Le serie di funzioni e le serie di potenze

Le serie di funzioni e le serie di potenze
1)Le successione di funzioni
 Successione di funzioni in A : è l'insieme di funzioni f 0  x  , f 1  x  ,... , f n  x  , ... , con
indice n∈ℕ , e definite nell'insieme A⊆ℝ.
 La successione di funzioni f n  x  , n∈ℕ , converge puntualmente in E⊆ A. se è
convergente ∀ x∈E.
f n  x  , ∀ x∈E.
 Limite della successione: la funzione f  x  tale che f  x =nlim
∞
2)Che cos'è una serie di funzioni
 Data una successione di funzioniu f 0  x  , f 1  x  ,... , f n  x  , ... , con x ∈A⊆ℝ , si
chiama serie di funzioni in A la successione s1  x , s 2  x  , ... , s n  x  , ... , x ∈ A⊆ℝ , con
s n  x = f 1  x  f 2  x ... f n  x .
∞
La serie di funzioni si indica
∑ f n  x .
n=1
 La funzione
n-esima.
f n  x  è detta termine n-esimo o generale e ogni funzione
s n  x  ridotta
∞
∑ cos n x , x ∈ℝ ,
ESEMPIO: Nella serie di funzioni
il termine generale è
cos n x , la ridotta n-
n=1
esima è
2
n
cos xcos x...cos x.
∞
 Una serie di funzioni
∑ f n , x ∈ A⊆ℝ ,
nel punto c ∈ A:
n=1
∞
•
convergente puntualmente al numero
s∈ℝ , se ∑ f n c =s ;
n=1
∞
•
divergente positivamente (negativamente) se
∑ f n c=∞−∞ ;
n=1
∞
•
è indeterminata se
∑ f n c
è indeterminata.
n=1
∞
 Data la serie
∑
n=1
∞
f n  x , il suo resto n-esimo è la serie
indica con r n  x .
∑
k =n1
f k  x. La sua somma si
∞
 L'insieme di convergenza di una serie di funzioni
∑ f n  x , x∈ A⊆ℝ ,
è l'insieme
n=1
E⊆ A dei numeri per i quali la serie di funzioni si trasforma in una serie numerica
convergente.
∞
 Somma della serie: è la funzione E ℝ . tale che
s  x =∑ f n  x  , ∀ x ∈E.
n=1
3)Che cos'è una serie di potenze
 Una serie di funzioni si dice serie di potenze con centro x 0 se è della forma:
∞
∑ an  x−x 0 n=a0a1  x −x 0 a 2  x− x 02...con x 0 , a1 , ... , an ,... ,
sono numeri reali e
n=0
x è la variabile reale.
I numeri a 0 , a 1 , a 2 , ... , a n , ... , sono detti coefficienti della serie.
∞
Nel caso in cui
x 0=0 si ha:
∑ an x n=a0 a 1 xa 2 x 2...an x n...
.
n=0
 Teorema del rapporto
a n1
=α , allora:
Se lim
an
n ∞
1
r = , se α≠0 ;
•
α
r =∞ , se α=0 ;
•
r =0,
•
se α=∞ ;
 Teorema della radice
n
Se lim ∣an∣=α , allora:
∣ ∣
n ∞
1
r = , se α≠0 ;
α
r =∞ , se α=0 ;
r =0,
se α=∞ ;
•
•
•
 Teorema di continuità
∞
Sia
∑ an x n
una serie di potenze e sia r il suo raggio di convergenza. La funzione
n=0
∞
f  x =∑ an x n è continua per ogni x ∈−r ; r .
somma
n=0
Si noti che non si può affermare nulla, in generale, sulla continuità di f  x = per x=±r.
 Teorema di integrazione
∞
Sia
∑ xn
una serie di potenze e sia r il suo raggio di convergenza. La funzione somma
n=0
∞
f  x =∑ an x n è integrabile in qualsiasi intervallo [a ; b] con −rabr , e risulta:
n=0
b
b
b
b
∫ f  x dx=∫ a 0 dx∫ a1 x dx∫ a 2 x
a
a
a
a
b
2
dx...∫ an x n dx...
a
ossia
b
∞
∞
b
n=0
n=0
a
∫ ∑ a n x n dx =∑ ∫ a n x n dx 
a
(2)
In pratica ciò significa che la serie si può integrare termine a termine o, anche, che si può
portare il segno di integrale dentro al segno di serie (l'integrale di una serie è la serie degli
integrali).
Si noti che, calcolando gli integrali che compaiono nel secondo membro della (2), si ottiene:
b
∞
an
f

x
dx=
b n1−a n1 .
∫
∑ n1
n=0
a
 Teorema di derivazione
Data la serie di potenze
∞
∑ an x n=a0 a 1 xa 2 x 2...an x n...
(1)
n=0
con raggio di convergenza r ≠0 e detta f  x  la somma della serie, si può derivare
termine a termine la serie (1) per ogni x interno all'intervallo di convergenza e risulta
f '  x =a 0a12a 2 x3a 3 x 2...na n x n−1 ... x∈−r ; r .
Si noti che la tesi del teorema può anche essere scritta così:
∞
∞
n=0
n=0
D ∑ a n x n=∑ D an x n 
oppure
∞
f '  x =∑ nan x n−1
n=1
In altre parole, per una serie di potenze, la derivata di una serie è la serie delle derivate.
4)Lo sviluppo in serie
 Serie di Taylor
Se la funzione f  x  è indefinitamente derivabile in un intorno I di x 0 , diciamo serie
di Taylor relativa a f  x  e al punto iniziale x 0 la serie di potenze di  x− x0 :
n 
∞
f  x0 
f ' '  x 0
f  n  x 0
n
'
2

x
−x

=
f

x

f

x

x−
x


x−
x

...
 x− x 0n...
∑ n!
0
0
0
0
0
2!
n
!
n=0
 Se x 0=0, otteniamo la serie di Mac-Laurin:
∞
n 
''
 n
f 0 n
f 0 2
f  0 n
'

x
=
f
0
f
0
x
x
...
x ...
∑ n!
2!
n!
n=0
 Una funzione f  x  , indefinitamente derivabile in un intorno I di x 0 , si dice
sviluppabile in serie di Taylor nel punto x 0 se coincide con la somma della sua serie di
Taylor, ossia se:
∞
 x−x 0 n  n
f  x =∑
f  x 0  , ∀ x ∈I.
n!
n=0
 In particolare, se x 0=0, la funzione si dice sviluppabile in serie di Mac-Laurin.
 Condizione sufficiente per la sviluppabilità
Data un funzione f  x  derivabile indefinitamente in un intorno [ x 0 −δ ; x 0δ ] di x 0 ,
se esiste un numero L0 tale che ∣ f  n  x ∣≤ L , ∀ x∈[ x 0−δ ; x 0δ ] e ∀ n∈ℕ , allora
f  x  è sviluppabile in serie di Taylor nell'intorno [ x 0 −δ ; x 0δ ] con punto iniziale
x0 .
5)Applicazioni degli sviluppi in serie
 Le principali applicazioni degli sviluppi in serie riguardano:
• il calcolo di limiti;
• il calcolo approssimato dei valori di una funzione;
• il calcolo approssimato di integrali. [ non è in programma]