Costruzioni Geometriche

Capitolo Secondo
Costruzioni Geometriche
2.1. La “costruzione euclidea”
La letteratura in merito alle costruzioni geometriche è generosa e gli apporti, sia nel tempo che nello spazio, ci
vengono da vicino e da lontano. Nelle attività con riga, squadra e compasso sono dati certi oggetti geometrici
e a partire da questi se ne vogliono costruire altri, rispettando la geometria del piano. Si tratta quindi di
un’attività razionale, che necessita di creatività, ma anche di rigore in quanto occorre tenere presenti delle
“regole del gioco”.
Euclide scrisse procedimenti di costruzione nel suo celebre libro “Elementi”. La sua autorità influı̀ sui
matematici in modo tale che essi considerarono a lungo come legittimi solo i procedimenti da lui usati,
formulando il concetto di “costruzione euclidea”. Euclide adoperava solo la riga e il compasso. Suppose che
non soltanto il segmento ma anche una retta si può disegnare con la riga e che si può tracciare un cerchio di
raggio grande a piacere. Indicò precisamente per quali operazioni servirsi della riga e del compasso.
La costruzione euclidea permette le seguenti operazioni:
a) condurre con la riga la retta passante per due punti,
b) misurare la distanza fra due punti con il compasso,
c) tracciare una circonferenza dati il centro e il raggio,
d) determinare il punto di intersezione di due rette,
e) determinare i punti di intersezione di una retta e di una circonferenza,
f) determinare i punti di intersezione di due circonferenze.
Una costruzione geometrica è un obiettivo che si raggiunge spesso attraverso più strade e che consiste in
un procedimento che non è meccanico nel quale alcuni aspetti teorici sono messi in luce in modo brillante.
V. Scorsipa 18
Senza la pretesa di sostituire costruzioni più astratte, ragionamenti deduttivi o problemi più analitici, le
costruzioni geometriche conservano senz’altro una forte valenza formativa. In quel che segue, naturalmente
si dànno per acquisite alcune semplici costruzioni e nozioni geometriche di base, quali:
1. saper riportare un segmento congruente ad un segmento dato su una semiretta assegnata;
2. saper riportare un angolo congruente ad uno dato in un’altra posizione del piano avendo scelto come
vertice e come uno dei suoi lati rispettivamente l’origine di un semiretta e la semiretta stessa;
3. saper effettuare graficamente la somma e la differenza di due segmenti e di due angoli;
4. saper costruire l’asse di un segmento e la bisettrice di un angolo;
5. saper costruire la perpendicolare e la parallela per un punto ad una retta;
6. conoscere la disuguaglianza triangolare;
7. riconoscere la proprietà metrica comune a tutti punti di una circonferenza e dei punti di una retta
parallela ad un’altra;
8. conoscere le proprietà affini del parallelogramma;
9. saper dividere un segmento in parti uguali servendosi della costruzione del piccolo teorema di Talete.
Costruzioni Geometriche 19
2.2. Costruzioni
In generale, per ideare e ottenere una corretta sequenza delle attività con riga e compasso di una costruzione
conviene suppore di partire dalla medesima come se fosse stata già ottenuta e, poi, in una sorta di processo
all’indietro, individuare gli elementi o le proprietà che la caratterizzano. Il metodo consiste dunque nel
passare dalla figura “montata” alla figura “smontata” e in questo senso ricorda l’equivalente del top-down
nell’informatica. È fondamentale, inoltre, il richiamo dei luoghi geometrici, come l’asse del segmento, la
bisettrice di un angolo, . . . Un punto geometrico necessario per realizzare una data costruzione può, per
esempio, essere individuato dall’intersezione di due luoghi geometrici.
Concentriamo, ora, l’attenzione su alcuni esempi.
Esempio 1
Costruire un triangolo ABC conoscendo il lato AB , la mediana CM relativa e un angolo adiacente ad
esso, per esempio quello relativo al vertice A .
C
D
A
fig. 2.1
M
B
Le due soluzioni nel triangolo ottusangolo
in C.
Se l’angolo in C del triangolo ABC è rispettivamente ottuso o no si hanno rispettivamente due soluzioni
(la seconda in fig.2.1. è individuata dal punto D ) o una soltanto.
In particolare, se il triangolo è rettangolo con ipotenusa AB , è noto che la mediana è pari alla metà
dell’ipotenusa e che il triangolo è inscritto in una semicirconferenza.
