Canio Noce EQUAZIONI DELLA FISICA MATEMATICA ALLE

Universitá degli studi di Salerno
Facoltá di Scienze Matemat. Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Fisica
Canio Noce
EQUAZIONI DELLA FISICA MATEMATICA
ALLE DERIVATE TOTALI
Indice
Prefazione
3
I
6
TEORIA
1 Introduzione
8
2 Soluzione dell’equazione ipergeometrica generalizzata
3
II
Proprietà dei polinomi ipergeometrici
3.1 Ortogonalità dei Polinomi Ipergeometrici. . .
3.2 Derivate di Polinomi Ipergeometrici . . . . .
3.3 Sviluppo di un Polinomio Qn (x) qualsiasi in
nomi Ortogonali {Pn }. . . . . . . . . . . . .
3.4 Proprietà delle Radici di {Pn }. . . . . . . . .
3.5 Relazioni di Ricorrenza . . . . . . . . . . . .
3.6 Polinomi Ortogonali e
Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
termini di
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
10
20
. . . . 20
. . . . 23
Poli. . . . 24
. . . . 26
. . . . 27
. . . . . . . . . . 31
APPLICAZIONI
36
4
Oscillatore Armonico
38
5
Potenziale di Pöschl-Teller
41
6
Spettro dell’Operatore L2
46
7
Particella in un Campo Magnetico
51
3
III
APPENDICE
55
Bibliografia
58
4
Prefazione
La teoria delle funzioni speciali trattata da Gauss, Eulero,
Laplace, Jacobi, Riemann, Tchébychev é da lungo tempo uno
degli argomenti profondamente radicato nell’analisi matematica,
nella teoria delle funzioni di una variabile complessa, nella teoria
della rappresentazione dei gruppi.
Nonostante i metodi numerici siano sempre più presenti nella
pratica, grazie anche allo sviluppo tecnologico dei computer, assistiamo ad un rinnovato interesse per le funzioni speciali dovuto
all’esigenza di avere soluzioni analitiche per problemi complessi.
Le più note funzioni speciali sono classificate come Funzioni
speciali della Fisica Matematicae tra queste citiamo i polinomi ortogonali classici (polinomi di Jacobi, Laguerre, Hermite
. . . ), le funzioni ipergeometriche, cilindriche e sferiche
La conoscenza di tali funzioni é indispensabile per uno studio
appropriato di numerosi problemi della fisica teorica e matematica. In particolare in meccanica quantistica il problema dell’oscillatore armonico, del moto di una particella in un campo centrale e più in generale la soluzione delle equazioni di Scrödinger,
Dirac, Klein-Gordon per una particella in un potenziale coulombiano conducono ad equazioni differenziali ipergeometriche le cui
soluzioni sono per lo più date da funzioni speciali.
Questa classe di funzioni ha un complesso ed articolato apparato matematico. Scopo della trattazione qui presentata é proporre al lettore un nuovo metodo di costruzione delle funzioni
speciali. L’idea generale é basata su un uno strumento matematico elementare fondato sulla generalizzazione della nota formula
di Rodriguez per i polinomi ortogonali classici. Un tale approccio permette di ottenere sotto forma esplicita le rappresentazioni
integrali di tutte le funzioni speciali della fisica matematica e di
caratterizzarne le proprietà principali.
5
Vorrei infine ringraziare Adolfo Avella, Mario Cuoco, Gerardo
Iovane, e Danilo Zola che mi hanno aiutato nella redazione di
questi appunti e tutti quegli studenti che hanno contribuito a
migliorarli segnalandomi gli errori tipografici.
6
Parte I
TEORIA
7
Capitolo 1
Introduzione
Dalla meccanica quantistica, é ben noto che per ricavare lo spettro energetico
e gli autostati di un problema fisico si deve risolvere l’equazione agli autovalori di Schrödinger . L’equazione di Schrödinger é un’equazione differenziale
alle derivate parziali che in alcuni casi può essere risolta utilizzando il metodo della separazione delle variabili. Nei casi più fortunati si separa in tre
equazioni differenziali alle derivate totali ciascuna delle quali può a volte essere ricondotta alle seguenti classi di equazioni differenziali.
Equazione di Bessel:
¡
¢
x2 y 00 + xy 0 + x2 − n2 y = 0
n≥0
Equazione di Bessel modificata:
¡
¢
x2 y 00 + xy 0 − x2 − n2 y = 0
n≥0
Equazione per le funzioni Ber, Bei, Ker, Kei:
¡
¢
x2 y 00 + xy 0 − ix2 + n2 y = 0
Equazione di Legendre:
¡
¢
1 − x2 y 00 − 2xy 0 + n (n + 1) y = 0
Equazione di Legendre associata:
½
¡
¢ 00
2
0
1 − x y − 2xy + n (n + 1) −
Equazione di Hermite:
y 00 − 2xy 0 + 2ny = 0
9
m2
1 − x2
¾
y=0
Equazione di Laguerre:
xy 00 + (1 − x) y 0 + ny = 0
Equazione di Laguerre associata:
xy 00 + (m + 1 − x) y 0 + (n − m) y = 0
Equazione di Čebišev:
¡
¢
1 − x2 y 00 − xy 0 + n2 y = 0
Equazione ipergeometrica:
x (1 − x) y 00 + [c − (a + b − 1) x] y 0 − aby = 0
Tutte le equazioni precedenti si possono scrivere nella forma:
y 00 +
τ (x) 0
σ̃ (x)
y + 2
y=0
σ (x)
σ (x)
(1.1)
avendo definito:
τ (x) = ax + b
σ (x) = αx2 + βx + γ
σ̃ (x) = α̃x2 + β̃x + γ̃
L’equazione (1.1) detta equazione generalizzata di tipo ipergeometrico.
Ad esempio se:
τ =1−x
σ=x
σ̃ = nx
(a = −1 b = 1
)
(α = 0 β = 1 γ = 0)
(α̃ = 0 β̃ = n γ̃ = 0)
Allora la (1.1) diventa l’equazione di Laguerre.
10
Capitolo 2
Soluzione dell’equazione
ipergeometrica generalizzata
Per la risoluzione della (1.1) introdurremo una classe di trasformazioni del
tipo y = ϕ(x)u(x) che ci permetterà di passare dalla (1.1) ad un’altra equazione
dello stesso tipo, ma più semplice.
Lo studio di queste equazioni sarà sviluppato nel seguente ordine:
1. cercheremo una soluzione di tipo polinomiale;
2. verificheremo le proprietà di chiusura e ortogonalità di questa
famiglia di polinomi, rispetto ad un’opportuna funzione peso.
Cosı̀ come precedentemente detto effettuiamo la trasformazione:
y = ϕ (x) u(x)
y 0 = ϕ 0 u + u0 ϕ
y 00 = ϕ00 u + 2ϕ0 u0 + ϕu00
per cui dopo facili manipolazioni algebriche la (1.1) diventa:
µ 0
¶
¶
µ 00
ϕ
τ
ϕ0 τ
σ̃
ϕ
0
00
u + 2 +
+
+ 2 u=0
u +
ϕ
σ
ϕ
ϕσ
σ
(2.1)
Quindi, imponiamo che il coefficiente della derivata prima di u sia espresso
nella forma di rapporto fra due polinomi di cui quello al numeratore non sia
di grado superiore al primo e quello al denominatore al secondo:
2
τ̃
ϕ0 τ
+ =
ϕ
σ
σ
11
con
τ̃ = ãx + b̃
allora:
dove abbiamo definito:
ϕ0
π
=
ϕ
σ
(2.2)
´
1 ³∼
τ −τ
π=
2
π = Ax + B
(2.3)
∼
τ³ e´ π sono ovviamente di grado non superiore al primo.
I polinomi
00
Valutiamo ora ϕϕ :
µ 0 ¶2
µ 0 ¶0
ϕ00
ϕ
ϕ
=
−
ϕ
ϕ
ϕ
quindi:
ϕ00
=
ϕ
µ
ϕ0
ϕ
¶0
µ
+
ϕ0
ϕ
¶2
=
³ π ´0
σ
+
³ π ´2
σ
L’equazione (2.1) diventa:
u00 +
τ̃ 0
σ̄
u + 2u = 0
σ
σ
(2.4)
in cui:
σ̄ = σ̃ + π 2 + π [τ − σ 0 ] + π 0 σ
≡ ᾱx2 + β̄x + γ̄
Pertanto la (2.4) è dello stesso tipo della (1.1). Cosı̀ abbiamo trovato la classe
di trasformazioni che lascia invariato il tipo di equazione ipergeometrica generalizzata. Queste sono le trasformazioni del tipo y = ϕ (x) u (x) dove la ϕ
è definita dalla relazione (2.2) qualunque sia il polinomio π. L’arbitrarietà su
π ci permette di rendere più semplice la forma dell’equazione (2.4). Infatti
possiamo determinare i coefficienti di π in modo tale che valga la relazione
seguente:
σ̄ = λσ
(2.5)
con λ = cost.
