LE MATEMATICHE del ‘900:
La perdita della certezza
Filippo Spagnolo
La Matematica o le Matematiche?
Il Paradigma della Matematica fino a
Kant e per tutto l’800.
{ La riorganizzazione dei linguaggi
matematici e “Le Matematiche” (1°
momento di perdita della certezza).
Le correnti filosofiche del formalismo,
logicismo, intuizionismo e
costruttivismo.
{ 2° momento di perdita della certezza:
la deduzione, l’esistenza, la verità.
Tarski e Gödel.
{
Il paradigma della matematica sino alla
seconda metà dell’ottocento era
rappresentato dalla Geometria Euclidea.
Geometria
Euclidea
Geometria
come prima
rappresentazion
del mondo fisic
Geometria
Geometria
come modello
come
della logica
sistema
bivalente
ipotetico-dedutt
Il paradigma della geometria Euclidea…
La Geometria Euclidea come sistema
ipotetico-deduttivo. Messaggio
recepito a partire dalla fine
dell’ottocento. Hilbert lo riprende per
rifondare la Geometria Euclidea. I
Bourbakisti ne hanno fatto un
programma per la classificazione delle
matematiche negli anni trenta
mutuato dai concetti di invariante e
struttura. Questa interpretazione della
Geometria Euclidea corrisponde a
quello che oggi la comunità
matematica definisce come Modelli
Sintattici e Modelli semantici.
La Geometria Euclidea
come modello della logica
bivalente e quindi
modello di riferimento
dell’argomentare nella
cultura occidentale: il
messaggio di Aristotele;
La Geometria
Euclidea come
prima
rappresentazione
del mondo fisico:
questo è anche il
messaggio
recuperato da
Platone;
La riorganizzazione dei linguaggi matematici all’inizio
del Novecento. Le scuole di pensiero rispetto alle
riflessioni sul “linguaggio” ed alla nozione di “infinito”.
Logicismo: La Matematica si riconduce
alla Logica.
{
{
Nel 1884 Frege pone il problema della fondazione dei numeri
Naturali tentando di dimostrare il carattere analitico dei giudizi
aritmetici entrando in contrasto con Kant (giudizi sintetici apriori: proposizioni della matematica; giudizi analitici: Logica).
Frege ha avuto il merito di avere stabilito, per la prima volta, un
legame tra Matematica e Logica. Il Logicismo venne poi
affrontato da Russell il quale mise in evidenza il famoso
Paradosso sugli Insiemi rivedendo il lavoro di Frege e che tentò
di superare attraverso la Teoria dei Tipi. Nella teoria ramificata
dei Tipi non si può parlare di numeri Reali che soddisfino ad
una certa condizione ma soltanto di tutti i Reali di un dato
ordine che soddisfano quella condizione. Il tentativo del
Logicismo non riesce a fornire una sistematizzazione delle
matematiche. Lo studio della Logica era ancora agli inizi.
Elementi caratterizzanti il Logicismo:accettazione dell’infinito
in atto;uso indiscriminato della dimostrazione per assurdo.
Formalismo: In questa corrente Hilbert
è l’esponente più significativo.
{
Effettua una rifondazione critica degli Elementi di
Euclide[1] evidenziandone l’aspetto ipotetico-deduttivo.
La novità importante è quella di avere inserito la
“dimostrazione” negli oggetti matematici. Va anche
inserita la “Teoria assiomatica degli Insiemi” [2].
L’infinito diviene un assioma. Si esclude il Paradosso di
Russell sull’Insieme di tutti gli Insiemi ma non si riesce a
definire i transfiniti di Cantor. L’introduzione di un
assioma che permetta la potenza (ultraprodotto)
consentirà successivamente di poter definire i transfiniti.
Vi è sempre la difficoltà di poter definire livelli logicolinguistici via via più ampi.
{
[1]D. Hilbert, I fondamenti della geometria, Feltrinelli, Milano, 1970.
[2]P.J. Cohen, La teoria degli insiemi e l’ipotesi del continuo, Feltrinelli, Milano, 1973.
{
Intuizionismo: L’esponente di spicco di questa
corrente fu Brouwer il quale accettava una
Matematica finitista.
{
{
{
{
non accettazione delle dimostrazioni per assurdo (negazione del principio del
terzo escluso);
non accettazione dell’infinito in atto.
Questa corrente ha avuto il pregio di mettere in evidenza quelle parti di
matematica che potevano essere costruite seguendo i due principi suddetti.
Numerosi sono stati i matematici che hanno seguito questa impostazione. Le
osservazioni di Brouwer erano legate al fatto che l’accettare questi principi
portava a contraddizioni in alcuni settori della matematica. Evidentemente
l’accettazione dei due principi invece porta a strumenti dimostrativi più veloci ed
a volte più eleganti. Le teorie di Cantor e Dedekind non venivano accettate.
