrettanto si potrà dire della (£, perchè da
essa si ha
i
i
ip(t) = I eu'd0=elt-it
(10)
o
j eut<P(Ç)dÇ
d
i
(11)
Qn(l+z) =
i
f(l+zèrd$=(l+z)"-nzf(l+zèy-i®(è)dÇ
6
ó
1
(12)
o>j?>=(j) / > ( l - ! ) - ' ^ = ( g
(*) F. P. CANTELLI : Sulla probabilità
Lincei, serie V, voi. XXVI, gennaio 1917.
1
[(h-nè)^(l-èr-»~t<P(è)dè.
come limite
della frequenza.
Rend. R. Ace. dei
B.
Funzione
DE F I N E T T I :
caratteristica
di un fenomeno aleatorio
183
§ 7. - Consideriamo due casi di particolare importanza, che serviranno anche
utilmente come esempi.
Nel caso ben noto in cui la probabiKtà di un fenomeno è nota a priori e
uguale a p,
.
<*>W=Qph(i -py-\
Ün(l+z) = (l+pzY,
co^=ph,
ß ( l + s)=Km
(l+p^]l=e^,
w(t)==,e^\
o anche direttamente (daKa (7))
oo
^-^
.. .
h
i^t
y>(t) = 2jhP YT =eipt>
®(£)=°> Vs, 1, a seconda che Ç<p, £=p, £>p.
o
Al crescere di n la probabilità che la frequenza sia compresa in un intorno p + s
di p tende ah"unità; inversamente da tale ipotesi scende che yj(t) = eipt, e cioè
che il fenomeno ha probabilità costante e uguale a p in tutte le prove. Come
casi particolari, per p=0, p = l, si ha yj(t) = l, %p(t) = eu.
Nel caso in cui tutte le frequenze siano ugualmente probabili si avrà
...
1
VM-W+Ï'
fi(l+0)=lim
1
n+1
1 —e*'("+1)
1-e"
'
n
>
z
n
#»<*) = ^
n
(A=0,1,..., n),
*i~ -1
<P(tf=lim <&„<«£) « | .
«=00
Al crescere di n la probabiKtà che la frequenza sia compresa in un intervallo £L, £2
tende a | 2 — £4 ; inversamente da tale ipotesi scende
i
yJ(t)=feittdè=
o
it
<W = n +' 1'
e il fenomeno ha quindi ugualmente probabili tutte le diverse frequenze su n prove.
§ 8. - Passiamo alle operazioni suKe funzioni caratteristiche.
Come osservazione generale possiamo dire che tutte le operazioni che incontreremo sono distributive, a meno (ove occorra) di un fattore moltipKcativo che
fa assumere il valore 1 aKa tp(t) per £=0, come necessariamente deve aversi.
184
COMUNICAZIONI
Introducendo l'operatore U:
Uf(t) = f(0)
possiamo dire che le operazioni che ci si presenteranno sono prodotti del tipo TIF
con F distributiva.
Poiché la funzione di ripartizione ^(f) è funzione lineare biunivoca deKa
funzione caratteristica ip(t), ad ogni operazione distributiva sulla xp corrisponderà la trasformata che opera su 0.
Due operazioni utili per semplificare le notazioni sono Fn (leggere: «polinomio ennesimo ») che applicato a ip produce Qn (*), e
che appKcato a ip
produce a)(/t'\ Si possono definire in generale ponendo : se
00
mh
o
p
(13)
-Ao=s*(;)«»«fc=s*(i+«)*
n
Si osservi in particolare che
'
n
e che la ipn(f) è J*nip(eu—1).
f=an,
§ 9. - Sia ip(t) la funzione caratteristica di un certo fenomeno aleatorio. La
funzione caratteristica del fenomeno contrario è
(14)
euyj(-t).
Kyj(t) =
Infatti dire che su n prove queKe favorevoli sono h, equivale a dire che sono n—h
quelle favorevoli all'evento contrario, ciò che si esprime
K= n —h
n
<15)
e dà (scrivendo €aji")=
y):
Pjr V (*-l)-a>ir ) + o>S|Ìl«+ .... +ca<M)s»=
= 2» j <»<"> +<>ì+ .... +<'| i J = ^P„vÇ-l),
PnKy(eü - 1 ) = e " " P „ y (e""" - 1 )
t
Kyj(t)=ìim
?nKip{ez»-l)=1ìm
Essendo in particolare
(16)
KyM-l
.t
f
{et"Tlim'Pnyj{e~^-l)
=
eityj(-t).
K=
+ aftHt-aWj-, -cofi^
(*) Precisamente la funzione Qn(l+z),
+ .... +<)in~
non la Qn{z)-
+ ••••
B.