Tutto ciò è possibile perchè utilizzando il principio d’identità dei polinomi
otteniamo tre equazioni in tre incognite: la costante λ ed i due coefficienti
del polinomio π. Pertanto l’equazione (2.4) diventa:
σ (x) u00 + τ̃ (x) u0 + λu = 0
12
(2.6)
Questa equazione è detta equazione ipergeometrica. Per determinare il polinomio π e la costante λ utilizziamo la relazione (2.5) ottenendo con facili
manipolazioni algebriche:
π 2 + (τ − σ 0 ) π + σ̃ − kσ = 0
(2.7)
dove abbiamo definito:
k = λ − π0
con k = cost.
Risolvendo l’equazione (2.7), rispetto a π abbiamo:
sµ
¶2
σ0 − τ
σ0 − τ
π=
±
− σ̃ + kσ
2
2
(2.8)
Poichè π è un polinomio di primo grado, il discriminante del polinomio di
secondo grado sotto radice deve essere nullo. Questa condizione ci porta
ad un’equazione, in generale, di secondo grado in k. Trovato k è possibile
determinare π dalla (2.8) e utilizzando rispettivamente le relazioni (2.2) e
0
(2.3) ricavare i polinomi ϕ e τ̃ . Infine dalla relazione k = λ − π possiamo
ottenere la costante λ. Va osservato che l’annullarsi del discriminante del
radicando nella (2.8) non determina univocamente la costante k trattandosi,
in generale, di un’equazione di secondo grado. In particolare vedremo che
in alcuni problemi di interesse fisico come la determinazione della soluzione
di un’equazione agli autovalori in meccanica quantistica, (vedi risoluzione
dell’atomo di idrogeno e/o dell’oscillatore armonico), è possibile eliminare
l’ambiguità su k imponendo che le soluzioni dell’equazione ipergeometrica
generalizzata appartengano allo spazio L2 , cioè siano a quadrato sommabile.
Casi particolari:
1
- Se σ ammette radici multiple, σ = (x − x̃)2 , allora, posto s = x−x̃
ci si riconduce all’equazione ipergeometrica generalizzata per la quale
σ (s) > s
¡ ¢2
- Se σ = 1 e τ2 − σ̃ è un polinomio di I◦ grado allora occorre porre
π = − τ2 e l’equazione (2.4) diventa:
u00 + (ax + b) u = 0
A questo punto occorre trattare il problema della risoluzione dell’equazione
ipergeometrica (2.6). Innanzitutto dimostriamo che le derivate di ordine
13
qualsiasi della u sono ancora soluzioni di un’equazione del tipo (2.6).
Posto v1 = u0 , si ha derivando la (2.6):
σ 0 u00 + σu000 + τ̃ 0 u0 + τ̃ u00 + λu0 = 0
σ 0 v10 + σv100 + τ̃ 0 v1 + τ̃ v10 + λv1 = 0
σv100 + τ̃1 v10 + µ1 v1 = 0
(2.9)
(2.10)
(2.11)
c.v.d.
Ricordando la definizione di σ e di τ̃ si può facilmente verificare che
τ̃1 = σ 0 + τ̃
è un polinomio al più di primo grado e
µ1 = λ + τ̃ 0
è una costante.
Derivando ancora la (2.11) si ha:
σ 0 v100 + σv1000 + τ̃10 v10 + τ̃1 v100 + µ1 v10 = 0
σv200 + τ̃2 v20 + µ2 v2 = 0
v2 = v10 ≡ u00
in cui:
τ̃2 = σ 0 + τ̃1 = σ 0 + σ 0 + τ̃ = τ̃ + 2σ 0
µ2 = µ1 + τ̃10 = λ + τ̃ 0 + σ 00 + τ̃ 0 = λ + σ 00 + 2τ̃ 0
Analogamente si può iterare il procedimento e vedere che la derivata ennesima
della u è una funzione ipergeometrica:
00
∼
0
σvn + τn vn + µn vn = 0
In particolare per induzione si può dimostrare che, all’ordine n:
τ̃n = τ̃ + nσ 0
µn = λ + nτ̃ 0 +
∼
n (n − 1) 00
σ
2
dove τn è al più un polinomio di primo grado e µn è una costante.
Cerchiamo ora le soluzioni della (2.6) nel caso in cui µn = 0.
Si ha:
n (n − 1) 00
λ ≡ λn = −nτ̃ 0 −
σ
2
14
(2.12)
In tal caso la soluzione della (2.6) è:
vn = cost
u = un
dove un è un polinomio di grado n.
Per determinare il polinomio un introduciamo la funzione integranda ρ.
Moltiplicando la (2.6) per ρ e l’equazione (2.12) per ρn si ha:
0
(σρu0 ) + λρu = 0
0
(σρn vn0 ) + µn ρn vn = 0
(2.14)
(σρ)0 = τ̃ ρ
(2.15)
se
e
(2.13)
(σρn )0 = τ̃n ρn
L’equazione (2.15) determina ρ.
Ricordando l’espressione di τ̃n si ha:
(σρn )0 = τ̃ ρn + nσ 0 ρn
Dividendo per ρn e ricavando τ̃ dalla (2.15)si ha:
(σρn )0
(σρ)0
= τ̃ + nσ 0 =
+ nσ 0
ρn
ρ
ρ0n
ρ0
σ0
= +n
ρn
ρ
σ
(2.16)
Integrando membro a membro la (2.16) si può facilmente vedere che una
soluzione particolare è del tipo:
ρn = σ n ρ
n = 0, 1, 2, . . .
inoltre:
ρn+1 = σ n+1 ρ = σσ n ρ = σρn
da cui sostituendo nella (2.14) la relazione precedente abbiamo:
ρn vn = −
1
1
1
0
0
(σρn vn0 ) = − (ρn+1 vn0 ) = − (ρn+1 vn+1 )0
µn
µn
µn
15
(2.17)
Ricordiamo che per definizione è:
vn+1 ≡ vn0
Partendo dalla relazione (2.17) per un generico m < n possiamo iterare il
procedimento (n-m) volte ottenendo:
·µ
¶
¸0
1
1
1
0
0
ρm vm = −
(ρm+1 vm+1 ) = −
−
(ρm+2 vm+2 ) =
µm
µm
µm+1
µ
¶µ
¶
1
1
Am d(n−m)
= −
−
(ρm+2 vm+2 )00 =
(ρn vn )
µm
µm+1
An dx(n−m)
dove:
n
An = (−)
n−1
Y
µk
(A0 = 1)
k=0
Nell’ipotesi fatta u = un polinomio:
dn
u= vn = cost
dxn
Per verificarlo basta porre m=n nella precedente equazione.
In definitiva:
·
¸
dm
Amn Bn d(n−m)
v m = m un =
ρn
dx
ρm
dx(n−m)
(2.18)
Amn = Am (λ) |λ=λn
Bn =
1 dn
un
Ann dxn
In particolare per m=0, ricordando che v0 ≡ u , sostituendo nella (2.18) si
ha:
·
¸
Bn dn
n
u = un =
(σ ρ)
n = 0, 1, . . .
(2.19)
ρ dxn
n (n − 1) 00
σ
n = 0, 1, . . .
(2.20)
2
La (2.19) è detta formula di Rodriguez.
Con la formula di Rodriguez abbiamo determinato una famiglia di soluzioni
particolari dell’equazione ipergeometrica in forma polinomiale; resta, ora, da
determinare la funzione integranda ρ che abbiamo introdotto per ricavare le
(2.14) e (2.15). Ricordando che:
λn = −nτ̃ 0 −
(σρ)0 = τ̃ ρ
16
si ha:
σ 0 ρ + σρ0 = τ̃ ρ
σρ0
= τ̃ − σ 0
ρ
µ 0¶
0
τ̃ − σ 0
ãx + b̃ − (αx2 + βx + γ)
ρ
=
=
ρ
σ
αx2 + βx + γ
³
´
(ã
−
2α)
x
+
b̃
−
β
0
ρ
=
ρ
αx2 + βx + γ
avendo sfruttato il fatto che τ̃ è un polinomio di primo grado e σ di secondo.
