lezione 17

METODI E TECNOLOGIE
PER L’INSEGNAMENTO
DELLA MATEMATICA
Lezione n°17
PROBABILITÀ
Valutare
Innanzitutto è necessario educare a riconoscere il grado di
validità di una affermazione:
Affermazione
Validità
2+2=4
certa
Domani pioverà
possibile
Gli asini volano
impossibile
E , data una affermazione possibile, si può dire
qual è il suo grado di possibilità?
Il calcolo delle probabilità nasce per rispondere a
questo tipo di domanda.
N.B.: Non tutte le situazioni sono però sottoponibili
a quantificazione.
OSSERVAZIONE PRELIMINARE
Sul piano didattico è sempre consigliabile far
scaturire i concetti da situazioni concrete, senza
aver fretta di anticipare definizioni che gli alunni
non capirebbero.
Gli esempi e le situazioni dai quali partire non
mancano certamente.
Nella fase preliminare non è opportuno presentare
situazioni problematiche complesse: lo scopo non
è quello di abituare gli alunni a risolvere
problemi,
ma
a
cogliere
differenze
fondamentali fra situazioni particolari.
Con alunni di II o ancora meglio di III si possono
presentare due situazioni:
-La prima. Mario ha 10 figurine e ne regala 4 a
Filippo. Quante figurine gli rimangono?
-La seconda. Domani si gioca l’incontro di calcio
Inter-Juventus. Quanti gol segnerà l’Inter?
Domanda: che differenza c’è fra le due situazioni?
Poi si può fare un altro passo
Nelle urne A e B ci sono palline bianche e palline nere come
le puoi vedere (l’insegnante, se può, si procura
effettivamente urne o sacchetti e palline bianche e nere ).
Puoi estrarre ad occhi chiusi una pallina e se è bianca vinci
un premio. Preferisci estrarre dall’urna A o dall’urna B?
Oppure è indifferente? Sai dire perché?
EVENTI ALEATORI
Nell’ambito della teoria della probabilità l’esito di
una qualsiasi esperienza viene detto evento.
Un evento si dice aleatorio o casuale per un
soggetto umano, se questi non è nelle condizioni
di esprimere un giudizio certo sul suo verificarsi o
meno: ad attribuire aleatorietà ad un evento sono
perciò il grado e la qualità delle informazioni che
un soggetto ha circa quell’evento.
ESEMPIO
Nel gioco della tombola consideriamo l’evento:
«In questa estrazione esce un numero pari»
- Se sappiamo che sono già stati estratti tutti i numeri
dispari, l’evento è certo.
- Se invece sono già stati estratti tutti i numeri pari, l’evento
è impossibile.
- Se invece nell’urna permangono numeri pari e dispari
l’evento è aleatorio.
Le diverse concezioni di probabilità:
la probabilità classica
Dato un fenomeno( es. lancio di un dado) si dice:
Esito: ogni risultato del fenomeno (es. esce 1, 2, 3, 4 ,5, 6)
Evento: un insieme di esiti( es: esce un numero pari)
Casi possibili: tutti i possibili esiti
Casi favorevoli: esiti che verificano l’evento in esame
Si dice probabilità classica di un evento E, e si indica con
p(E), il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di
casi possibili (supposti equiprobabili)
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖
𝑝 𝐸 =
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖
Es.: E= esce un numero pari
𝑝 𝐸 =
3
6
Esempio 1
Se lanciamo due monete quali sono i possibili esiti?
Si potrebbe dire: due teste, due croci e una testa e
una croce; ma sono tutti equiprobabili?
No! Infatti la configurazione una testa e una croce si
presenta in due modi: croce-testa e testa-croce,
mentre le altre due in un solo modo.
Il modo corretto quindi di considerare gli esiti è:
testa-testa
testa-croce
croce-testa
croce-croce
Esempio2
Se lanciamo tre monete, quali sono le possibili
configurazioni?