La costruzione è ottenuta disegnando dapprima il lato AB e individuandone il punto medio M . Il vertice C
dovrà appartenere ad una semicirconferenza di centro M e di raggio il segmento che rappresenta la mediana.
Dal vertice A si dovrà condurre la semiretta che forma l’angolo dato con la base AB , individuando in questo
modo il punto o i punti C. Durante il procedimento, dovrebbe colpire la necessità che i dati siano coerenti:
non si può realizzare la figura se l’angolo è tale che la semiretta non incontra la semicirconferenza. C’è
una relazione precisa che fissa le condizioni di costruibilità. A ben osservare, il caso limite è rappresentato
dalla condizione per la quale la semiretta condotta da A è tangente alla semicirconferenza nel punto C . In
quell’ipotesi il segmento di tangente AC , il semilato AM e la mediana CM devono rispettare la condizione
2
2
2
pitagorica: AM = AC + CM . Occorre dunque che l’angolo in A sia minore o uguale dell’angolo ottenuto
nel caso limite appena descritto.
Riassumendo i dati devono essere compatibili perché la costruzione sia possibile: costruito il triangolo rettangolo avente come ipotenusa la metà del lato e come cateto la mediana, l’angolo della costruzione deve
essere minore o uguale dell’angolo acuto opposto al cateto-mediana.
V. Scorsipa 20
Esempio 2
Costruire un triangolo rettangolo ABC conoscendo l’ipotenusa BC , e la somma dei cateti.
C
C’
A’ A
U
V
B
somma cateti
ipotenusa
fig. 2.2 Costruire un triangolo rettangolo note
l’ipotenusa e la somma dei cateti.
Il problema si può presentare in una forma accattivante, per esempio, immaginando che un fabbro debba
piegare un’asta di ferro in modo da ottenere un triangolo rettangolo avente una data ipotenusa. L’idea
della costruzione viene immaginando di “aprire” il triangolo ABC nel vertice C . L’ipotenusa e il cateto
AC ruoteranno, l’una in senso antiorario e l’altro in senso orario, fino a che, diventando adiacenti al cateto
AB , restituiranno l’intero segmento U V . Il triangolo U AC è evidentemente rettangolo e isoscele sulla base
U C e dunque l’angolo in U misura 45◦ . Questa scoperta è la chiave di volta per ottenere il procedimento
costruttivo, che allora consiste dei seguenti passi:
• si determina il punto B che divide il segmento U V nell’ipotesusa e nella somma dei cateti;
• si disegna la semicirconferenza di centro B e di raggio BV ;
• si conduce dal punto U la semiretta che forma un angolo di 45◦ con il segmento U V fino ad incontrare
la semicirconferenza nel punto C;
• si conduce dal punto C la perpendicolare al segmento U V , il piede della quale è il vertice A .
La costruzione non è sempre possibile. L’ipotenusa, a , deve essere minore della somma, s , dei cateti,
ma deve anche essere maggiore o uguale di
√s
2
√s
2
. In altri termini, l’ipotenusa deve soddisfare le limitazioni
≤ a ≤ s.
Un caso limite, infatti, è dato dal fatto che la semiretta uscente da U e inclinata di 45◦ è tangente alla
semicirconferenza e per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo isoscele si ha 2a2 = s2 , da
cui a =
√s
2
La simulazione grafica sulla carta, attraverso molti schizzi, assume con l’ipotesi del fabbro la suggestione e
l’impatto di un triangolo rettangolo reale fatto di ferro. Non è difficile individuare l’invariante del problema,
che, senza conoscere le misure dei cateti, è il punto focale per la costruzione del triangolo richiesto. Da qui
il passo per avanzare nella ricerca è breve: è possibile affrontare e risolvere il seguente problema simile al
precedente?
Esempio 3
Costruire un triangolo rettangolo ABC conoscendo l’ipotenusa BC e la differenza dei cateti.