Una posizione contemporanea dell’intuizionismo è il Costruttivismo. Una
definizione costruttiva si baserà sull’enumerazione di alcuni procedimenti
riconosciuti come costruttivi, che non facciano cioè ricorso all’infinito attuale.
Quindi una definizione costruttiva sarà ostensiva. Il contributo contemporaneo al
costruttivismo avviene attraverso la precisazione di insieme decidibile, insieme
numerabile, funzione computabile, mettendo in evidenza le loro relazioni. I
sistemi formali della logica moderna si muovono quasi tutti a livello costruttivo
come ad esempio le ricerche sulla ricorsività.
Il Logico e Filosofo della matematica Hao Wang
sostiene che sono confluiti, nella seconda metà del
‘900 (neopositivismo logico), nella metalogica:
{
{
{
{
{
Metodo Assiomatico. Nel programma formalista si analizzano le
questioni di completezza e coerenza che verranno chiamati
metamatematica (o teoria della dimostrazione). In questa parte
saranno poi studiati i Modelli Sintattici e i Modelli Astratti
(rifondazione dei Bourbakisti delle Matematiche sulla base
semantica degli insiemi).
Logica Calcolo dei predicati del 1° ordine[1]. Teoria assiomatica
degli insiemi (calcolo predicativo di ordine superiore). Studio dei
sistemi formali e linguaggi formali in generale.
Semiotica Scienza generale dei segni e dei linguaggi strutturata in
tre parti: Sintassi (si studiano le relazioni tra le espressioni);
semantica (si analizzano le espressioni e i loro significati);
pragmatica (si interpretano i segni con riferimento quindi a chi usa
il linguaggio). Sintassi e Semantica sono studiate all’interno della
comunità dei Logici e Matematici, la Pragmatica, di difficile
trattazione formale, non viene presa in considerazione in questo
contesto.
[1] La logica predicativa del 1° ordine usa quantificatori limitati alle variabili
individuali: ∃, ∀ riferiti a singoli oggetti matematici.
La logica predicativa del 2° ordine usa quantificazioni di variabili predicative
e/o funzionali. Due specie di variabili: 1) varia sugli elementi delle
strutture; 2) varia su sottoinsiemi delle strutture. I linguaggi infinitari sono
inclusi (es. l’analisi classica).
1° risultato parziale riguardante la riorganizzazione
dei fondamenti della matematica (crisi dei
fondamenti): Le matematiche e non la Matematica.
Kurt Friedrich Gödel
(Brno 1906 - Princeton 1978).
{
{
Problema sintattico: Sino a che
punto possiamo essere certi
delle nostre deduzioni in un
sistema formale ben definito?
Problema semantico: Quale è il
significato di “vero” in un
sistema formale?
I passi del ragionamento di Gödel
sono i seguenti:
{
{
{
Si costruisce una formula aritmetica G che
rappresenta la proposizione metamatematica:
“la formula G non é dimostrabile”.
Le espressioni di una teoria formalizzata sono
trasformate attraverso sequenze di prodotti di
numeri primi, per cui ad ogni espressione
corrisponde un numero di Gödel.
Quindi le espressioni metamatematiche diventano
proposizioni aritmetiche e quindi formalizzabili.
Si dimostra che G è dimostrabile se e solo se “non
G” è dimostrabile.
Si dimostra che G è una formula aritmeticamente
vera (nel senso che afferma che ogni intero
possiede una certa proprietà aritmetica, che può
essere esattamente definita ed è posseduta da
qualsiasi intero assegnato).
1° Teorema di Gödel:
{
Dato che G è vera e nello stesso
tempo indecidibile possiamo
concludere che l’Aritmetica non
è completa. (anche se si
potessero aggiungere altri
assiomi, si può sempre costruire
un’altra formula vera ma
indecidibile).
2° Teorema di Gödel:
{
Non è possibile dimostrare
l’autocompatibilità dell’aritmetica
con gli strumenti dell’aritmetica
stessa. (Ogni sistema
sufficientemente potente,
assiomatizzabile è incapace di
dimostrare una proposizione la
quale esprima, in modo canonico,
la coerenza del sistema)
Conseguenze dei teoremi
di Gödel
{
{
{
{
Possiamo capire la nostra mente o il
nostro cervello?
Possiamo simulare con un computer
la nostra mente o il nostro cervello?
Che relazione esiste tra verità e
computabilità?
Vi sono interpretazioni del teorema di
Gödel in altre discipline?
Il teorema di incompletezza di Gödel
Il teorema di indecidibilità di Church
Il teorema della fermata di Turing
Il teorema della verità di Tarski
concorrono ad affermare che:
{ “Andare alla ricerca della conoscenza di
se stessi significa intraprendere un
viaggio...che sarà sempre incompleto,
che non può essere tracciato su nessuna
mappa, che non finirà mai e che non può
essere descritto”
{ “Se una persona non si contraddice mai,
ciò dipende dal fatto che non dice niente”
Conseguenze dei teoremi di Gödel
{
{
{
{
Possiamo capire la nostra mente o il
nostro cervello?