Sono possibili 3 casi:
1) α 6= 0 β 6= 0 γ 6= 0
2) α = 0 β 6= 0 γ 6= 0
(β = 1)
3) α = 0 β = 0 γ 6= 0
(γ = 1)
Nel primo caso:
0
ρ
=
ρ
³
´
(ã − 2α) x + b̃ − β
αx2 + βx + γ
Il denominatore si può riscrivere come:
−α · (B − x) (−A + x)
ρ0
Cx + D
=
ρ
(B − x) (x − A)
⇒ ρ = (B − x)p (x − A)q
µ
¶
p + q = −C
pA + qB = D
Nel secondo caso:
³
(p, q cost)
´
ãx + b̃ − β
ρ0
=
ρ
βx + γ
ρ0
Cx + D
=
ρ
x−A
⇒ ρ = (x − A)p eqx
(p, q cost)
17
µ
Nel terzo caso:
p − Aq = D
q=C
¶
ρ0
ãx + b̃
=
= Cx + D
ρ
γ
2 +qx
⇒ ρ = epx
µ
p = C2
q=D
¶
(p, q cost)
Per un cambiamento lineare della variabile indipendente, σ e ρ possono essere
messe nelle forme canoniche seguenti:
ρ (x) = (1 − x)p (1 + x)q
ρ (x) = xp e−x
2
ρ (x) = e−x
σ = 1 − x2
σ=x
σ=1
(2.21)
(2.22)
(2.23)
Inoltre:
τ̃ = − (p + q + 2) x + q − p
τ̃ = −x + p + 1
τ̃ = −2x
(2.24)
(2.25)
(2.26)
Questo cambiamento lascia invariata la forma delle espressioni (1.1) e (2.6)
e conseguentemente anche la soluzione data dalla relazione di Rodriguez.
Quindi poichè è sempre possibile trovare una trasformazione che ci permette
di passare alle forme canoniche (2.21),(2.22),(2.23) dedicheremo la nostra
attenzione ai suddetti tre casi.
Nel primo caso si ha:
σ = 1 − x2
τ̃ = − (p + q + r) x + q − p
L’equazione differenziale per n è:
¡
¢
1 − x2 u00n − [(p + q + 2) x + p − q] u0n + λn = 0
Questa equazione è nota con il nome di equazione di Jacobi.
Le soluzioni sono i polinomi di Jacobi e sono dati da:
u(p,q)
=
n
n £
¤
(−)n
−p
−q d
(1
−
x)
(1
+
x)
(1 − x)n+p (1 + x)n+q
n
n
2 n!
dx
18
dove
(−)n
2n n!
Se p = q = 0 l’equazione di Jacobi diventa l’equazione di Legendre:
¡
¢
1 − x2 u00n − 2xu0n + λn un = 0
Bn =
Ricordando la definizione di λn data precedentemente, è possibile far vedere
che il coefficiente del termine di grado zero nell’equazione di Legendre è
uguale ad n (n + 1), infatti:
n (n − 1) 00
σ
2
n (n − 1)
= −n (−2) −
(−2)
2
= 2n + n2 − n
= n2 + n = n (n + 1)
c.v.d.
λn = −nτ̃ 0 −
Se p = q = − 21 l’equazione di Jacobi diventa l’equazione di Čebišev:
¡
¢
1 − x2 u00n − xu0n + λn un = 0
con λn che assume il valore:
λn
=
−n (−1) −
λn
=
=
n + n2 − n
n2
c.v.d.
n (n − 1)
(−2)
2
Nel secondo caso l’equazione differenziale è:
xu00n + (p + 1 − x) u0n + λn un = 0
ed è denominata equazione di Laguerre.
Per p = 0λn assume il valore.
n (n − 1) 00
σ
2
= −n (−1) = n
λn = −nτ̃ 0 −
Tenuto conto dei coefficienti:
Bn =
19
1
n!
Le soluzioni dell’equazione di Laguerre sono:
Lαn
1 x dn ¡ n −x ¢
=
e
x e
n!
dxn
e sono denominate Polinomi di Laguerre.
Nell’ultimo caso si ha:
u00n − 2xu0n + λn un = 0
Tale relazione rappresenta l’equazione di Hermite; in essa:
λn = −n (−2) = 2n
e tenuto conto dei coefficienti:
Bn = (−)n
si ottengono i noti Polinomi di Hermite.
2
Hn = (−)n ex
20
dn −x2
e
dxn
Capitolo 3
Proprietà dei polinomi
ipergeometrici
3.1
Ortogonalità dei Polinomi Ipergeometrici.
Il sistema delle potenze {xn } costituisce un sistema completo in L2 (A) con
A ⊂ R. Pertanto ogni funzione f (x) può essere rappresentata mediante una
serie di potenze. Il sistema delle potenze non costituisce una base ortogonale
in L2 (A), ma a partire da esso è possibile costruire un sistema completo di
funzioni ortogonali rispetto a qualsiasi funzione peso p(x). Si otterranno cosı̀
delle famiglie di polinomi ortogonali. Nel nostro caso i polinomi sono quelli
classici e utilizzeremo come funzione peso la ρ (x).
Teorema 1 Se la funzione ρ (x) verifica la condizione:
£
σ (x) ρ (x) xk
¤b
a
=0
k∈N
allora i polinomi ipergeometrici un corrispondenti a diversi valori λn saranno
ortogonali sull’intervallo ]a, b[ rispetto al peso ρ (x) , cioè:
Z b
un um ρ dx = 0
λn 6= λm
a
Dimostrazione.
I polinomi un e um verificano le equazioni:
0
(σρu0n ) + λn ρun = 0
0
(σρu0m ) + λm ρum = 0
21
Moltiplicando la prima equazione per um , seconda per un e facendo la
differenza tra la prima equazione e la seconda si ha:
0
0
um (σρu0n ) + λn um ρun − un (σρu0n ) − λm un ρum = 0
Considerato che i termini derivati corrispondono a:
d
{σ ρ w}
dx
in cui:
¯
¯ u v
w = ¯¯ 0 0
u v
¯
¯
¯
¯
il wronskiano, si ha
Z
b
(λm − λn )
a
un um ρdx = σρw |ba
Poichè w è un polinomio in x per l’ipotesi si ha:
Z b
un um ρdx = 0
(λm − λn )
a
Pertanto, essendo λm 6= λn , si ha:
Z b
un um ρdx = 0
a
Nello studiare questi polinomi si dà generalmente una condizione supplementare, in particolare chiediamo che questi polinomi verifichino le seguenti
condizioni:
ρ (x) > 0
σ (x) > 0
su ]a, b[
Applicando tale condizione ai polinomi canonici, si ha:
- Polinomi di Jacobi
σ>0
⇒ 1 − x2 > 0
−1<x<1
ρ > 0 ⇒ ovvio
Inoltre affichè
£
σρ
¤+1
xt −1
½
=0
⇒
22
α > −1
β > −1
- Polinomi di Laguerre:
σ>0
£
⇒
x>0
ρ > 0 ⇒ ovvio
¤∞
σρ xt 0 = 0 ⇒ α > −1
- Polinomi di Hermite
σ>0
x∈R
Riassumendo:
un
]a, b[
ρ
σ
τ̃
λn
Bn
] − 1, 1[
(1 − z)α (1 + z)β
1 − z2
−(α + β + 2)x + β − αβ
n(n + α + β + 1)
(−n)n
2n n!
Lα
n
R+
z α e−t
z
−z + α + 1
n
1
n!
Hn
R
e−z
1
−2z
−2n
(−)n
(α,β)
Pn
2
23
3.2
Derivate di Polinomi Ipergeometrici
I risultati ottenuti permettono di ricavare certe proprietà sulle derivate dei
dm
polinomi di tipo ipergeometrico. Le derivate dx
m yn (x) sono dei polinomi di
tipo ipergeometrico di grado (n-m) e verificano, quindi un’equazione di tipo
ipergeometrico. Partendo dalla relazione (2.17) che definisce ρm vm possiamo
esprimere vm . Ricordando la definizione dei coefficienti Amn si ha:
ρm vm = Amn Bn [ρn ](n−m)
dm
u
ρm = σ m ρ
dxn
dm
Amn Bn dn−m n
u
=
[σ ρ]
dxm
σ m ρ dxn−m
⇒ vm =
Amn = (−)m
m−1
Y
µk (λn )
k=0
k (k − 1) 00
µk (λn ) = λn + kτ̃ 0 +
σ
2
µ
¶
n + k − s 00
0
= − (n − k) τ̃ +
σ
2
µ
¶
m−1
Y
n + k − 1 00
m
m
0
(n − k) τ̃ +
Amn = (−) (−)
σ
2
k=0
µ
¶
m−1
Y
n!
n + k − 1 00
0
=
τ̃ +
σ
(n − m)! k=0
2
24
3.3
Sviluppo di un Polinomio Qn (x) qualsiasi
in termini di Polinomi Ortogonali {Pn}.
Mostriamo che:
Ogni polinomio Qn di grado n si può scrivere come combinazione lineare di
polinomi ortogonali Pk , con k=0,1, . . .