L’esperienza condotta con la precedente costruzione può essere solo in parte ripresa. Al solito, s’immagini
che il triangolo ABC sia stato già realizzato. Soltanto la rappresentazione della differenza sulla figura induce
Costruzioni Geometriche 21
C
u
ten
ipo
D
sa
E
diff. cateti
45Γ
A
fig. 2.3
B
Costruire un triangolo rettangolo note
l’ipotenusa e la differenza dei cateti.
alla scoperta di una soluzione grafica vincente, perciò dovremo domandarci più volte: che cosa è la differenza
di due segmenti? La domanda non è per niente peregrina. Occorre accettare che la differenza dei cateti
è quel segmento che sottratto al cateto maggiore AC porta ad ottenere il minore AB e che, al contrario,
aggiunto al cateto minore fa avere il maggiore. La differenza di due segmenti diventa, in questo senso, come
un dinamico operatore della mente che trasforma segmenti disuguali in uguali. Il passo successivo consiste
nel far leva sul fatto che i segmenti AB e AD sono uguali. La soluzione è quasi a portata di mano, occorre
capire che si è in presenza di un triangolo ABD ovviamente isoscele, dunque con gli angoli alla base di
45◦ . La difficoltà nasce dal fatto che gli estremi dei nuovi cateti non sono, all’inizio, uniti dalla necessaria
ipotenusa.
In altre parole, i tre punti A , B e D devono essere organizzati dalla mente nella figura del triangolo, e
questo non è per nulla ovvio e immediato. Il parallelogramma CDBE è il mezzo con il quale “restituiamo
il maltolto” al cateto maggiore. Le operazioni necessarie per la costruzione si possono ricavare rivedendo
tutto quello che abbiamo osservato quasi a rovescio. Ora il triangolo non c’è: dobbiamo utilizzare solo i due
segmenti che rappresentano l’ipotenusa e la differenza dei cateti. Non sarà difficile organizzare la costruzione
secondo i seguenti passi:
1. si tracci una retta r orizzontale su cui si prende il punto B ;
2. si disegni un arco opportuno di centro B e di raggio l’ipotenusa data;
3. si tracci da B la semiretta s che forma un angolo di 45◦ rispetto alla retta r ;
4. si costruisca un segmento BE perpendicolare alla retta r e di lunghezza la differenza data;
5. si conduca dal punto E la retta parallela ad s fino ad intersecare l’arco nel punto C ;
6. la perpendicolare da C alla retta r interseca quest’ultima nel punto A e il triangolo ABC cosı̀ ottenuto
è quello richiesto dalla costruzione.
Per risolvere le tre costruzioni seguenti bisogna avere una definizione precisa di circonferenza inscritta in
una semicirconferenza. Una tale circonferenza deve essere tangente sia alla semicirconferenza sia al suo
diametro. Occorre richiamare, fra le altre nozioni, la notevole proprietà per la quale una retta tangente
ad una circonferenza è perpendicolare al raggio avente il punto di contatto come uno degli estremi. Le tre
V. Scorsipa 22
costruzioni sono possibili a patto che il raggio della circonferenza sia minore del raggio della semicirconferenza.
Esempio 4
Inscrivere una circonferenza in una semicirconferenza conoscendo il punto, C , di tangenza della stessa sulla
semicirconferenza.
C
M
A
T
O
B
V
fig. 2.4
La semicirconferenza di centro O e la circonferenza devono essere tangenti nel punto assegnato C , perciò in
C hanno la stessa tangente. Il centro M della circonfernza da costruire deve essere un punto che appartiene
al raggio OC . Il punto M del resto deve essere equidistante dalla tangente in C e dal diametro AB e
come tale deve appartenere alla bisettrice dell’angolo formato dalle rette anzidette.
Riassumendo la costruzione si effettua secondo i seguenti passi.
• Si traccia la tangente alla semicirconferenza passante per il punto C che, come è noto, è perpendicolare
al raggio OC .
• Si prolunga il diametro AB della circonferenza fino a intersecare la tangente nel punto V .
• La bisettrice dell’angolo OV C interseca il raggio OC nel punto M , centro della circonferenza.
Esempio 5
Inscrivere una circonferenza di raggio assegnato in una semicirconferenza.
M
O
A
O'
T
B
fig. 2.5
Siano r e R rispettivamente i raggi della circonferenza e della semicirconferenza. Il centro M della circonferenza appartiene a due luoghi geometrici: alla semicirconferenza di raggio R − r concentrica alla data
semicirconferenza e alla retta parallela al diametro AB distante r da esso, nel semipiano cui appartiene la
semicirconferenza.
Costruzioni Geometriche 23
In dettaglio allora:
• si costruisce una circonferenza di raggio r tangente al diametro della semicirconferenza AB ;
• si traccia la parallela al diametro AB che passa per il centro della circonferenza;
• si disegna la semicirconferenza di raggio R − r e centro O′ con gli estremi sul segmento AB e contenuta
nella semicirconferenza di raggio R ;
• il punto M di intersezione con la parallela ad AB è il centro della circonferenza cercata.
