P{x < X =£ x + dx\y < Y < y + dy}

282
Capitolo 6
Leggi congiunte di variabili aleatorie
= P{x < X =£ x + dx\y < Y < y + dy}
In altri termini, per valori piccoli di dx e dy, fx\y(x\y}dx rappresenta la probabilità condizionata che ^appartenga all'intervallo (x, x + dx), dato che Y appartiene all'intervallo (y, y + dy).
Attraverso la densità condizionata possiamo definire la probabilità condizionata di
eventi associati a una variabile, quando è noto il valore di una seconda variabile. Cioè,
se X e Y sono variabili congiuntamente continue, allora per ogni sottoinsieme A della
retta reale,
P{XeA\Y
= y} =
ffXÌY(x\y)dX
JA
In particolare, ponendo A = (-00, a], possiamo definire la funzione di distribuzione
condizionata di X dato Y = y, ponendo
s a\Y = y} = !
fxly(x\y)dx
J-oo
II lettore noterà che, utilizzando le idee sopra enunciate, saremo in grado di ottenere delle espressioni trattabili per probabilità condizionate, nelle quali l'evento che
condiziona (ovvero {Y = y}) ha probabilità nulla.
Esempio Sa. Supponiamo che la densità congiunta di X e y sia data dalla funzione
.,
Jf x(2 ~ x - y)
(O
f i r v i = \ 'y)
0<*<l,0<y<l
altrimenti
Si calcoli la densità condizionata di X dato y = y, dove O < y < 1.
Soluzione Per 0 < j < l , 0 < y < l , abbiamo che
x(2-x-y)
fo x(2- x - y) dx
x(2-x-y)
l-y/2
4 - 3y
Esempio 5b. Supponiamo che la densità congiunta di X e Y sia data dalla funzione
{
-X/y -y
O < x < oo,0 < y < oo
y
O
altrimenti
6.5
Distribuzioni condizionate: il caso continuo
283
Si calcoli P{X > Ì\ = y}.
Soluzione Per iniziare calcoliamo la densità condizionata di X dato Y = y.
fx\y(x\y)
=
fy(y)
e-*/ye-y/y
Quindi
r°i
P{X > 1|Y = y} = \-
Esempio 5c. La distribuzione normale bivariata. Una delle più importanti distribuzioni congiunte è la normale bivariata: diciamo che le variabili aleatorie X, Y hanno
una distribuzione normale bivariata di costanti p,x, ^y, ax > O, ay > 0,-1 < p < 1, se la
loro distribuzione congiunta è data, per ogni -oo < x,y < oc, da
f(x,y) =
1
1-Kaxay^ / I _ p 2
ty-^y^
(
ay
)
CX P)
^f
.
( 2(1 -p 2 )
axay
"/*-^
1
Calcoliamo ora la densità condizionata di X dato Y = y. Nel fare ciò, raccoglieremo nelle successive formule tutti i termini che non dipendono da x e li rappresenteremo con la costante C,. La costante finale si ottiene ricordando che
f(*,y)
fy(y)
= C3exp\
L-P 2 )
6.1
Funzioni di distribuzione congiunte
= I
I
f(x,y)dydx
JA 7-oo
= ! fx(x)dx
JA
dove
fx(x)=
!
f(x,y)dy
7-00
è perciò la densità (marginale) della variabile aleatoria X.
In maniera analoga, la densità (marginale) di Y è data da
fy(y) = I f(*,y)dx
7-00
Esempio le.
La densità congiunta di X e Y è data da
~xe~2y
0<Jt<oo,0<y<oo
altrimenti
Si calcolino (a) P{X > l,Y < I}, (b) P{X < Y}, e (e) P{X < a}.