Dimostrazione : Per n=0 la proposizione è immediata. Infatti si ha:
Q0 = αP0
Pertanto, applicando il principio di induzione, dimostreremo che:
Qn =
n
X
Ckn Pk
k=0
Supponiamo che:
Qn−1 =
n−1
X
Ck,n−1 Pk
k=0
. Scegliamo la costante C nn nella definizione di Qn in modo che il polinomio:
Qn − Cnn Pn sia di grado (n − 1) cioè:
Qn − Cnn Pn = Qn−1
Poichè per ipotesi Qn−1 è sviluppabile in termini di polinomi classici, si ha
la tesi:
n−1
X
Ck,n−1 Pk
Qn = Cnn Pn + Qn−1 = Cnn Pn +
k=0
Qn ≡
n
X
Ck,n Pk
k=0
E’ possibile determinare i coefficienti Ck,n dalla relazione precedente utilizzando la proprietà di ortogonalità:
Z b
Pn Pm ρ dx = 0
n=
6 m
a
si ha:
Z
b
Qn Pm ρ dx
a
25
=
n
X
Z
Ckn
Pk Pm ρ dx
a
k=0
=
n
X
b
Z
b
Pk2 ρ dx = Cmn d2m
Ckn δkm
a
k=0
Cmn
1
= 2
dm
in cui:
Z
Qn Pm ρ dx
a
Z
d2m
b
b
=
a
Pm2 ρ dx
Si ha inoltre che
Z
b
Pn xm ρ dx = 0
se m < n
a
Infatti xm è un polinomio di grado m
xm =
m
X
Ckm Pk
k=0
Quindi:
Z
m
X
k=0
b
Pn xm ρ dx =
a
Z
b
Ckm
Pn Pk ρ dx
ma k ≤ m < n
a
e per l’ortogonalità dei polinomi classici, rispetto al peso ρ , sull’intervallo
(a, b) si ha la tesi.
26
3.4
Proprietà delle Radici di {Pn}.
Tutti gli xj : Pn (xj ) = 0 sono semplici, sono n e sono contenuti in ]a, b[.
Dimostrazione Supponiamo che in ]a, b[ , Pn cambi k volte segno. E’
evidente che 0 ≤ k ≤ n Definiamo qk nel seguente modo:
½
1
se k = 0
qk = Qk
j=1 {(x − xj )}
con xj : Pn (xj ) = 0
E’ chiaro che Pn (x) = qk Qn−k in cui Qn−k polinomio di grado n-k che non
ha zero su ]a, b[. Si ha:
Z
Z
b
b
Pn qk ρ dx =
a
Essendo q
2
k
a
qk2 Qn−k ρ dx 6= 0
Qn−k ρ una funzione a segno definito. Inoltre se k < n :
Z
b
Pn qk ρ dx = 0
a
essendo qk polinomio di grado k, per cui deve essere k=n.
27
3.5
Relazioni di Ricorrenza
Spesso nei problemi di interesse fisico è necessario calcolare delle quantità
definite da relazioni tra i polinomi classici, in special modo nel calcolo dei
valori di aspettazione di osservabili in meccanica quantistica. A tal fine
risulta utile, nello sviluppo del calcolo, utilizzare la seguente relazione di
ricorrenza.
x Pn = αn Pn+1 + βn Pn + γn Pn−1
E’ evidente che xPn = Qn+1 , per cui:
xPn =
n+1
X
Ck,n Pk
k=0
con
1
= 2
dk
Ck,n
Z
b
Pk x Pn ρ dx
a
In quest’ultima formula Pk x è un polinomio di grado k+1; ciò implica che:
Ck,n = 0 ∀ k :
k+1<n
(per il teorema precedente su xm )
Quindi saranno diversi da zero i coefficienti:
Cn−1, n ;
Cn, n ;
Cn+1,
n
cioè:
xPn = Cn+1,
n
Pn+1 + Cn, n Pn + Cn−1,
n
Pn−1
Indichiamo, in particolare
Cn+1,n = αn
Cn,n = βn
Cn−1,n = γn
Per determinare i coefficienti {C} , scriviamo:
Pn = an xn + bn xn−1 + . . . . . .
Ora è evidente che
Ck, n d2k = Cn, k d2n
quindi:
28
(an 6= 0)
Cn, n−1 d2n = Cn−1, n d2n−1
αn−1 d2n = γn d2n−1
d2
γn = αn−1 2 n
dn−1
Si ottiene da Pn = an xn + bn xn−1 + . . .
an = αn an+1
bn = αn bn+1 + βn an
avendo uguagliato i coefficienti di ugual grado nell’espressione di xPn .
In definitiva:
an
a
µn+1
¶
bn+1 − an 1
=
bn −
an+1
an
2
an−1 dn
=
·
an d2n−1
αn =
βn
γn
Nelle applicazioni è spesso importante conoscere le costanti an tali che si
abbia il più piccolo scarto quadratico medio da una funzione arbitraria f (x).
Sia data la quantità:
Z b"
mN =
f (x) −
a
N
X
#2
an Pn
ρ dx
n=0
dove Pn sono dei polinomi ortogonali nell’intervallo ]a, b[ rispetto al peso
ρ (x) ≥ 0 ela funzione f (x) verifica la condizione:
Z
b
f 2 (x) ρ dx < +∞
a
Per le proprietà di ortogonalità degli Pn , si ha:
Z
b
mN =
a
f 2 ρ dx +
N
X
(an − Cn )2 d2n −
n=0
N
X
n=0
29
Cn2 d2n
in cui:
Z
d2n
b
=
a
1
d2n
Cn =
Z
Pn2 ρ dx
b
f Pn ρ dx
a
Si noti che mN ha un minimo per an = Cn , cioè
Z
b
∆N = min mN =
2
f ρ dx −
a
N
X
Cn2 d2n
n=0
La successione:
{∆N }N ∈N
è monotona, non crescente e limitata inferiormente (∆N ≥ 0). Esiste dunque
il limite seguente:
lim ∆N = A
N
Se A6= 0
allora:
Z
b
2
f ρ dx ≥
a
∞
X
Cn2 d2n
n=0
rappresenta la disuguaglianza di Bessel.
Se A=0 allora:
Z
b
2
f ρdx =
a
∞
X
Cn2 d2n
n=0
nota come eguaglianza di Parseval.
Sotto le seguenti condizioni:
1) f continua in ]a, b[
2) f derivabile, con derivata continua in ]a, b[
3)
Z
b
f 2 ρ dx < +∞
a
4)
Z bµ
.
a
df
dx
¶2
30
σρdx < +∞
Allora una funzione arbitraria f (x) è sviluppabile in serie nella forma:
f (x) =
∞
X
Cn Pn
n=0
e la serie {Pn } è uniformemente convergente ∀x ∈ [x1, x2 ] ⊂ ]a, b[. Pertanto
il sistema di polinomi classici {Pn }n∈N è completo e chiuso su ]a, b[.
31
3.6
Polinomi Ortogonali e
Meccanica Quantistica
In Meccanica Quantistica l’uso di questo formalismo rende agevole la risoluzione
di problemi di notevole interesse fisico.
Risolvendo le equazioni ipergeometriche:
σu00 + τ̃ u0 + λu = 0
si ottengono i polinomi classici di grado n per:
λ = λn = −nτ̃ 0 −
n (n − 1) 00
σ
2
√
Le soluzioni trovate moltiplicate per ρ sono le uniche che su ]a, b[ sono
quadrato sommabili, cioè:
Z b
Pn2 ρ dx ≡ d2n < +∞
a
Dimostriamo ora che affinché ciò valga si deve avere
τ̃ 0 < 0
A tale scopo consideriamo la formula di Rodriguez e calcoliamo il polinomio
di grado 1, P1 :
B1 d (σρ)
P1 =
= B1 τ̃
ρ
dx
L’ultima uguaglianza segue dalle (2.17. Calcoliamo la norma quadra di P1 :
Z b
Z b
B1 d (σρ)
2
2
d1 =
P1 ρ dx =
ρ P1
dx
ρ dx
a
a
½
¶
¾
Z bµ
d
b
= B1 [P1 ρ σ]a −
P1 σ ρ dx
dx
a
Z b
= −B1
(B1 τ̃ 0 ) σ ρ dx
a
Z b
2 0
σ ρ dx
= −B1 τ̃
a
Poichè su ]a, b[ σ, e ρ sono maggiori di zero si ha:
Z b
ρ σdx > 0
a
32
e quindi affinché d21 > 0 si deve avere
τ̃ 0 < 0
Poichè:
τ̃ = τ + 2π
π deve essere tale da produrre un τ̃ a derivata negativa su ]a, b[. Inoltre,
poichè τ̃ = BP11 , deve aversi che
∃x ∈ ]a, b[ :
τ̃ (x) = 0
essendo P1 polinomio di primo grado. In definitiva k e π devono essere tali
che:
τ̃ (x∗ ) = 0 ∃ x∗ su ]a, b[
τ̃ 0 (x) < 0 su
]a, b[
Teorema 1 Supponiamo che u sia soluzione dell’equazione ipergeometrica
σu00 + τ̃ u0 + λu = 0
(3.1)
d
(σρ) = τ̃ ρ, sia limitata e non
e che la funzione ρ, soluzione dell’equazione dx
negativa su ]a, b[.