Esempio 6
Inscrivere una circonferenza in una semicirconferenza conoscendone il punto di tangenza sul diametro.
E
H
C
M
A
O
T
B
V
fig. 2.6
Si conducano le rette perpendicolari al diametro AB passanti per i punti O e T . Il centro, M , della circonferenza appartiene alla perpendicolare passante per T . Da E , intersezione della semicirconferenza con la
perpendicolare passante per O, si traccia una semiretta parallela ad AB fino ad intersecare in H la perpendicolare in T . Puntando il compasso in H si riporta la lunghezza del segmento EH sulla semicirconferenza,
trovando il punto C .
b è retto, perché i triangoli HEO e HCO sono congruenti per il terzo criterio di congrunenza.
L’angolo H CO
Dunque la retta HC è tangente alla semicirconferenza nel punto C . Ora, la perpendicolare a HC passante
per C è il raggio OC e interseca T H nel punto M , che è il centro della circonferenza cercata.
V. Scorsipa 24
ESERCIZI E COMPLEMENTI
2.1
Costruire un parallelogrammo avendo come dati i due differenti lati e una delle due altezze.
2.2
Dati il perimetro e due angoli interni di un triangolo, costruire il triangolo.
2.3
Costruire un parallelogrammo avendo come dati i due differenti lati e una diagonale.
2.4
Costruire un parallelogrammo avendo come dati le due diagonali e un angolo da esse definito.
2.5
Costruire un triangolo isoscele conoscendo il perimetro e l’angolo al vertice.
2.6
Costruire un triangolo conoscendo un lato e le altezze corrispondenti agli altri due.
2.7
Costruire un triangolo conoscendo un lato, l’altezza corrispondente e un’altra altezza.
2.8
Costruire un triangolo conoscendo le mediane.
2.9
Costruire un triangolo conoscendo due lati e la mediana corrispondente ad uno dei due lati.
2.10
Costruire un triangolo conoscendo due lati e la mediana corrispondente al terzo lato.
2.11
Costruire un triangolo isoscele noti l’altezza e la somma tra la base e un lato obliquo.
2.12
Determinare un punto che veda i tre lati di un triangolo sotto uno stesso angolo.
2.13
Dato un triangolo, determinare un punto che, congiunto con i tre vertici del triangolo, lo scomponga in tre
triangoli equivalenti.
2.14
Costruire la perpendicolare ad una retta data passante per un punto P.
2.15
Costruire la parallela ad una retta data passante per un punto P.
2.16
Costruire la bisettrice di un angolo dato.
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2.17
Costruire un segmento di misura pari al prodotto di due segmenti dati.
2.18
Costruire un segmento di misura pari alla radice quadrata di un segmento dato.
2.19
Dati una retta e due punti situati fuori da essa, trovare sulla retta un punto ugualmente distante dai due
punti dati.
2.20
Costruire un triangolo date le misure dei tre lati.
2.21
Costruire un triangolo di cui si conoscano il perimetro e gli angoli.
2.22
*Costruire un triangolo conoscendo le tre mediane.
2.23
Inscrivere in un cerchio un triangolo simile ad un triangolo dato.
2.24
Costruire un triangolo equivalente ad un quadrilatero dato.
2.25
Costruire un triangolo equivalente ad un poligono dato.
2.26
Costruire un triangolo di data base ed equivalente ad un triangolo dato.
2.27
Costruire un rettangolo di data base ed equivalente ad un triangolo dato.
V. Scorsipa 26
2.28
Costruire un quadrato equivalente ad un rettangolo dato.
2.29
Costruire un quadrato equivalente alla somma o alla differenza di due quadrati dati.
2.30
Da un punto esterno ad una circonferenza, condurre le due tangenti.
2.31
Costruire la circonferenza passante per tre punti dati non allineati .
2.32
Costruire la circonferenza tangente a tre rette date non tute e tre parallele fra loro.
2.33
Costruire una circonferenza passante per due punti dati e tangente ad una retta data.
2.34
Costruire un quadrato inscritto in un cerchio.
2.35
Costruire un triangolo equilatero inscritto in un cerchio.
2.36
Costruire un esagono regolare inscritto in un cerchio.
2.37
Costruire un pentagono regolare inscritto in un cerchio
2.38
Dato il lato, costruire l’esagono regolare.
2.39
Dato il lato, costruire l’ottagono regolare.
2.40
Dato il lato, costruire il pentagono regolare.