TTT
TTC
TCT
CTT
TCC
CTC
CCT
CCC
Ora consideriamo l’evento: E = escono esattamente due
teste
Casi possibili: 8;
casi favorevoli : 3
Ora si può calcolare la probabilità
3
𝑝 𝐸 =
8
Le diverse concezioni di probabilità
Un atteggiamento tipico in situazioni di incertezza
sull’esito di un’esperienza è quello di riferirsi alla storia
passata per fare predizioni su quella futura. ( Esempio:
le assicurazioni)
Questo tipo di impostazione conduce alla definizione
di probabilità a posteriori o frequentista:
Se si esegue un’esperienza un numero n di volte e si
osserva che un evento E si è presentato h volte su n,
allora:
ℎ
𝑃 𝐸 =
𝑛
N.B.: la probabilità frequentista è uguale alla
frequenza relativa
Le diverse concezioni di probabilità
Qual è la probabilità che la Juventus vinca la Coppa dei
Campioni?
È evidente che a questo tipo di domanda non si può rispondere
né con la concezione classica, né con quella frequentista;
eppure si fanno scommesse, nelle quali, in qualche modo si fa
una valutazione del grado di possibilità dell’evento.
Parliamo in questo caso di probabilità soggettiva.
Considerato un evento aleatorio E, la probabilità P(E) che il
soggetto attribuisce all’evento E è un numero reale che esprime
la disponibilità del soggetto, supposto ragionevole, a versare la
posta M, col patto di ottenere la vincita V se l’evento E si verifica
𝑀
𝑃 𝐸 =
𝑉
• Relativamente al piano didattico all’inizio è
opportuno fare riferimento solo a situazioni in cui gli
eventi possibili sono equiprobabili; ad esempio:
lancio di una moneta testa-croce (non truccata);
lancio di un dado “onesto” con facce numerate da 1 a
6; estrazione di una pallina da un’urna; e casi simili.
In altri termini si parlerà solo di valutazione classica
della probabilità.
• In un secondo momento si farà un cenno a situazioni
in cui la probabilità si identifica con la frequenza
relativa; si tratta ovviamente della concezione
frequentista della probabilità.
ESEMPI DI ATTIVITÀ
Una attività interessante può essere costituita dal confronto
tra la valutazione di probabilità e ciò che accade realmente.
Si confronterà quindi la probabilità teorica con la frequenza
relativa dell’evento.
Esempio1: prima si pone la domanda: « data una moneta, qual è la
1
probabilità che esca testa?». Facilmente si risponderà: !
2
Poi si divide la classe in gruppi e si chiede ad ogni gruppo di lanciare
20 volte una moneta e registrare il numero di teste e uscite.
Si contano tutte le teste uscite, poi si calcola la
frequenza relativa=
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑠𝑐𝑖𝑡𝑒
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑛𝑐𝑖
Cosa si ottiene? Cosa cambia se aumentiamo il numero di lanci?
Esempio 2: lanciamo due dadi e sommiamo i punti ottenuti.
Quali somme possiamo ottenere? Qual è la somma più
probabile? Qual è la probabilità di ottenere una somma
multipla di 3?....
Poi si può sempre fare un confronto con una prova reale.
Esempio 3: Abbiamo 10 palline numerate da 1 a 10; qual
è la probabilità che esca un numero pari?
Anche qui il confronto con la situazione reale si può
facilmente fare, basta portare in classe i numeri della
tombola.
DOMANDE
• È più probabile che i numeri estratti siano, nell’ordine, 1•
•
-
2-3-4-5 oppure che siano, nell’ordine, 90-34-45-3-9 ?
Se nella scorsa estrazione è uscito il 7 sulla ruota di
Napoli, oggi è più probabile che, sulla stessa ruota, esca
il 7 o un altro numero che non è uscito la scorsa volta?
Lanciamo due dadi con 6 facce e non truccati:
Enunciare un evento certo
Enunciare un evento impossibile
Enunciare un evento che abbia meno del 30% di
probabilità di verificarsi
ESERCIZIO
Delle 200 persone presenti in una sala, 80 hanno 18 anni; 70 ne hanno
17; 40 hanno 16 anni; 5 hanno 32 anni ed altri 5 ne hanno 40. Calcola:
• la mediana e la moda delle età delle 200 persone;
• la media aritmetica di tali età.
• Fornisci una rappresentazione tabulare della situazione ed un
diagramma a barre.
• Prendendo una persona a caso tra le 200, qual è la probabilità che
abbia non meno di 18 anni?
• Prendendo una persona a caso tra i minorenni, qual è la probabilità
che abbia 16 anni?
• Prendendo una persona a caso tra le 200 qual è la probabilità che
abbia più di 40 anni?