Sotto tali ipotesi, l’equazione (3.1) ammette soluzioni non banali (u = 0),
√
tali che u ρ siano limitate e quadrato sommabili su ]a, b[, se non per
λ = λn =
−n(n − 1) 00
σ − nτ̃ 0
2
e tali soluzioni sono i polinomi ortogonali classici.
Dimostrazione:
E’ ovvio che per λ = λn i polinomi ortogonali classici sono soluzioni non
banali.
Supponiamo invece che per certi valori di λ ∃ r(x, λ) che non è un polinomio
classico non banale.
Si deve avere per la (2.15):
d
(σρr0 ) + λρr = 0
dx
e inoltre poiché un è soluzione:
d
(σρu0n ) + λn ρun = 0
dx
33
Moltiplicando la prima per un e la seconda per r e integrando su x1 e x2 con
(a < x1 < x2 < b), si ha
Z b
(λ − λn )
r(x, λ)un (x)ρ(x)dx + [σρW (un , r)]xx21 = 0
a
se λ 6= λn 0
lim [σρW ] = c1
x→a
lim[σρW ] = c2
x→b
Vogliamo dimostrare che il termine integrato è nullo e quindi dalla completezza del sistema di polinomi ortogonali, dedurre che r(x, λ) = 0 per λ 6= λn .
Prima di tutto è immediato verificare che
Z b
r(x, λ)un (x)ρ(x) dx < +∞ .
a
Infatti per la diseguaglianza di Cauchy:
¯Z
¯
¯
¯
x2
x1
¯ ·Z
¯
r(x, λ)un (x)ρ(x) dx¯¯ ≤
Z
x2
2
x2
r (x, λ)ρ(x) dx ·
x1
x1
u2n (x)ρ(x) dx
e poiché gli integrali al secondo membro convergono si ha la tesi.
Se λ = λn c1 = c2 = c, poiché in tal caso
σρW = cost.
Dimostriamo che se λ 6= λn , c2 = 0
·
¸
W [un , r]
d r(x, λ)
=
dx
un
u2n
Integrando si ha:
·
r(x, λ) = un
r(x0 , λ)
+
un (x0 )
Z
x
x0
Sia x0 < b. Valutiamo r(x, λ) quando x → b.
Si possono avere tre casi:
1) σ ∼ (b − x)(x − a)
b finito
34
¸
W [un , r]
ds .
u2n
¸ 12
2) σ ∼ x
b = +∞
3) σ = 1
b = +∞
Primo caso ρ(x) ∼ (b − x)α
Il termine da integrare è
α ≥ 0.
W [un , r]
c2
1
∼
∼
2
2
un
σρun
(b − s)α/2
Quindi
√


ρ r(x, λ) ∼
1
α
(b−s) 2
α>0

ln(b − s)
√
che implica la non limitatezza di ρ r(x, λ)
ρ ∼ xα eβx
Per x → +∞
un ∼ x n
Z x
x0
Allora
il che implica che
sα+2n+1 e βs
√
√
ds
α=0
⇒
(α ≥ 0 β < 0)
∼
1
xα+2n+1 e βx
α
(β < 0)
β
ρ r(x, λ) ∼ x−( 2 +2n+1) e− 2 x
ρ r non è di quadrato sommabile.
2
Secondo caso ρ ∼ eαx +βx
α>0
Per x → +∞
un ∼ xn e quindi
Z x
ds
1
.
2 +βs ∼
2n
αx
2n+1
x
eαx2 +βx
x0 s e
Quindi
√
ρr∼
1
x+2n+1 e αx2 +βx
(α < 0)
che non è sommabile.
Allo stesso modo si può dimostrare che c1 = 0 e quindi
Z b
r(x, λ)Wn ρ dx = 0 ∀n
a
35
Poiché {un } formano un sistema completo segue che:
r(x, λ) = 0
Se λ = λn , W = 0 e quindi r e un sono linearmente indipendenti e ciò è in
contraddizione con l’ipotesi.
Conclusione
L’equazione agli autovalori
−~ 2
∇ Ψ + U Ψ = EΨ
2m
(3.2)
conduce ad una equazione del tipo
y 00 +
Introdotta ρ̃ tale che
τ 0
σ̃
y + 2y = 0
σ
σ
(3.3)
d
σ̃
(σ ρ̃y 0 ) + ρ̃y = 0
dx
σ
d
con dx
(σ ρ̃) = (τ ρ̃)
l’equazione (3.2) pone il problema: cercare i valori
√ di E per i quali l’equazione (3.3) ammette soluzioni non banali, ovvero ρ̃y limitata a quadrato
sommabile su ]a, b[ .
36
Parte II
APPLICAZIONI
37
Capitolo 4
Oscillatore Armonico
Ci proponiamo di trovare gli autovalori dell’operatore hamiltoniano e le autofunzioni per l’oscillatore armonico lineare in meccanica quantistica, o equivalentemente per una particella in un campo di potenziale unidimensionale
della forma:
1
U = mω 2 x2
2
Il problema dell’oscillatore armonico ha un ruolo fondamentale per moltissimi
problemi che vanno dallo stato solido alla teoria quantistica dei campi in
particolare nell’elettrodinamica quantistica. L’equazione di Schrödinger per
la funzione Ψ (x) dell’oscillatore armonico si scrive nel seguente modo:
µ
¶
mω 2 2
~2 d2
−
Ψ+
x −E Ψ = 0
2m dx2
2
µ
¶
2mE m2 ω 2 2
d2
Ψ+
−
x Ψ = 0
dx2
~2
~2
se
A=
2mE
~2
B2 =
m2 ω 2
~2
l’equazione diventa:
¢
¡
d2
2 2
Ψ=0
Ψ
+
A
−
B
x
dx2
Allora in base alle definizioni date per i coefficienti in forma generale nella
equazione ipergeometrica generalizzata possiamo fare le seguenti associazioni:
σ̃ = A − B 2 x2
σ = 1
τ = 0
39
sµ
¶
σ −τ
σ0 − τ
π =
±
− σ̃ + kσ
2
2
√
√
π = ± −A + B 2 x2 + k = ± B 2 x2 + k − A
0
Affinchè π sia un polinomio di I◦ grado imponiamo che il discriminante del
radicando sia nullo, cioè:
∆(B 2 x2 + k − A) = −4(k − A)B 2 x2 = 0
e quindi si deve avere
k=A
Per questa scelta si ha che:
π = ±Bx
Cosı́ come chiarito nel paragrafo 3.6, l’ambiguità sulla scelta delle soluzioni
per π sarà risolta imponendo che τ̃ = τ + 2π abbia derivata negativa. Nel
nostro caso:
τ̃ = 2π
Quindi affinchè sia verificata la condizione suddetta dobbiamo scegliere
π = −Bx. Per questa soluzione ricaviamo che
τ̃ = −2Bx
e ricaviamo ϕ
Dalla relazione
ϕ0
π
= = −Bx
ϕ
σ
ϕ = e−
⇒
Bx2
2
ρ0
τ̃ − σ 0
=
= −2Bx
ρ
σ
ricaviamo ρ:
2
ρ = e−Bx
Determiniamo λ e poi gli autovalori En del nostro problema; dalla relazione:
k = λ − π0 = λ + B = A
ricaviamo quindi:
λ=A−B
40
Imponendo la condizione che le soluzioni siano polinomiali troviamo lo spettro dell’energia dell’oscillatore armonico:
λ = λn = −nτ̃ 0 −
n(n − 1) 00
σ = +2nB
2
⇒ A − B = 2nB
¶
µ
1
.
A = 2B n +
2
Ricordando l’espressione di A e B segue:
µ
¶
2mE
1
mω
n−
= 2
~2
~
2
¶
µ
1
E = En = ~ω n +
2
⇒
A questo punto possiamo scrivere la soluzione:
Ψn (x) = Cn ρ (x) yn
(4.1)
dove yn (x) sono ricavati dalla formula di Rodriguez che in questo caso si
scrive
n ¡
¢
2 d
−Bxn
yn = Bn eBx
e
= Hn
dx2
Questi sono i polinomi di Hermite e le soluzioni dell’equazione dell’oscillatore
armonico si scrivono:
B 2
Ψn = ϕn (x) Cn e− 2 x Hn
41
Capitolo 5
Potenziale di Pöschl-Teller
Cerchiamo gli autovalori e le autofunzioni per l’equazione di Schrödinger
unidimensionale.