DE F I N E T T I :
Funzione
caratteristica
di un fenomeno aleatorio
185
Se 0 è la funzione di ripartizione corrispondente a \p, si trova che la funzione di ripartizione K&<!> corrispondente a Kxp è
(17)
K*$(£) =
l-&(!-£)
come era del resto intuitivo : la probabilità che al Kmite la frequenza d'un evento
sia inferiore a f e uguale a queKa che la frequenza dell'evento contrario sia
superiore a 1 —f.
K è operazione distributiva reversibile involutoria :
K(ip' + ip")=Ky>, + Kxp",
KKy>=y>,
K~^=K%p.
§ 10. - La funzione caratteristica nell'ipotesi che la prima prova sia favorevole è
(18)
Ryj=UDy>,
nell'ipotesi che la prima prova sia sfavorevole è
(19)
Sxp=U(i-D)xp,
più in generale, dopo r prove favorevoli ed s sfavorevoli diviene
(20)
RrS8ip= Uir^l - D)syj.
La probabiKtà afìp che le prime n prove siano tutte favorevoli è infatti uguale
al prodotto deKa probabiKtà co^ che la prima prova sia favorevole per la probabiKtà che, verificata quest'ipotesi, lo siano le prime n — 1 prove successive,
rn
probabilità che è
il coefficente (n + l)mo,
jH
Ryj. Il coefficente nmo deKo sviluppo di Ryj è quindi
eon+i > deKo sviluppo di yj diviso per il primo,
mf=-iDip(0),
e quindi
* * o - ^
! «*>+«*> £ - « * fi + - . +«&?
% + •••• i - E g g -
^
Per dimostrare che S= U(i — D) conviene partire daK' osservazione che S è
ovviamente la trasformata di R mediante K: S=KRK. DaKa (14) :
DKyj(t) =
eu[iyj(-t)-Dyj(-t)];
KDKyj(t) = eüle-ü[iyj(t)-I)xp(t)]l==(i-D)yj(t)
;
KDK=i-D;
e per facili proprietà di U:
S=KRK=
UKDK=
U(i-D),
da cui
Atti del Congresso.
13
186
COMUNICAZIONI
Le operazioni R ed S sono permutabili:
RJS = SR,
e quindi
Rrß*=S8Rr=Ss*Rr*Ss*RrK...
(si + s2 +....=s, rL + r2 +....=r).
Ciò prova che dopo r prove favorevoK ed s sfavorevoK, indipendentemente dall'ordine in cui esse si alternano, la funzione caratteristica diviene RrSsyj.
La probabiKtà che un fenomeno aleatorio che ha la funzione caratteristica yj
si verifichi h volte su n prove successive neh'ipotesi che delle prime r+1 prove
queKe favorevoK siano r e s le sfavorevoli è data daKa formula
(21)
h+ r\ In — h + s\
(
t
RrS y>=
h+r
i+r+s
r %p
r+ s
s
fn + r + s\
§ 11. - Indichiamo R®, S®, le operazioni che trasformano la funzione di
ripartizione corrispondente a yj in quella corrispondente a Ryj o a Sxp.
Partendo daK'espressione di Dip(t) che si ottiene derivando la (10) si ricava
(22)
0
1
R*$(è) =
l —j$(l)dk
analogamente si trova
(23)
.
»
__0
~" 1
hd$
*<*)
ò
S##(f)~
i
»
0
e in generale
fçr(l—Ç)sd$
(24)
RlSi®(è) =
/l'd-w
d$
A taK risultati possiamo dare una forma più espressiva. Pel teorema della
media :
(25)
[ ^ Ä ^ ] | = - / ^ ^ •[*Ê
0
con Si^S^h
e indicando [çp]f*=$(f 2 ) — <&(&).
Si deduce da questa formula un teorema asintotico assai notevole nel campo
delle relazioni fra probabilità e frequenza. Se la frequenza su un numero suffi-
B.
DE F I N E T T I
: Funzione
caratteristica
di un fenomeno aleatorio
187
centemente grande di prove è /, la funzione caratteristica tende a quella stessa
che varrebbe se il fenomeno avesse probabiKtà nota a priori uguale ad /, a meno
che in un intorno di / la <5 sia costante. In termini precisi : se per nessun e > 0 è
*(^-s-e)=*(4r7+e)'
è
Mm (ÄjSi)"*(ö = 0, V«, 1
a seconda che ! < / , f = / , f > / , e conseguentemente
Km (R>'Ss)nyj(t) = e^,
(26)
n=œ
e la tendenza al limite è uniforme in ogni regione finita (CASTELNUOVO, Op. cit.,
vol. II, p. 198).
