Le serie di funzioni e le serie di potenze 1)Le successione di funzioni Successione di funzioni in A : è l'insieme di funzioni f 0 x , f 1 x ,... , f n x , ... , con indice n∈ℕ , e definite nell'insieme A⊆ℝ. La successione di funzioni f n x , n∈ℕ , converge puntualmente in E⊆ A. se è convergente ∀ x∈E. f n x , ∀ x∈E. Limite della successione: la funzione f x tale che f x =nlim ∞ 2)Che cos'è una serie di funzioni Data una successione di funzioniu f 0 x , f 1 x ,... , f n x , ... , con x ∈A⊆ℝ , si chiama serie di funzioni in A la successione s1 x , s 2 x , ... , s n x , ... , x ∈ A⊆ℝ , con s n x = f 1 x f 2 x ... f n x . ∞ La serie di funzioni si indica ∑ f n x . n=1 La funzione n-esima. f n x è detta termine n-esimo o generale e ogni funzione s n x ridotta ∞ ∑ cos n x , x ∈ℝ , ESEMPIO: Nella serie di funzioni il termine generale è cos n x , la ridotta n- n=1 esima è 2 n cos xcos x...cos x. ∞ Una serie di funzioni ∑ f n , x ∈ A⊆ℝ , nel punto c ∈ A: n=1 ∞ • convergente puntualmente al numero s∈ℝ , se ∑ f n c =s ; n=1 ∞ • divergente positivamente (negativamente) se ∑ f n c=∞−∞ ; n=1 ∞ • è indeterminata se ∑ f n c è indeterminata. n=1 ∞ Data la serie ∑ n=1 ∞ f n x , il suo resto n-esimo è la serie indica con r n x . ∑ k =n1 f k x. La sua somma si ∞ L'insieme di convergenza di una serie di funzioni ∑ f n x , x∈ A⊆ℝ , è l'insieme n=1 E⊆ A dei numeri per i quali la serie di funzioni si trasforma in una serie numerica convergente. ∞ Somma della serie: è la funzione E ℝ . tale che s x =∑ f n x , ∀ x ∈E. n=1 3)Che cos'è una serie di potenze Una serie di funzioni si dice serie di potenze con centro x 0 se è della forma: ∞ ∑ an x−x 0 n=a0a1 x −x 0 a 2 x− x 02...con x 0 , a1 , ... , an ,... , sono numeri reali e n=0 x è la variabile reale. I numeri a 0 , a 1 , a 2 , ... , a n , ... , sono detti coefficienti della serie. ∞ Nel caso in cui x 0=0 si ha: ∑ an x n=a0 a 1 xa 2 x 2...an x n... . n=0 Teorema del rapporto a n1 =α , allora: Se lim an n ∞ 1 r = , se α≠0 ; • α r =∞ , se α=0 ; • r =0, • se α=∞ ; Teorema della radice n Se lim ∣an∣=α , allora: ∣ ∣ n ∞ 1 r = , se α≠0 ; α r =∞ , se α=0 ; r =0, se α=∞ ; • • • Teorema di continuità ∞ Sia ∑ an x n una serie di potenze e sia r il suo raggio di convergenza. La funzione n=0 ∞ f x =∑ an x n è continua per ogni x ∈−r ; r . somma n=0 Si noti che non si può affermare nulla, in generale, sulla continuità di f x = per x=±r. Teorema di integrazione ∞ Sia ∑ xn una serie di potenze e sia r il suo raggio di convergenza. La funzione somma n=0 ∞ f x =∑ an x n è integrabile in qualsiasi intervallo [a ; b] con −rabr , e risulta: n=0 b b b b ∫ f x dx=∫ a 0 dx∫ a1 x dx∫ a 2 x a a a a b 2 dx...∫ an x n dx... a ossia b ∞ ∞ b n=0 n=0 a ∫ ∑ a n x n dx =∑ ∫ a n x n dx a (2) In pratica ciò significa che la serie si può integrare termine a termine o, anche, che si può portare il segno di integrale dentro al segno di serie (l'integrale di una serie è la serie degli integrali). Si noti che, calcolando gli integrali che compaiono nel secondo membro della (2), si ottiene: b ∞ an f x dx= b n1−a n1 . ∫ ∑ n1 n=0 a Teorema di derivazione Data la serie di potenze ∞ ∑ an x n=a0 a 1 xa 2 x 2...an x n... (1) n=0 con raggio di convergenza r ≠0 e detta f x la somma della serie, si può derivare termine a termine la serie (1) per ogni x interno all'intervallo di convergenza e risulta f ' x =a 0a12a 2 x3a 3 x 2...na n x n−1 ... x∈−r ; r . Si noti che la tesi del teorema può anche essere scritta così: ∞ ∞ n=0 n=0 D ∑ a n x n=∑ D an x n oppure ∞ f ' x =∑ nan x n−1 n=1 In altre parole, per una serie di potenze, la derivata di una serie è la serie delle derivate. 4)Lo sviluppo in serie Serie di Taylor Se la funzione f x è indefinitamente derivabile in un intorno I di x 0 , diciamo serie di Taylor relativa a f x e al punto iniziale x 0 la serie di potenze di x− x0 : n ∞ f x0 f ' ' x 0 f n x 0 n ' 2 x −x = f x f x x− x x− x ... x− x 0n... ∑ n! 0 0 0 0 0 2! n ! n=0 Se x 0=0, otteniamo la serie di Mac-Laurin: ∞ n '' n f 0 n f 0 2 f 0 n ' x = f 0 f 0 x x ... x ... ∑ n! 2! n! n=0 Una funzione f x , indefinitamente derivabile in un intorno I di x 0 , si dice sviluppabile in serie di Taylor nel punto x 0 se coincide con la somma della sua serie di Taylor, ossia se: ∞ x−x 0 n n f x =∑ f x 0 , ∀ x ∈I. n! n=0 In particolare, se x 0=0, la funzione si dice sviluppabile in serie di Mac-Laurin. Condizione sufficiente per la sviluppabilità Data un funzione f x derivabile indefinitamente in un intorno [ x 0 −δ ; x 0δ ] di x 0 , se esiste un numero L0 tale che ∣ f n x ∣≤ L , ∀ x∈[ x 0−δ ; x 0δ ] e ∀ n∈ℕ , allora f x è sviluppabile in serie di Taylor nell'intorno [ x 0 −δ ; x 0δ ] con punto iniziale x0 . 5)Applicazioni degli sviluppi in serie Le principali applicazioni degli sviluppi in serie riguardano: • il calcolo di limiti; • il calcolo approssimato dei valori di una funzione; • il calcolo approssimato di integrali. [ non è in programma]