Possiamo simulare con un computer
la nostra mente o il nostro cervello?
Che relazione esiste tra verità e
computabilità?
Vi sono interpretazioni del teorema di
Gödel in altre discipline?
Conseguenze dei teoremi di Gödel
{
{
{
{
Possiamo capire la nostra mente o il
nostro cervello?
Possiamo simulare con un computer
la nostra mente o il nostro cervello?
Che relazione esiste tra verità e
computabilità?
Vi sono interpretazioni del teorema di
Gödel in altre discipline?
Omaggio a Gödel
(di Hans Magnus Enzensberger)
Di Münchhausen il teorema
il cavallo, la palude e il ciuffo,
ciò affascina sì, ma non scordare:
Münchhausen era un bugiardo.
Di Gödel il teorema a vista
si presenta poco appariscente,
ma tu rifletti:
Gödel ha ragione.
“In ogni sistema a sufficienza ricco
si possono formulare proposizioni
che all’interno dello stesso sistema
non sono dimostrabili né refutabili,
a meno che non sia inconsistente
il sistema stesso”.
Tu puoi la tua lingua descriverla
con la stessa tua lingua, ma non del
tutto.
Tu puoi il tuo cervello
esplorarlo col tuo stesso cervello,
ma non del tutto.
Eccetera.
Ogni concepibile sistema per dimostrar
giusto se stesso deve trascendere
e dunque distruggersi.
“Sistema sufficientemente ricco o no:
libertà di contraddizione è fenomeno
di coerenza, o contraddizione di
termini.
(Certezza=inconsistenza)
Ogni concepibile cavaliere,
come anche Münchhausen,
anche tu dunque sei un sistema
di una palude sufficientemente ricca.
E un subsistema di questo sistema
subsistema è il tuo ciuffo in capo,
come un ascensore per riformisti e
bugiardi.
In ogni sistema sufficientemente
ricco,
dunque anche in questa palude,
si possono formulare proposizioni
che all’interno dello stesso sistema
non sono dimostrabili né refutabili.
Afferra questi enunciati e tira!
Dai manoscritti inediti di Gödel:
prove dell’esistenza di Dio[1].
Ragionamento basato sulle proprietà “positive” e “negative” di Leibniz.
Assioma 1 Una proprietà è positiva se e soltanto se la sua negazione è negativa.
Assioma Una proprietà è positiva se contiene necessariamente una proprietà positiva.
Teorema 1 Una proprietà positiva è logicamente coerente (cioè, può avere esempi).
Definizione Una cosa è simile a Dio se e soltanto se possiede tutte le proprietà positive.
Assioma 3 Essere simile a Dio è una proprietà positiva.
Assioma 4 Essere una proprietà positiva è un fatto logico e quindi necessario.
Definizione Una proprietà P è l(essenza di x se e soltanto se x ha la proprietà P
e P è necessariamente minimale.
Teorema 2 S x è simile a Dio, allora il fatto di essere simile a Dio è lessenza di x.
Definizione x esiste necessariamente se ha una proprietà essenziale.
Assioma 5 Essere necessariamente esistente è simile a Dio.
Teorema 3 Deve esserci qualche x tale che x è simile a Dio.
[1] John D. Barrow, La luna nel pozzo cosmico, Adelphi, Milano, 1994. (pagg.209-211)
TARSKI (Varsavia 1901 - 1983 )
La semantica è la disciplina che tratta di “certe relazioni fra le
espressioni di un linguaggi e gli oggetti” ai quali quelle espressioni
si riferiscono.
“Il padre della patria” designa (denota) G. Washington
La neve soddisfa la funzione proposizionale (la condizione) “x è
bianco”
L’equazione “2x=1” definisce (determina univocamente) il numero
1/2
La parola “verità” esprime la proprietà (o denota una classe) di
certe espressioni cioè degli enunciati. Allora tale “verità” è
strettamente legata alla corrispondenza con la realtà.
L’enunciato “la neve è bianca” è vero se, e solo se, la neve è bianca.
linguaggio oggetto
metalinguaggio
Il metalinguaggio deve essere più ricco del linguaggio per
permettere l’esatta definizione di verità.
… Tarski
{
{
{
Il linguaggio naturale, il più potente mezzo linguistico di
espressione di cui disponiamo, è semanticamente chiuso; da
ciò deriva per il teorema di TARSKI l’impossibilità di una
definizione non contraddittoria del concetto di verità per il
linguaggio stesso.