Quindi, qualunque sia la natura di un fenomeno aleatorio (purché la sua 0
soddisfaccia la detta restrizione), la probabiKtà che, nell'ipotesi che suKe prime n
prove la frequenza osservata sia /, in queKe successive la frequenza tenda a un
Kmite che differisca da / per più di un dato s può rendersi piccola quanto si
vuole pur di prendere n sufficentemente grande.
§ 12. - Come esercizio, applichiamo i risultati trovati alle funzioni caratteristiche considerate nel § 8.
Se yj(f) = eW, si ha
Kyj(t) = e*l-&\
Ryj(t)=Syj(t)=RrS*yj(t)=eipt.
Non si hanno altre funzioni caratteristiche che rimangono invariate conoscendo
l'esito di una prova: se Ryj=yj o Syj=yj scende che yj(t) = eipt
(O^p^l).
pit
T X
'
1
pit
%t
i t y ( 0 = p (ex-ite*-!)
RrS*yj=
(27)
;
f
Sy>(t)= f2 (l + it-eH)
;
+
Cit~':
»+ r + s + l
'
° ') ; _»
y
Dr.O«.,._.. \
,x
r/n t\
+ r +bs\
/
n r + s+1
In particolare la probabiKtà che 1' (r + s+ l ) m a prova sia favorevole, dopo r prove
favorevoli ed s sfavorevoK è
(28)
y
r+ s + 2
È questa la formula di cui si fece uso e anche abuso neKa teoria deKa probaeit
biKtà a posteriori. Essa è rigorosamente esatta quando sia yj(t)=—-—,
valida solo in questo caso specialissimo.
\
ma è
188
COMUNICAZIONI
§ 13. - Due altri problemi meritano un cenno.
Se si hanno due fenomeni (analogamente per tre o più), indipendenti tra
loro, le cui funzioni caratteristiche sono
0
0
il loro coverificarsi è un fenomeno aleatorio la cui funzione caratteristica è
(29)
V(0=ÌW^.
o
Infatti an è la probabilità che U primo fenomeno si verifichi sempre su h prove,
bh l'analoga per il secondo, e di conseguenza a^b% è la probabilità che su h
prove si verifichino sempre entrambi.
In particolare se yj"(t) = eipt (fenomeno a probabilità nota p) si ha ys(t) = yj'(pt);
se
pìt_\
è
*
y>(f) =
Ad esempio per
jfy'Wt.
°
§ 14. - Se un fenomeno può dipendere da diverse cause (incompatibiK) che
hanno rispettivamente le probabiKtà Xi, l2,...., Xm, e neKe diverse ipotesi il fenomeno ha rispettivamente le funzioni caratteristiche yj^(t), ipW(t),...., yAm^(t), la
funzione caratteristica del fenomeno aleatorio è
(30)
yj(t)=Wi)(t)
+ X2yjM(t)+ ....
+lmy*m)(t).
Su questo teorema si può fondare in modo formalmente impeccabile la teoria
deKe probabilità deKe ipotesi. L'esempio classico cui si applica tale risultato è
queKo deKe estrazioni da un'urna che è stata scelta a caso in una collezione
nota. Se sappiamo che le percentuali di palle nere possono essere pl} p2,...., pm
coKe probabilità Xif k2,...., Xm, la funzione caratteristica sarà
yj(t)=kié^t
+ h^t+
.... +lmeikmt.
Un esempio che, pur riferendosi, per fissare le idee, aKe estrazioni da un' urna,
megKo si avvicina al tipo dei problemi che si possono presentare in pratica, è
quest'altro. Abbiamo un'urna A contenente n paKe tra bianche e nere, che vi
sono state immerse da un individuo il quale aveva a sua disposizione N=cn paKe
(e intero maggiore di 1), di cui H=ch bianche e K=ck nere
(H+K=N,
ossia h + k=n). Di tutte le ipotesi possibiK riteniamo che soltanto le due seguenti
B. DE FINETTI: Funzione caratteristica
di un fenomeno aleatorio
189
possano essersi verificate: a) le n paKe sono state scelte a caso fra le N disponibiK; b) l'individuo che preparò l'urna ebbe cura di scegKere le n paKe in
modo da conservare le percentuali di paKe bianche e nere (e quindi prendendo
h paKe bianche e k nere). Conosciamo ancora la probabilità che hanno queste
due ipotesi: siano a e ß. Il fenomeno consistente neh'estrazione di una paKa
bianca daK'urna A ha la funzione caratteristica
yj(t) = a.yta\t)
ove
+
ß-ytß\f)
.h.
yjW(t) =
(essendo ( )( ___,)"( ) la probabiKtà che delle n paKe estratte a sorte e immesse neh'urna l siano bianche). Dopo r + s estrazioni di cui r diedero paKe
bianche, la funzione caratteristica è
1
r yjiß) . RrS8yAß)(t)
r yjW- RrS8yjW(t) + ß
r W
r+ s
r+ s
r+ s
Derivando si ha, per t=0, la probabiKtà di ottenere, all'(r + s + l ) m a estrazione,
una paKa bianca (determinazione di una probabiKtà a posteriori); la probabiKtà
che le paKe siano state scelte a caso (ipotesi a) dopo r estrazioni di paKe
bianche e s di paKe nere è
\ r '
RrS8yj(t) =
r+ s
«(«)
r
r+ s
(determinazione di una probabiKtà deKe ipotesi).
