I teoremi di Gödel - Dipartimento di Matematica

I teoremi di Gödel
Il primo teorema di Gödel, successivamente modificato da Rosser e
noto come teorema di Gödel-Rosser, riguarda i sistemi formali
dell’aritmetica S e R ed afferma:
Se S (R) è consistente, allora S (R) è incompleto, cioè possiede
un enunciato indecidibile.
Si costruisce in R, e quindi anche in S, una particolare formula W e
si prova che:
se S (R) è consistente, allora non è dimostrabile in S (in R) né la
formula W né la sua negazione  W. Ciò significa che W e  W non
sono teoremi di S (R).
La formula W, dunque, non è né dimostrabile né refutabile; si dice
che W è indecidibile e la teoria S (R) è incompleta.
È interessante l’interpretazione standard della W.
Tale interpretazione afferma che “non esiste in S (R) alcuna
dimostrazione di W”, in altri termini W afferma la propria
indimostrabilità in S (R).
D’altra parte, se si accetta l’interpretazione standard, S e R sono
consistenti, la formula W è vera e quindi esiste una formula vera per i
numeri naturali, nell’interpretazione standard, ma indimostrabile in S
(R).
Una conseguenza di capitale importanza di questo teorema di
Gödel-Rosser è la seguente:
Qualsiasi sistema assiomatico in cui possa essere sviluppata
l’aritmetica, se è consistente, è essenzialmente incompleto.
Infatti, in relazione ai sistemi S o R, si potrebbe pensare di rimuovere
l’ostacolo costruendo un’estensione di S o R assumendo la formula
W come ulteriore assioma. Allora però esiste una nuova formula W
vera e tale che sia W sia  W non sono deducibili dai nuovi assiomi.
Cioè ogni estensione assiomatica di S o R è soggetta al teorema di
Gödel-Rosser. Questa proprietà si esprime dicendo che S e R sono
essenzialmente incompleti, ovvero che l’aritmetica è essenzialmente
sintatticamente incompleta.
La portata del risultato va ben oltre l’aritmetica. Si ha infatti che:
Ogni teoria assiomatica che contiene i simboli di S, ovvero ogni
teoria in cui è sviluppabile l’aritmetica, se è consistente, allora
è essenzialmente sintatticamente incompleta e quindi non è
completamente formalizzabile.
Si noti che questo problema coinvolge tutta la matematica, dal
momento che essa è esprimibile in termini insiemistici e che la teoria
assiomatica degli insiemi (ZF, NBG) contiene l’aritmetica.
Esiste dunque una limitazione inerente al metodo assiomatico.
Questo teorema di Gödel-Rosser risponde anche ad un altro
problema:
è possibile costruire una macchina calcolatrice capace di fare
concorrenza al cervello umano in termini di intelligenza matematica ?
Le macchine calcolatrici possiedono un insieme fissato di direttive
immagazzinate, che corrispondono alle regole di inferenza stabilite
nella procedura assiomatica.
Allora, assegnato un certo problema, è possibile costruire una
macchina capace di risolverlo, ma non è possibile costruire una
macchina che risolva ogni problema.
Sembra dunque che le risorse del cervello umano non possano essere
formalizzate completamente e nuovi principi di dimostrazione
attendano di essere inventati o scoperti.
Il secondo teorema di Gödel può essere espresso in questi
termini:
È impossibile dare una dimostrazione finitistica della coerenza
di un sistema formale abbastanza ricco da contenere
l’aritmetica, dimostrazione che sia rappresentabile nell’ambito
della stessa aritmetica.
Si costruisce in S una formula, denotata con
nell’interpretazione standard afferma: “S è consistente”
Cons,
che
Il secondo teorema di Gödel dice:
Se S è consistente, allora la formula Cons non è dimostrabile
in S.
Si noti che questo risultato non esclude la possibilità di trovare una
dimostrazione di coerenza per S, esclude invece la rappresentabilità
di una tale prova nell’aritmetica stessa.
Si possiede infatti una dimostrazione di coerenza della teoria
formale dei numeri
che utilizza l’aritmetica ordinale, (Schütte
1951).
I risultati di Gödel hanno suscitato molto scalpore e messo in crisi i
matematici, rappresentando un notevole limite per il metodo
assiomatico. Tuttavia, forse, la seguente osservazione di René Thom
è un’appropriata reazione al teorema di incompletezza di Gödel:
“Il matematico dovrebbe avere il coraggio delle sue personali
convinzioni; egli dovrebbe affermare che le strutture matematiche hanno
una loro esistenza indipendente dalla mente umana che pensa su di
esse. La forma di questa esistenza è senza dubbio differente dalla
esistenza concreta e materiale del mondo esterno, ma è, nondimeno,
sottilmente e profondamente legata alla esistenza oggettiva.
Come spiegare altrimenti, se la matematica è un gioco gratuito ed il
prodotto casuale della nostra attività cerebrale, il suo indiscutibile
successo nel descrivere l’universo?
La Matematica si incontra non soltanto nelle rigide e misteriose leggi
fisiche, ma in modo più nascosto, ma ancora indiscutibile, nelle infinite
successioni delle forme del mondo animato ed inanimato, nel formarsi e
nel distruggersi delle loro simmetrie.
Perciò, l’ipotesi di Platone delle Idee che danno forma all’universo è, a
dispetto delle apparenze, la più naturale e, filosoficamente, la più
economica. Ma, in ogni istante, i matematici hanno solo una visione
incompleta e frammentaria di questo mondo di Idee. Essi devono
ricrearlo nella loro coscienza con una ricostruzione continua.
Con questa fiducia nell’esistenza di un universo ideale, il matematico
non si preoccuperà troppo dei limiti delle procedure formali, egli sarà
capace di dimenticare il problema della consistenza.
Ciò, perché il mondo delle Idee supera infinitamente le nostre possibilità
operative e l’ultima ratio della nostra fede nella verità di un teorema
risiede nella nostra intuizione, poiché un teorema è soprattutto, in
accordo con una a lungo dimenticata etimologia, ‘l’oggetto di una
visione’.”
I Teoremi di Gödel e la psicologia