~2
−
Ψ + U (x) Ψ = EΨ
2m
che descrive il moto di una particella in un potenziale del tipo:
U (x) = −
U0
cosh2 ax
dove
U0 > 0
Cerchiamo delle soluzioni che corrispondono a stati legati, quindi, a valori
di E< 0. Riscriviamo l’equazione nel seguente modo:
¸
·
~2 d2
U0
−
+E Ψ=0
Ψ−
2m dx2
cosh2 (ax)
cioè:
·
¸
2m
U0
2mE
Ψ +
+ 2 Ψ=0
~2 cosh2 (ax)
~
00
Poniamo:
2mE
~2
che è maggiore di zero visto che cerchiamo soluzioni per E < 0
B02 = −
A20 =
Possiamo scrivere la (5.1) come:
·
00
Ψ + A20
2mU0
~2
¸
1
2
− B0 Ψ = 0
cosh ax
42
(5.1)
Introduciamo la seguente trasformazione s = tanh(ax) per poter ridurre
l’equazione (5.1) ad un’equazione del tipo studiato, cioè:
σs00 + τ s0 +
σ̃
s=0
σ
(5.2)
Innanzitutto ricaviamo cosh ax in termini di s
cosh ax = ¡
1
1 − tanh2 x
¢ 12 =
1
1
(1 − s2 ) 2
2
d
d
Mentre dx
e dx
2 in termini della nuova variabile possono essere scritte utilizzando il seguente artificio:
¡
¢ d
d
d
ds d
a
=
=
= a 1 − s2
2
dx
dx ds
ds
cosh ax ds
·
¸
¡
¢
d2
d d
ds d
2 d
=
·
=
a 1−s
=
dx2
dx dx
dx ds
ds
·
¸
¡
¢
¡
¢
2
2 d
2 d
= a 1−s
1−s
=
ds
ds
¡
¢ d
¡
¢2 d2
= −2a2 s 1 − s2
+ 1 − s2 a2 2
ds
ds
Sostituendo nell’equazione (5.1) con facili manipolazioni si può ottenere la
seguente espressione:
¡
¢ d2
¡
¢ dΨ £ 2 ¡
¢
¤
a2 1 − s2
Ψ − 2sa2 1 − s2
+ A0 1 − s2 − B02 Ψ = 0
2
ds
ds
Dividendo per a2 (1 − s2 ) , si ha:
·
¸
d2 Ψ
2s dΨ
−B02 − A20 (1 − s2 )
−
+
Ψ=0
ds2
(1 − s2 ) ds
(1 − s2 )2 a2
Introduciamo A e B definite tramite A
A2 =
0
eB
0
nel seguente modo:
2mU0
A20
= 2 2
2
a
~a
B02
2mE
=− 2 2
2
a
~a
Allora abbiamo la seguente equazione:
·
¸
d2 Ψ
2s dΨ
−B 2 + A2 (1 − s2 )
−
+
Ψ=0
ds2
(1 − s2 ) ds
(1 − s2 )2
B2 =
43
ricordando il tipo generale dell’equazione (5.1) scritta sotto forma (5.2) facciamo le seguenti associazioni:
σ = 1 − s2
¡
¢
σ̃ = A2 1 − s2 − B 2
τ = −2s
cerchiamo una soluzione del tipo indicato dalla tecnica illustrata precedentemente:
Ψ = ϕ (s) u (s) .
(5.3)
Ricordiamo che per definire ϕ è necessario determinare:
sµ
¶2
0
σ −τ
σ0 − τ
− σ̃ + kσ
π=
±
2
2
σ0 − τ
−2s + 2s
=
=0
2
2
Quindi:
p
p
π = ± B 2 − A2 (1 − s2 ) + K (1 − s2 ) = (A2 − k) s2 + (K + B 2 − A2 )
dove k = λ − π 0 , con λ il coefficiente del termine di grado zero dell’equazione
ipergeometrica ottenuta dalla trasformazione (5.3). La condizione illustrata
nella trattazione generale impone che il Discriminante del radicando sia
nullo e quindi
¡
¢¡
¢
¡
¢
K + B 2 − A2 A2 − K = −K 2 + 2A2 − B 2 K − A4 + A2 B 2 = 0
questo dà una condizione su K:
√
−2A2 + B 2 ± 4A4 + B 4 − 4A2 B 2 − 4A4 + 4A2 B 2
K=
−2
che porta a:
K=
−2A2 + B 2 ± B 2
−2
quindi:
K1 = +A2
K2 = A2 − B 2
la scelta dei valori di K1,2 va fatta in modo che verifichi la condizione τ̃ 0 < 0
e τ̃ abbia almeno una radice nell’intervallo ]−1, 1[ dove σ (s) > 0. Si può
44
facilmente dimostrare che la seguente scelta di K e quindi di π verifica le
condizioni suddette. Allora ricordando che τ̃ = τ + 2π, tra
½
½
π1 = ±B
τ̃1 = −2s + 2π1
e
π2 = ±Bs
τ2 = −2s + π2
Sceglieremo:
τ̃ = −2 (1 − B) s
che corrisponde a π = −Bs e a K = A2 − B 2 Ricordando che k= λ − π 0
abbiamo:
λ = A2 − B 2 − B
(5.4)
Ora ci resta da determinare la funzione ϕ da sostituire nella Ψ = ϕ (s) u (s)
e determinare u (s) tramite la formula di Rodriguez dopo aver calcolato la
funzione integranda ρ; ϕ (s) è definita dalla relazione:
ϕ0 (s)
π
Bs
= =−
ϕ (s)
σ
1 − s2
quindi integrando a destra e a sinistra si ha che
¡
¢B
ϕ (s) = 1 − s2
Mentre la funzione integranda introdotta per esprimere l’equazione ipergeometrica generalizzata in forma autoaggiunta, è definita dalla seguente
relazione:
ρ0 (s)
τ̃ 0 − σ
−2 (1 + B) s + 2s
−2B
=
=
=
2
ρ (s)
σ
1−s
1 − s2
Quindi come fatto in precedenza integrando ambo i membri otteniamo l’espressione per ρ a meno di un fattore moltiplicativo che può sempre essere
inglobato nella costante che compare nella formula di Rodriguez:
¡
¢B
ρ = 1 − s2
A questo punto per calcolare gli autovalori dell’equazione di Schrödinger, per
la relazione di ricorrenza per λn e imponendo la condizione che la soluzione
sia sotto forma polinomiale, abbiamo che
λ = λn = −nτ̃ 0 −
n (n − 1) 2
n (n − 1) 00
σ = 2n (1 + B) +
2
2
= n + 2nB + n2
45
per la (5.4) abbiamo:
λ = −B 2 + A2 − B = n + 2nB + n
questo implica:
¡
¢
B 2 + (2n + 1) B − A2 − n − n2 = 0
da questa si ottiene:
1
B = Bn = −n − ±
2
r
1
+ n + A2 − n − n2 =
4
n2 +
1
−n − ±
2
r
A2 +
1
4
q
La scelta Bn = −n − 12 − A2 − 14 è esclusa dalla condizione Bn > 0 poichè
siamo interessati a stati legati. Inoltre la suddetta limitazione pone un limite
superiore ai valori di n, infatti:
r
1
1
Bn > 0
⇒
n < + A2 −
2
4
A questo punto ricordando che
B2 = −
2mE
~2 a 2
⇒
En = −
~2 a2 2
B
2m n
Esplicitiamo la parte u (s) della soluzione generale tramite la formula di
Rodriguez:
1 dn
u = un = Cn . n (σ n ρ) = Pn(B,B)
(5.5)
ρ ds
¢n+B i
¡
¢−B dn h¡
= Cn 1 − s2
. n 1 − s2
ds
(B,B)
dove Pn
sono i polinomi di Jacobi. La soluzione generale è
¢− B dn h¡
¡
¢n+B i
Ψ (s) = Cn 1 − s2 2 n 1 − s2
ds
Notiamo che i polinomi (5.5) sono i polinomi di Jacobi che nella tabella
(α,β)
sono generalmente indicati con Cn = (−1)n . 2n1n! e nella forma Pn (s), nel
nostro caso α = β = B e Cn la sceglieremo in modo tale che la Ψ (s) risulti
normalizzata.
46
Capitolo 6
Spettro dell’Operatore L2
Cerchiamo gli autovalori e gli autovettori dell’operatore L2 , che rappresenta
il quadrato del momento angolare, utilizzando le tecniche acquisite fino ad
ora. Consideriamo l’operatore scritto in coordinate polari:
µ
¶
·
¸
1 ∂
∂
1 ∂2
2
2
.
sin
+
L = −~
(6.1)
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin2 ϑ ∂ϕ2
Le funzioni Ψ = Ψ (ϑ, ϕ) , autofunzioni di L2 per rappresentare stati fisici,
devono rispettare le seguenti condizioni:
Ψ (ϑ, ϕ + 2π) = Ψ (ϑ, ϕ)
0≤ ϑ ≤π
|Ψ (ϑ, ϕ)| < M
∀
0 ≤ ϕ ≤ 2π
(6.2)
(6.3)
Quindi una generica autofunzione di L2 dovrà essere periodica e limitata in
ϕ e limitata in ϑ.
