PROGRAMMA DEL CORSO DI ISTITUZIONI DI ALGEBRA
SUPERIORE-A.A. 2015-16
FRANCESCO FUMAGALLI -LUIGI SERENA
Richiami sui concetti di base di Teoria dei gruppi. Criterio affinché un sottoinsieme
di un gruppo sia un sottogruppo. Indice e Teorema di Lagrange. Lemma di Poincaré. Reticolo
dei sottogruppi. Prodotto di sottogruppi. Lemma di Dedekind. Omomorfismi e sottogruppi
normali; Teoremi di omomorfismo. Prodotti diretti e prodotto cartesiano. Gruppi ciclici; sottogruppi dei gruppi ciclici ed automorfismi dei gruppi ciclici. Gruppo lineare generale, gruppo
speciale lineare, gruppo proiettivo speciale lineare. Il gruppo simmetrico: decomposizione di
una permutazione in cicli, gruppo alterno. Coniugio, centralizzanti e normalizzanti; chiusura
normale e cuore (o nocciolo) di un sottogruppo. Classi di coniugio nei gruppi simmetrici e
alterni. Prodotti semidiretti.
Serie Richiami sulle Ω-serie.
Serie normali, di composizione e principali.
Teorema di
Schreier (dimostrazione). Lemma della farfalla (dimostrazione). Teorema di Jordan-Hölder
(dimostrazione). Gruppi caratteristicamente semplici.
Azione di un gruppo su un insieme. Orbite e stabilizzatori. Teorema sulla relazione
tra gli ordini di un gruppo, di una sua orbita e dello stabilizzatore (dimostrazione). Equazione
delle orbite. Lemma sulla relazione tra il numero di orbite ed numero di punti fissati dagli
elementi di un gruppo finito (dimostrazione). Azioni transitive; azione sulle classi laterali; azioni
equivalenti. Teoremi di Sylow. Gruppi di permutazioni transitivi. Transitività multipla. Azioni
primitive. Relazione tra un’azione primitiva e lo stabilizzatore di un punto (dimostrazione).
Caratterizzazione dei gruppi finiti n-transitivi che posseggono un sottogruppo normale regolare
(dimostrazione). Semplicità del gruppo alterno An con n ≥ 5 (dimostrazione). Semplicità del
gruppo P SL(2, F ) con F campo e |F | ≥ 4 (dimostrazione).
Prodotto intrecciato Prodotto intrecciato permutazionale. Prodotto intrecciato standard.
Applicazioni alla determinazione della struttura dei sottogruppi di Sylow dei gruppi simmetrici
(dimostrazione).
Gruppi liberi. Il concetto di gruppo libero. Costruzione di gruppi liberi. Parole ridotte.
Presentazione di gruppi. Teorema di von Dyck (dimostrazione). Presentazione del gruppo
simmetrico. Varietà di gruppi. Sottogruppi verbali. Teorema di Birkhoff (solo enunciato).
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Gruppi abeliani Gruppi abeliani liberi. Proprietà proiettiva (dimostrazione). Sottogruppo
di torsione e sue proprietà. Teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati (dimostrazione). Gruppi di Prüfer. Gruppi abeliani divisibili. Gruppi abeliani iniettivi. Teorema
di caratterizzazione dei gruppi abeliani divisibili (dimostrazione).