Per fare un'appKcazione numerica: se l'urna contiene 6 paKe scelte fra 12
2
1
che si avevano a disposizione, di cui 4 bianche e 8 nere, e si ritiene a= - , ß= 3*
m
^ < « ) ( * ) = _ ] l + 8ßG + 15ß3 + 8e + ß 3
yj<ß)(t) = ez,
yj(t)
1
= 99
it
it
it
2it
2 + 16é^+63é^+16e* + 2e*
Dopo r + s estrazioni, di cui r diedero paKe bianche, la probabiKtà deh'ipotesi b)
(scelta non a caso) è
33.2'\4*
16.5* + 63.2r.4* + 16.3''+* + 2.4/\2* *
Dopo 6 estrazioni l'ipotesi b) ha le probabiKtà 0,088.353 se si ebbero r = 6
paKe bianche, 0,176.707 se r=5, 0,279.365 se r = 4 , 0,359.918 se r = 3 , 0,389.812
se r=2, 0,353.947 se r=l, e finalmente 0,260,018 se r=0, ossia se si estrassero solo palle nere. Al crescere del numero deKe prove, la probabiKtà deK'ipo-
190
COMUNICAZIONI
33
33
tesi b) tende rispettivamente a —=0,523.810, —=0,517.722, o a zero, a seconda
che la frequenza è compresa fra
(log V*)/(log 5/*) = 0,243.529
e
(log */3)/(log 2)=0,415.037,
è uguale a uno di questi due Kmiti, o è esterna.
§ 15. - Il problema deKe probabiKtà a posteriori consiste nel cercare di determinare la probabilità di un fenomeno aleatorio in base aK'osservazione della
frequenza effettivamente constatata in un certo numero di prove. In base a
quanto s'è visto: un problema di probabilità
a posteriori
è pienamente
determinato se e solo se si riferisce a un fenomeno noto (di cui è nota la
funzione caratteristica).
Il problema delle probabiKtà deKe ipotesi consiste nel ricercare la probabiKtà
di un'ipotesi o causa cui un fenomeno aleatorio si possa far risaKre, in base
sempre all'osservazione della frequenza con cui il fenomeno s'è verificato in un
certo numero di prove. E possiamo concludere: un problema di
probabilità
delle ipotesi è pienamente
determinato
quando e solo quando è noto il
fenomeno (è data la sua funzione caratteristica), è nota la precisa
influenza
dell'ipotesi
(è data la funzione caratteristica del fenomeno subordinatamente
aK'ipotesi), e è nota la probabilità
a priori dell' ipotesi stessa.
Altrimenti questi due problemi non hanno senso.
Il teorema del § 11 contiene tutto queKo che vi può essere di preciso in un
tentativo d'inversione del teorema asintotico di Bernoulli. Dopo un numero indefinitamente crescente di prove, la probabiKtà di un fenomeno aleatorio tende a
divenire uguale alla frequenza (colla restrizione detta a suo luogo). Ma la convergenza non è uniforme per tutte le funzioni caratteristiche, e quindi, per quanto
grande sia il numero deKe prove già eseguite, non è possibile dedurre che la
probabilità sia anche approssimativamente uguale alla frequenza senza conoscere
quale fosse a priori la funzione caratteristica del fenomeno. Possiamo dire però
che col crescere del numero deKe prove divengono sempre meno restrittive le
condizioni che si debbono supporre verificate daKa funzione caratteristica del
fenomeno aleatorio perchè ne consegua che l'uguagKanza approssimativa tra
probabiKtà e frequenza sussista.
Queste conclusioni e questi esempi possono chiarire — in modo preciso nei
due casi trattati delle probabilità a posteriori e delle probabiKtà deKe cause, come
spirito anche nel caso generale — l'influenza che suKa valutazione di una probabilità esercitano i dati deh" esperienza (*).
(*) Per una discussione più esauriente rimando a Probabilismo. Saggio critico sulla teoria
delle probabilità e sul valore della scienza. Biblioteca di Filosofia diretta da A. ALIOTTA,
Perrella ed., Napoli, 1931 (L. 5); cfr. specialmente il n.° 22.