Capitolo 9 – Equazioni algebriche e riducibilità

Capitolo 9 – Equazioni algebriche e riducibilità
1. In un polinomio Pn(x) di grado n su un insieme I, il coefficiente direttore è il coefficiente del
termine di grado massimo.
2. Un polinomio di grado n su un insieme I è riducibile in I se si può scomporre in almeno due
fattori di grado maggiore o uguale a 1 e minore di n.
3. Eguagliando a zero un polinomio di grado n su un insieme I si ottiene una equazione algebrica
nell’insieme I: Pn(x) = 0.
Se Pn(α ) = 0, α è una radice dell’equazione e uno zero del polinomio, e nella scomposizione del
polinomio Pn(x) compare il fattore x − α.
4. La radice α è di molteplicità k (1 ≤ k ≤ n) se nella scomposizione del polinomio Pn(x) compare
il fattore (x − α)k.
5. Quando l’insieme I coincide con
, si dimostra che:
• se Pn(α ) = 0 e α è un numero intero, allora α è un divisore del termine noto.
p
• se Pn(α ) = 0 e α è un numero razionale , allora p è un divisore del termine noto e q un
q
divisore del coefficiente direttore.
6. Si può introdurre un nuovo insieme di numeri, indicato con C, detto insieme dei numeri
complessi, se si definisce l’unità immaginaria i ponendo i = + −1 .
7. Il teorema fondamentale dell’algebra afferma che ogni equazione di grado n in C ha n
soluzioni, ciascuna contata con la sua molteplicità.
8. Un’equazione è detta irrazionale se presenta l’incognita almeno in un radicando.
Per risolvere un’equazione irrazionale occorre discutere i radicandi delle radici di indice pari, il
segno dei due membri dell’equazione e poi elevare a potenza.
© 2011 RCS Libri S.p.A., Matematica Controluce, ETAS