Gruppi nilpotenti Commutatori; proprietà dei commutatori. Interderivati. Sezione centrale. Serie centrale discendente e serie centrale ascendente di un gruppo: relazioni tra i membri delle due serie (dimostrazione). Proprietà dei gruppi nilpotenti: relazione tra il centro
ed un sottogruppo normale (dimostrazione); proprietà del normalizzante di un sottogruppo
(dimostrazione), sottogruppi massimali (dimostrazione). Sottogruppi subnormali. Caratterizzazione dei gruppi nilpotenti finiti (dimostrazione). Nilpotenza dei p-gruppi finiti. Sottogruppo
di Frattini Φ(G): nilpotenza di Φ(G) in un gruppo finito G; relazione tra il sottogruppo di
Frattini di un gruppo finito G ed il sottogruppo di Frattini di sottogruppi normali e quozienti
di G (dimostrazione). Teorema della base di Burnside (dimostrazione). Lemma dei tre sottogruppi e sue applicazioni alle serie centrali (dimostrazioni). Analisi dei p-gruppi finiti aventi
un sottogruppo massimale ciclico: gruppo diedrale, semidiedrale, Mn (p), gruppo generalizzato
dei quaternioni.
Gruppi risolubili Serie derivata. Gruppi semilineari affini. π-sottogruppi di Hall e loro
proprietà; Teorema di Hall sull’esistenza ed il coniugio dei π-sottogruppi di Hall nei gruppi
finiti; immersione di un π sottogruppo in un π-sottogruppo di Hall (dimostrazioni). Formazioni;
proiettori e loro proprietà (dimostrazioni); esistenza e coniugio dei proiettori rispetto ad una
formazione saturata nei gruppi finiti risolubili (dimostrazione).
Transfer, fusione, complementi normali: proprietà di (V |T ) (dimostrazioni); definizione
di transfer; Teorema di D. Higman-isomorfismo tra H/H ∗ e G/G′ (π) dove H è un π-sottogruppo
di Hall di G (dimostrazione); Lemma di Burnside (dimostrazione); isomorfismo tra NG (P )/NG (P )′ (p)
e G/G′ (p) dove P è un p-sottogruppo di Sylow abeliano di G (dimostrazione); Teorema di Burnside sull’esistenza di un p-complemento normale (dimostrazione); controllo del transfer; sottoinsiemi debolmente chiusi. Teorema di Grün (dimostrazione). Equivalenza tra la p-nilpotenza
di un gruppo finito e la p-nilpotenza dei sottogruppi p-locali non banali (dimostrazione). Teorema di Frobenius (enunciato). Il sottogruppo di Thompson di un p-gruppo. Teorema di
Glauberman-Thompson sull’esistenza di un p-complemento normale in un gruppo finito (enunciato).
Riferimenti Gli argomenti trattati qui sopra possono trovarsi nei seguenti appunti
• C. Casolo Appunti del Corso di Istituzioni di Algebra Superiore a.a. 2013-14, aggiornate
al 2016.
• L. Serena Appunti di Istituzioni di Algebra Superiore a.a. 2015-16.
Altri testi di riferimento:
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(1) D.J.S. Robinson: A course in the Theory of Groups Springer-Verlag (1982).
(2) M. Suzuki: Group Theory I Springer-Verlag.
(3) M. Suzuki: Group Theory II Springer- Verlag (1985).
(4) J. S. Rose A Course on Group Theory Dover publications, inc. 1994.
Lista dei Teoremi a scelta dello studente
(1) Teoremi di Sylow (versione presente negli appunti di C. Casolo).
(2) Caratterizzazione dei p-gruppi finiti che posseggono un sottogruppo massimale ciclico.
(3) Risolubilità dei gruppi finiti G che posseggono un p′ -complemento di Hall per ogni primo
p che divide |G|. Sistemi di Hall.
(4) Lemma 4.7 e Proposizione 4.8 (appunti di L.S.): caratterizzazione dei gruppi finiti
risolubili primitivi.
(5) Iniettori e insiemi di Fitting: esistenza e coniugio degli iniettori rispetto ad un insieme
di Fitting in un gruppo finito risolubile.
(6) Teorema di Frobenius sulla complementazione normale di un gruppo finito.
(7) Automorfismi fixed-point-free e nilpotenza di un sottogruppo proprio H di un gruppo
finito G, tale che G\H consta solo di elementi di ordine primo p. (Teorema 5.31 appunti
L.S.)
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