L’equazione agli autovalori per L2 si scrive:
L2 Ψ = υΨ
e l’espressione differenziale:
¾
½
µ
¶
∂
∂
1
∂2
1
2
·
sin ϑ
+
·
Ψ = υΨ
−~
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin2 ϑ ∂ϕ2
(6.4)
Cerchiamo una soluzione siffatta:
Ψ (ϑ, ϕ) = Θ (ϑ) · Φ (ϕ)
(6.5)
e in questo modo separiamo le variabili nell’equazione differenziale (6.4).
Sostituendo (6.5) nella (6.4) otteniamo:
³
´
dΘ(ϑ)
d
sin ϑ dϑ sin ϑ dϑ
υ
d2 Φ (ϕ) 1
+ 2 sin2 ϑ =
·
(6.6)
Θ (ϑ)
~
dϕ2
Φ
47
Poichè i due membri dipendono entrambi rispettivamente solo da ϑ e da
ϕ affinchè la (6.6) sia verificata il primo e il secondo membro devono essere
contemporaneamente uguali ad una costante che indichiamo con m2 .
Dobbiamo quindi risolvere il sistema:
µ
¶
d
dΘ (ϑ)
sin ϑ
sin
+ υ sin2 ϑΘ (ϑ) = m2
(6.7)
dϑ
dϑ
d2 Φ (ϕ)
+ m2 Φ = 0
(6.8)
dϕ2
La (6.8) è immediatamente integrabile e le sue soluzioni elementari sono:
Φ = e±imϕ
(6.9)
La condizione di periodicità impone che
e±2πim = 1
e quindi deve essere m = 0, ±1, ±2, . . ..
La parte dipendente da ϕ coincide con un’autofunzione dell’operatore lz che
è la componente z dell’operatore momento angolare. Si può vedere che ”m”
assume il significato di valore associato alla misura della componente z del
momento angolare.
Ora interessiamoci alle soluzioni dell’equazione (6.7); vedremo che tramite
una trasformazione del tipo x = cosϑ possiamo passare dall’equazione (6.7)
ad un’equazione di tipo ipergeometrico generalizzato.
Poniamo x = cos ϑ che dà la limitazione −1 ≤ x ≤ 1; allora:
d
dx d
d
=
·
= − sin ϑ
dϑ
dϑ dx
dx
mentre:
d2
d
d2
2
=
sin
ϑ
−
cos
ϑ
dϑ2
dx2
dx
sostituendo nella (6.7), che abbiamo riscritto sviluppando la derivata nel
seguente modo:
½
·
¸¾
d
d
υ
m2
+ cotgϑ
+ 2−
Θ=0
dϑ2
dϑ
~
sin2 ϑ
abbiamo che
½
¡
·
¸¾
¢ d2
d
d
υ
m2
1−x
−x −x + 2 −
Θ=0
dx2
dx
dx
~
1 − x2
2
48
cioè:
½
¡
·
¸¾
¢ d2
υ
d
m2
1−x
− 2x + 2 −
Θ=0
dx2
dx
~
1 − x2
2
(6.10)
questa è un’equazione di tipo ipergeometrico generalizzato dove ricordando
le definizioni standard date su una generica equazione differenziale del tipo:
τ 0
σ̃
u + 2u = 0
σ
σ
u00 +
vediamo che
σ = 1 − x2 ,
τ = −2x
¡
¢
σ̃ = µ 1 − x2 − m2
dove µ = ~υ2 .
A questo punto procediamo nel modo che abbiamo descritto nel caso generale:
sia
Θ = u (x) y (x)
ricordiamo che
µ
π=
σ0 − τ
2
sµ
¶
±
σ0 − τ
2
¶2
− σ̃ + kσ
utilizzando le posizioni fatte precedentemente si ha, che
π=
−2x + 2x p 2
± m − µ (1 − x2 ) + k (1 − x2 )
2
p
π = ± m2 − µ (1 − x2 ) + k (1 − x2 )
affinchè il radicando abbia radici multiple è facile verificare che
¡
¢
k − µ + m2 (µ − k) = 0
⇒
½
k1 =
+µ
k2 = + (µ − m2 )
In corrispondenza di k1 abbiamo
π1,2 = ±m
mentre per k2 = (µ − m2 ) , si ha:
π3,4 = ±mx
49
Partendo dalla definizione di τ̃ = τ + 2π, si può ricavare facilmente
τ̃1
τ̃2
τ̃3
τ̃4
=
=
=
=
2 (m − x)
−2 (m + x)
−2x (1 − m)
−2x (m + 1)
La scelta di τ̃ è legata alle condizioni:
½ 0
τ̃ < 0
τ̃ = 0
Nell0 intervallo ]−1, 1[
In realtà nè τ̃3 nè τ̃4 singolarmente rispondono alle condizioni suddette tuttavia possiamo scrivere il polinomio τ̃3,4 nella seguente forma compatta
τ̃ = −2x (1 + |m|)
abbracciando ogni valore di m ∈ Z.
Ora calcoliamo gli autovalori υ ricordando la posizione µ = ~υ2 .
Innanzitutto
λ = k − π 0 = µ − |m|2 + |m| = µ − |m| (|m| + 1)
(6.11)
La condizione di soluzione polinomiale è:
λ + nτ̃ 0 +
n (n − 1) σ 00
=0
2
⇒
n (n − 1) σ 00
= 2n (1 + |m|) + n (n − 1)
2
ma ricordando la (6.11) si ha:
λ = −nτ̃ 0 −
µ − |m| (|m| + 1) = 2n (1 + |m|) + n (n − 1)
µ = |m| (|m| + 1) + 2n (1 + |m|) + n (n − 1)
= |m| (|m| + 1) + 2n (1 + |m|) + n2 − n = (|m| + n) (|m| + n + 1)
Ponendo
l = n + |m|
(6.12)
υ
µ = 2 = l (l + 1)
⇒
υ = ~2 l (l + 1)
~
Dalla (6.10) discende che l è definito posivito e |m| ≤ l.
Si noti che fissato l l’autovalore m può assumere tutti i valori interi compresi
50
tra −m e +m.
A questo punto utilizzando la relazione di Rodriguez, i polinomi soluzione
dell’equazione ipergeometrica associata sono quelli di Legendre.
yn (x) =
i
¢
Bnm
dn h¡
2 n+m
·
1
−
x
m
(1 − x2 )
dxn
¡
¢ m (m,m)
Θlm = Clm 1 − x2 2 Pl−m (x)
dove:
(m,m)
Pl−m (x) =
¢n+m
Bnm
d2 ¡
.
1 − x2
m
2
2
(1 − x ) dx
51
Capitolo 7
Particella in un Campo
Magnetico
Utilizziamo la tecnica, mostrata precedentemente, nella risoluzione del problema di una particella in un campo magnetico omogeneo costante. Nella
teoria classica la funzione di Hamilton di una particella carica in un campo
magnetico ha la forma:
e ~ ´2
1 ³
p~ − A
H=
2m
c
~ è il potenziale vettore del campo, p~ è la quantità di moto generalizzata
dove A
della particella. Se la particella non ha spin, il passaggio alla meccanica quantistica avviene sostituendo la quantità di moto generalizzata con l’operatore
~p̂ = −i~5
~ e si ottiene l’hamiltoniano:
1 ³~ e ~ ´2
Ĥ =
p̂ − A
2m
c
Se invece la particella è dotata di spin, tale operazione è insufficiente. La
espressione esatta dell’hamiltoniano si ottiene introducendo il termine sup~ 0 corrispondente all’energia del momento magnetico ~µ nel
plementare ~µ · H
~ 0 . In tal modo l’hamiltoniano della particella con spin ha la forma:
campo H
1 ³~ e ~ ´2
~0
p̂ − A − ~µ · H
Ĥ =
2m
c
Dopo questa breve introduzione al problema generale analizziamo il caso di
~ 0 = ẑH0 , in
un campo magnetico costante diretto lungo la direzione ẑ, H
questo caso l’hamiltoniana assume la forma:
1 ³~ e ~ ´2
p̂ − A − µz H0
Ĥ =
2m
c
52
E’ opportuno a questo punto scegliere la forma del potenziale vettore che
essendo definito a meno del gradiente di una funzione arbitraria può essere
preso nel seguente modo:
~ ≡ (−H0 y, 0, 0)
A
taleche
~ ∧ A
~=H
~0
5
allora l’hamiltoniana diviene:
Ĥ =
¢ eH0
1 ¡ 2
e2
H0 y 2 − µz H0
px + p2y + p2z +
pxy +
2m
mc
2mc2
Sostituendo alle variabili classiche i corrispondenti operatori quantistici si ha:
Ĥ = −
~2 2 i ~ e H 0 ∂
e2 H02 2
5 −
y
+
y − µz H 0 .