(Il linguaggio naturale non è completamente formalizzabile
quindi la frase va considerata non completamente
prescrittiva)
Tarski afferma che non è possibile stabilire una rigorosa
semantica (teoria del significato). Si può al massimo
considerare linguaggi formalizzati che si discostassero il
“meno possibile” dal linguaggio naturale e a questi linguaggi
di approssimazione applicare la teoria sopra esposta.
Alcune osservazioni di logica
COERENZA: Un sistema T è non contraddittorio (o coerente) quando
non esiste una proposizione α che ¬α siano teoremi di T. Altrimenti
T è contraddittorio (o incoerente). Questo equivale a dire che esiste
un enunciato non dimostrabile.
COMPLETEZZA (sistema di regole): Ogni affermazione che sia
conseguenza logica di altre è derivabile da esse con trasformazioni
basate solo sulle regole. ∀p, o p o ¬p sono conseguenza logica degli
assiomi.
CATEGORICITA’ (teoria categorica): ogni teoria non contraddittoria
(da cui non si possono derivare contraddizioni con le regole logiche)
ha un modello, una realizzazione.
Tutti i modelli sono isomorfi?
L’incompletezza → la non categoricità in quanto la proposizione
indecidibile non ti permette di parlare di non contraddittorietà.
Kant
Geometria e Aritmetica sono sintetiche a-priori:
ampliano le nostre conoscenze mediante costruzioni
mentali;
7+5=12 sintetico in quanto il 12 viene aggiunto.
l’a-priori viene argomentato dalle dimostrazioni
geometriche che si sviluppano
indipendentemente dall’esperienza. L’Abbagnano
porta esempi relativi a due linguaggi differenti: la
geometria Euclidea è formalizzata, l’Aritmetica no
(saranno Frege e Peano che la formalizzeranno).
Si può dimostrare formalmente che 7+5=12 ma
questo è un risultato del ‘900.
Geometria
spazio formalizzato
Aritmetica
tempo non formalizzato
Frege (1848-1895)
riporta l’aritmetica alla logica
I numeri sono proprietà di entità logicamente costruite
“oggetti logici”: l’insieme numerico e la corrispondenza
biunivoca.
Rapporto senso-significato:
Il triangolo di Frege rappresenta il riferimento più importante:
SENSO (Sinn)
Denotazione di
un’espressione(Zeichen)
Denotazione di
un’espressione cui l’oggetto si
riferisce (Bedeutung)
… Frege
{
{
{
{
{
{
{
6x+3 e 3(2x+1), esprimono una regola diversa ma denotano la stessa funzione, cioè lo stesso
insieme di coppie ordinate;
Le due equazioni, da risolvere in R, (x+7)2=x e x2 +x+3=0 denotano lo stesso oggetto (l’insieme
vuoto) ma hanno senso diverso[1];
Nel linguaggio matematico e nel Linguaggio naturale vi sono molte espressioni che hanno sensi
diversi ed uguale denotazione;
La denotazione riguarda gli aspetti estensionali di un’espressione, mentre il senso riguarda i suoi
aspetti intenzionali. In algebra la denotazione di un’espressione simbolica è l’insieme numerico,
eventualmente vuoto, rappresentato dall’espressione;
Esiste anche un senso algebrico che è l’esplicitazione del modo in cui il denotato può essere
ottenuto attraverso l’applicazione di regole computazionali;
Viene definito senso contestualizzato il fatto che un’espressione simbolica può assumere
significati all’interno di un dominio di conoscenza. Questo dominio può riguardare linguaggi
matematici diversi dall’algebra e/o situazioni concrete come risolvere problemi, matematizzare
situazioni, descrivere fenomeni ecc.;
Il senso algebrico ed il senso contestualizzato hanno un carattere oggettivo in quanto risultano
inglobati nel codice e nella cultura socialmente condivisi da una comunità;
[1] “La denotazione di un’espressione simbolica in algebra, è l’insieme numerico, eventualmente vuoto,
rappresentato dall’espressione. Tale insieme risulta determinato oltre che dall’espressione simbolica
anche dall’universo numerico in cui l’espressione viene considerata.” (Arzarello op. cit, p. 37)
… Frege
{
{
Nel caso particolare se le equazioni
vengono considerate in C (Insieme
dei Numeri Complessi) esse denotano
rispettivamente gli insiemi: .
Senso e denotazione sono gli
ingredienti giusti cui guardare, ma
sono utili solo per darci alcune
istantanee delle difficoltà algebriche,
non per ricostruire l’intero film.
L’insieme che ha se stesso come
elemento:
Paradosso di Russell: Si definiscono
regolari gli insiemi che non contengono
se stessi come elementi. Sia R l'insieme
di tutti e solo gli insiemi regolari. R è
regolare ?
{ Se R è regolare deve essere contenuto
in se stesso e quindi deve essere
irregolare e viceversa.
