I teoremi di Gödel Il primo teorema di Gödel, successivamente modificato da Rosser e noto come teorema di Gödel-Rosser, riguarda i sistemi formali dell’aritmetica S e R ed afferma: Se S (R) è consistente, allora S (R) è incompleto, cioè possiede un enunciato indecidibile. Si costruisce in R, e quindi anche in S, una particolare formula W e si prova che: se S (R) è consistente, allora non è dimostrabile in S (in R) né la formula W né la sua negazione W. Ciò significa che W e W non sono teoremi di S (R). La formula W, dunque, non è né dimostrabile né refutabile; si dice che W è indecidibile e la teoria S (R) è incompleta. È interessante l’interpretazione standard della W. Tale interpretazione afferma che “non esiste in S (R) alcuna dimostrazione di W”, in altri termini W afferma la propria indimostrabilità in S (R). D’altra parte, se si accetta l’interpretazione standard, S e R sono consistenti, la formula W è vera e quindi esiste una formula vera per i numeri naturali, nell’interpretazione standard, ma indimostrabile in S (R). Una conseguenza di capitale importanza di questo teorema di Gödel-Rosser è la seguente: Qualsiasi sistema assiomatico in cui possa essere sviluppata l’aritmetica, se è consistente, è essenzialmente incompleto. Infatti, in relazione ai sistemi S o R, si potrebbe pensare di rimuovere l’ostacolo costruendo un’estensione di S o R assumendo la formula W come ulteriore assioma. Allora però esiste una nuova formula W vera e tale che sia W sia W non sono deducibili dai nuovi assiomi. Cioè ogni estensione assiomatica di S o R è soggetta al teorema di Gödel-Rosser. Questa proprietà si esprime dicendo che S e R sono essenzialmente incompleti, ovvero che l’aritmetica è essenzialmente sintatticamente incompleta. La portata del risultato va ben oltre l’aritmetica. Si ha infatti che: Ogni teoria assiomatica che contiene i simboli di S, ovvero ogni teoria in cui è sviluppabile l’aritmetica, se è consistente, allora è essenzialmente sintatticamente incompleta e quindi non è completamente formalizzabile. Si noti che questo problema coinvolge tutta la matematica, dal momento che essa è esprimibile in termini insiemistici e che la teoria assiomatica degli insiemi (ZF, NBG) contiene l’aritmetica. Esiste dunque una limitazione inerente al metodo assiomatico. Questo teorema di Gödel-Rosser risponde anche ad un altro problema: è possibile costruire una macchina calcolatrice capace di fare concorrenza al cervello umano in termini di intelligenza matematica ? Le macchine calcolatrici possiedono un insieme fissato di direttive immagazzinate, che corrispondono alle regole di inferenza stabilite nella procedura assiomatica. Allora, assegnato un certo problema, è possibile costruire una macchina capace di risolverlo, ma non è possibile costruire una macchina che risolva ogni problema. Sembra dunque che le risorse del cervello umano non possano essere formalizzate completamente e nuovi principi di dimostrazione attendano di essere inventati o scoperti. Il secondo teorema di Gödel può essere espresso in questi termini: È impossibile dare una dimostrazione finitistica della coerenza di un sistema formale abbastanza ricco da contenere l’aritmetica, dimostrazione che sia rappresentabile nell’ambito della stessa aritmetica. Si costruisce in S una formula, denotata con nell’interpretazione standard afferma: “S è consistente” Cons, che Il secondo teorema di Gödel dice: Se S è consistente, allora la formula Cons non è dimostrabile in S. Si noti che questo risultato non esclude la possibilità di trovare una dimostrazione di coerenza per S, esclude invece la rappresentabilità di una tale prova nell’aritmetica stessa. Si possiede infatti una dimostrazione di coerenza della teoria formale dei numeri che utilizza l’aritmetica ordinale, (Schütte 1951). I risultati di Gödel hanno suscitato molto scalpore e messo in crisi i matematici, rappresentando un notevole limite per il metodo assiomatico. Tuttavia, forse, la seguente osservazione di René Thom è un’appropriata reazione al teorema di incompletezza di Gödel: “Il matematico dovrebbe avere il coraggio delle sue personali convinzioni; egli dovrebbe affermare che le strutture matematiche hanno una loro esistenza indipendente dalla mente umana che pensa su di esse. La forma di questa esistenza è senza dubbio differente dalla esistenza concreta e materiale del mondo esterno, ma è, nondimeno, sottilmente e profondamente legata alla esistenza oggettiva. Come spiegare altrimenti, se la matematica è un gioco gratuito ed il prodotto casuale della nostra attività cerebrale, il suo indiscutibile successo nel descrivere l’universo? La Matematica si incontra non soltanto nelle rigide e misteriose leggi fisiche, ma in modo più nascosto, ma ancora indiscutibile, nelle infinite successioni delle forme del mondo animato ed inanimato, nel formarsi e nel distruggersi delle loro simmetrie. Perciò, l’ipotesi di Platone delle Idee che danno forma all’universo è, a dispetto delle apparenze, la più naturale e, filosoficamente, la più economica. Ma, in ogni istante, i matematici hanno solo una visione incompleta e frammentaria di questo mondo di Idee. Essi devono ricrearlo nella loro coscienza con una ricostruzione continua. Con questa fiducia nell’esistenza di un universo ideale, il matematico non si preoccuperà troppo dei limiti delle procedure formali, egli sarà capace di dimenticare il problema della consistenza. Ciò, perché il mondo delle Idee supera infinitamente le nostre possibilità operative e l’ultima ratio della nostra fede nella verità di un teorema risiede nella nostra intuizione, poiché un teorema è soprattutto, in accordo con una a lungo dimenticata etimologia, ‘l’oggetto di una visione’.” I Teoremi di Gödel e la psicologia