2m
mc
∂x 2mc2
Poichè l’operatore Ĥ commuta con p̂x , p̂z e µz cioè:
[H, px ] = [H, pz ] = [H, µz ] = 0
possiamo scrivere l’equazione di Schrödinger nella seguente forma:
"µ
#
¶2
1
e H0
µ
2
2
p̂x +
y + p̂y + p̂z Ψ − ηH0 Ψ = EΨ
2m
c
s
(7.1)
dove µs è il rapporto tra il momento magnetico intrinseco e lo spin della
particella e η è l’autovalore dell’operatore µ̂. Poichè p̂x e p̂z commutano con
l’operatore hamiltoniano, cioè le componenti px e pz della quantità di moto
si conservano, si può scegliere come soluzione della (7.1)
i
Ψ = e ~ (px x+pz z) χ (y)
Si può vedere che dopo facili manipolazioni si passa dalla (7.1) alla seguente
espressione χ (y) :
·µ
¶
¸
2m
µη
p2z
m 2
2
00
χ (y) + 2
E+
H0 −
− ωH (y − y0 ) χ = 0
~
s
2m
2
in cui:
ωH ≡
e H0
mc
y0 = −
l’equazione per χ è del tipo:
u00 +
τ̂ 0
σ̂
u + 2u = 0
σ
σ
53
cpx
e H0
dove:
u =χ
π =0
σ =1
·µ
¶
¸
¢
µη
2m
p2z
m 2 ¡
2
E+
σ̃ = 2
H0 −
− ωH y − y0 ≡
~
s
2m
2
≡ A − B (y − y0 )2
³
´
2
p2z
µη
2
dove A = 2m
E
+
H
−
e B=m
0
~2
s
2m
~2 ωH .
Operando la trasformazione per passare ad una equazione ipergeometrica
χ = ϕp abbiamo l’equazione per p del tipo:
p00 + λp = 0
calcoliamo λ :
σ0 − τ
π=
±
2
sµ
σ 0 − τ̃
2
¶
− σ̃ + kσ
facendo le associazioni su definite abbiamo:
q
π = ± −A + B (y − y0 )2 + k
L’unico valore di k per cui π è polinomio di primo grado è:
k=A
e quindi
√
π = ± (y − y0 ) B
Ricordando le condizioni affinchè le soluzioni siano a quadrato sommabili,
nel nostro caso:
√
τ̃ = 2π = ±2 (y0 − y) B
dobbiamo scegliere π tale che τ̃ 0 <√0 e si annulli nell’intervallo ]−∞, +∞[ .
Si vede che scelta
√ π = − (y − y0 ) B risponde alle nostre richieste, quindi
τ̃ = 2 (y0 − y) B A questo punto determiniamo ρ dalla relazione:
τ − σ0
ρ0
=
ρ
σ
che nel nostro caso diventa:
√
ρ0
= τ̃ = 2 (y0 − y) B
ρ
54
⇒
ρ = e−(y−y0 )
2
√
B
mentre la funzione ϕ è definita dalla relazione:
√
π
ϕ0
ϕ0
=
⇒
= − (y − y0 ) B
ϕ
σ
ϕ
⇒ ϕ = e−
la soluzione è quindi:
χ = Bn e−
(y−y0 )2 √
B
2
(y−y0 )2 √
B
2
dove
⇒
· Hn
dn −(y−y0 )2 √B
e
dxn
Calcoliamo gli autovalori. Ricordiamo innanzitutto che la condizione di
trovare soluzioni sotto forma di polinomi impone che
Hn = Cn e(y−y0 )
2
√
B·
λ = λn = −nτ̃ 0 −
Nel nostro caso:
n (n − 1) 00
σ
2
(7.2)
√
τ̃ = 2π = −2 (y − y0 ) B
quindi
√
τ̃ 0 = −2 B
sostituendo nella (7.2)
√
λ = λn = +2n B
essendo
λ = k + π0 = A −
√
B
abbiamo:
A−
√
√
B =2n B
⇒
A = (2n + 1)
√
µ
¶
1
B =2 B n+
2
√
Sostituendo l’espressione per A abbiamo:
µ
¶
µ
¶
2m
µη
p2z
mωH
1
E+
H0 −
=2
n+
⇒
~2
s
2m
~
2
µ
¶
µη
1
p2
H0
(7.3)
⇒E = n+
~ωH + z −
2
2m
s
Il primo termine di questa espressione dà valori discreti dell’energia corrispondenti al moto nel piano perpendicolare al campo, questi valori sono
e~
e quindi la formula
detti livelli di Landau. Per l’elettrone si ha µρ = − mc
eH0
(7.3) ricordando che ωH = mc diventa:
¶
µ
p2
1
E = n + + η ~ωH + z
2
2m
55
Parte III
APPENDICE
56
I Punti Fuchsiani
Finora nel trattare equazioni differenziali lineari ed omogenee del tipo
u00 + p(x)u0 + q(x)u = 0
(4)
abbiamo studiato le soluzioni nei punti regolari dell’equazione in cui erano contemporaneamente regolari i coefficienti p(x) e q(x). Precisamente un
punto x = x0 è regolare se esistono il lim p(x) e il lim q(x). Tuttavia i
x→x0
x→xo
coefficienti q(x) e p(x) possono presentare delle singolarità che sono classificate in punti fuchsiani o regolari e punti non fuchsiani o irregolari. Un punto
singolare x = x0 è di tipo fuchsiano se esistono le due quantità
a0 = lim (x − x0 ) · p(x)
x→x0
b0 = lim (x − x0 )2 · q(x)
x→x0
In questo caso la soluzione può essere cercata nella forma
α
u = (x − x0 ) ·
∞
X
½
n
cn (x − x0 )
n=0
Se p(x) e q(x) sono della forma
P
an (x − x0 )n
p(x) =
(x − x0 )
α = parametro
c 6=
0
P
,
q (x) =
bn (x − x0 )n
(x − x0 )2
Sostituendo nella (4) possiamo determinare una relazione di ricorrenza per
l’espressione esplicita dei coefficienti cn :
[α (α − 1) + αa0 + b0 ] c0 = 0
[(α + n) (α + n − 1) + (α + n) a0 + b0 ] cn +
+
n−1
X
[(α + m) an−m + bn−m ] cm = 0 ∀n > 0
(5)
m=0
La condizione c0 6= 0 dà:
α (α − 1) + αa0 + b0 = 0
(6)
Precisamente da α1 e α2 soluzioni dell’equazione (6), dette equazione determinante o indiciale relativa al punto fuchsiano x = x0 si possono determinare
tutti i coefficienti cn dalla (5) in funzione di c0 e ottenere cosı̀ due soluzioni
indipendenti della (4)
αi
ui = (x − x0 )
∞
X
n
c(i)
n · (x − x0 )
(7)
n=0
Nel caso in cui risulti α1 − α2 ∈ Z detto α1 = max {α1 , α2 } esiste una
soluzione del tipo (7) e precisamente
u1 = (x − x0 )α1
∞
X
cn (x − x0 )n
n=0
Mentre l’altra soluzione ha la forma
α2
u2 = pu1 ln (x − x0 ) + (x − x0 )
∞
X
dn (x − x0 )n
n=0
Il comportamento delle soluzioni nell’intorno di x = ∞ può essere studiato
effettuando la sostituzione x = z1 e verificando il comportamento per z = 0.
In questa situazione si può trovare una soluzione generale nella forma
u=
∞
X
cn x−n
n=0
Il punto x = ∞ è fuchsiano se sono definite
q0 = lim x2 q(x)
p0 = lim xp(x) ,
x→∞
x→∞
Risolvendo l’equazione determinante per α, abbiamo due soluzioni indipendenti del tipo
∞
X
−n
−αi
c(i)
ui = x
n x
n=0
Se α1 − α2 ∈ Z allora le soluzioni sono
u1 = x
−α1
∞
X
cn x−n
n=0
u2 = au1 ln x + x
−α2
∞
X
dn x−n
n=0
Per quanto riguarda i punti singolari di tipo non fuchsiano non esiste un
metodo per studiare il comportamento nel loro intorno.
58
Bibliografia
1 Smirnov, Corso di Matematica Superiore, vol. 3 Parte II, Ed. Riuniti
2 Nikiforv, Funzioni speciali della fisica matematica, Ed. MIR
3 Whittaker Watson, A course a modern analysis, Cambridge Uni Press,
1952.
4 Landau Lifsits, Meccanica quantistica non relativistica, Ed. Riuniti.
5 Abramowitz Stegun, Handbook of mathematic functions, Dover Paris,
inc. 1965.
59