Soluzione
1
(a) P{X > l,Y < 1} = /
/>°=
/
Jo J\ 2<rM -e-
dy
'o
i
(b) P{X < Y} =
fi
oo
2e-xe~2ydxdy
ry
/ 2e-*eJo
oo
2e~2y(l -
/
OO
/
y»OO
2e~2ydy -
I
Jo
2e^ dy
253
254
Capitolo 6
Leggi congiunte di variabili aleatorie
r r° 2e~,
(e) P{X < a} = I I
Jo Jo
2ye-"dydx
= 1 - e~a
Esempio Id. Si consideri un cerchio di raggio R e supponiamo di scegliere a caso un
punto dentro il cerchio in modo tale che tutte le regioni di uguale area interne al
cerchio abbiano uguale probabilità di contenere il punto. (In altre parole, il
punto è uniformemente distribuito dentro il cerchio.) Se fissiamo il centro del
cerchio come l'origine di un sistema di assi cartesiani e X e Y rappresentano le
coordinate del punto scelto (Figura 6.1), segue che, essendo (X, Y) un punto
scelto a caso e in modo uniforme, la densità congiunta di A" e Y è data da
se*2 + y2 < R2
se* + y2 > R2
f(x,y) =
per un qualche e.
(a) Si determini la costante e.
(b) Si determinino le densità marginali di A' e Y.
(e) Si calcoli la probabilità che D, la distanza dall'origine del punto selezionato,
sia minore o uguale a a.
(d) Si trovi £[£>].
Soluzione
(a) Poiché
oo
/
«.o
f(x,y)dydx=l
X) J-CX
segue che
I
dydx = 1
Figura 6.1 Distribuzione congiunta.
6.1
Funzioni di distribuzione congiunte
255
Possiamo calcolare ffx2+ 2^R2 dy dx utilizzando la trasformazione a coordinate polari, o più semplicemente notando che essa rappresenta l'area del cerchio ed è quindi uguale a TrR2. Quindi
f(*,y)dy
2
< R2
ed è uguale a O quando x2 > R2. Per simmetria la densità marginale di Y è data da
2
(e) Per la funzione di distribuzione di D = V X 2 + Y2,la distanza dall'origine,
si ottiene quanto segue: per O s a £ R,
FD(a) = P{VX2 + Y2 < a}
= P{X2 + Y2 < a2}
f(X,y)dydx
ira
R2
dove abbiamo utilizzato il fatto che ffxt+ 2Sa2 dy dx è l'area del cerchio di raggio
a e quindi è pari a Tra2.
(d) Per il punto (e) otteniamo che la densità di D è
. . 2a
fD(a)=T2
V^a^R
256
Capitolo 6
Leggi congiunte di variabili aleatorie
Quindi
Esempio le.
La densità congiunta di X e Y è data da
_ \e~(x+y}
[O
0<^<oo,0<>'<oo
altrimenti
Si determini la densità della variabile X/Y.
Soluzione Iniziarne calcolando la funzione di distribuzione di X/Y. Per a > O,
'X_^
Y ~
II
x/y ^ a, _v > O, y > O
oo
/
pQy
JO
~L
a
-
—QV
e y
a +1
1
a + I
Differenziando otteniamo che la densità di X/Y è data da fx/y(a) ~ l/(a + 1)2>
O < a < oo.
•
Possiamo definire in maniera analoga al caso di due variabile, la distribuzione di
probabilità congiunta di n variabili aleatorie. Per esempio, la funzione di distribuzione
congiunta F(aì,a2,-.., «„) di n variabili aleatorie XY , X2, • . . , Xn si definisce
F(alta2t...,aa) = P{X^ s a(,X2 <= a2,...,Xn & an}
Inoltre, le n variabili aleatorie sono dette congiuntamente continue se esiste una funzione f(xi ,x2,..., xn), detta densità congiunta, tale che per ogni sottoinsieme C dello
spazio delle «-uple di numeri reali
P{(X,,X2,...,Xn)^C]
= II ••• j
f(Xl,,..,xn)dx,dx2-dxn
(j,,...,j:,r)eC
In particolare, per ogni famiglia di sottoinsiemi Av , A2, ... ,An della retta reale
226
Capitolo 5
Variabili aleatorie continue
P{errore|è stato inviato O} = P{N > 2.5}
« 0.041
Confrontando questi risultati con quelli dell'Esempio 4e, vediamo che le probabilità di errore sono maggiori quando il rumore è una variabile di Laplace con
A = 1 che una variabile normale standard.
•
5.5.1
Funzioni di rischio
Sia X una variabile aleatoria continua e positiva, che interpretiamo come il tempo di
vita di qualche oggetto, con funzione di distribuzione F e densità /. La funzione di
rischio (hazard rate ofailure rate in inglese) A(/) di Fé definita da
A(f) =
F =1- F
( '
F(t)
Per interpretare \(t), supponiamo che l'oggetto sia sopravvissuto per un tempo / e
cerchiamo la probabilità che esso non sopravviva più dì un tempo dt. Consideriamo cioè P{X e (t, t + dt)\X > t}. Ora
(t,t + dt),X
^
'
> t}
*
P{Xe(t,t + d t ) }
P{X > t}
F(t)
A,
dt
Quindi, \(t) rappresenta la probabilità condizionata che un oggetto ceda all'età t.
Supponiamo ora che la distribuzione del tempo di vita sìa esponenziale. Allora, per
l'assenza di memoria, si ha che la distribuzione del tempo di vita rimanente per un
oggetto di età t è la stessa di quella di un oggetto nuovo. Pertanto \(t) dovrebbe essere
costante. Ciò si può verificare con le formule in quanto
F(t)
= A
Di conseguenza la funzione di rischio di una variabile esponenziale è costante. Il parametro A è spesso chiamato il tasso della distribuzione.
La funzione di rischio determina univocamente la distribuzione F. Infatti, dalla
definizione si ha
A(I) =
T^W
5.5
Variabili aleatorie esponenziali
227
e integrando entrambi i membri si trova
log(l - F(t)) = - / *.(t}dt + k
Jo
o
(
f
1 - F(t) = ekexp<- I \(t)dt
( Jo
Sostituendo con t — O si trova k = O da cui
f
/*'
1
(5-4)
Pertanto la funzione di distribuzione di una variabile aleatoria continua e positiva
si può individuare assegnando la sua funzione di rischio. Ad esempio, se una variabile
aleatoria continua e positiva ha una funzione di rischio affine, cioè del tipo
\(t) = a + bt
allora la sua funzione di distribuzione è data da
F(t) = 1 - e-a'-bf'2
e derivando si ottiene la densità
f ( t ) = (a + bt)e~(at+b'2t2)
ts O
Nel caso a = O si tratta della densità di Rayleigh.
Esempio 5f. Si sente dire spesso che il tasso di mortalità tra i fumatori è, in ogni età, il
doppio di quello dei non fumatori. Cosa significa? Significa che un non fumatore
ha il doppio di possibilità di sopravvivere per un dato numero di anni rispetto a
un fumatore della stessa età?
Soluzione Se \f(t) è la funzione di rischio di un fumatore di età t e A n (f ) è quello di un non fumatore della stessa età, allora la nostra ipotesi equivale ad affermare che
A,(0 = 2Afl(0
La probabilità che un non fumatore di A anni sopravviva fino a B anni, A < B, è
P{un non fumatore di A anni raggiunge B anni}
- P[tempo di vita di un non fumatore > B \o di vita di un non fumatore > A]
rB
exp<{
I
f
./n
[A
-/
I
dalla (5.4)
ìn(t)dt\ Jo
)
i
228
Capitolo 5
f r*
Variabili aleatorie continue
1
= exp< - / A n (0 dt >
(. JA
)
mentre l'analoga probabilità per un fumatore è data, con lo stesso ragionamento, da
( t*
( JA
\ fumatore di A
)
= exp
=
exp
In altri termini, per due persone della stessa età, una delle quali è un fumatore e
l'altra no, la probabilità che il fumatore sopravviva per un dato lasso di tempo è
il quadrato (non la metà) della probabilità corrispondente per un non fumatore.
Ad esempio, se \(t) - ^, 50 < t < 60, allora la probabilità che un non fumatore di 50 anni raggiunga i 60 è e'1/3 « 0.7165, mentre la probabilità corrispondente per un fumatore è e~2//3 ~ 0.5134.
•
5.6
ALTRE DISTRIBUZIONI CONTINUE
5.6.1
La distribuzione Gamma
Si dice che una variabile aleatoria ha una distribuzione (o è di tipo) Gamma di parametri (a, A), A > O, e a > O se la sua densità è data da
x <O
O
dove F(a), è la funzione Gamma definita12 da
r
r» = / e-yy^ dy
Ja
Integrando per parti F(a) si ottiene, per a > 1,
F(a) = -e-yya^
o
o
/•°°
= («-!) /
7o
e-V"2^
= (a - l)r(a - 1)
12Si
osservi che l'integrale esiste finito se e solo se a > O [N.d. T.]
(6-1)