ESERCIZI-chiesti da studenti-1 - e

SPIEGAZIONI-su ESERCIZI
FOGLIO6 D. 53 Data la funzione y = e−2x, si consideri il polinomio di Taylor di 1o grado T(x), centrato in x = 0.
Qual è l’errore massimo assoluto che si commette approssimando in un punto di ascissa x, con 0 < x <1/2, la
funzione data con il polinomio T(x)?
53A -2
53B 0,1
53C e1/2
53D 1/e
53E 0
Prima di tutto penso che sarebbe meglio scrivere
si consideri il polinomio di Taylor di 1o grado T(x), centrato in x0 = 0. e per x in [0,1/2] (intervallo
chiuso)
e avrei aggiunto un suggerimento: mostrare che la funzione
Sempre utilizzando il fatto
x_0
che
f(x)= e−2x
è convessa.
f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) è il polinomio di Taylor di grado 1 centrato in
l'errore assoluto è | f(x) - [f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0)] |
e quindi, per x_0=0,
per cui
f(x)=e−2x
e
quindi f'(x)= -2e−2x
, f(x_0)=e−2*0 =1,
f'(x_0)= -2e−2*0x=-2
la richiesta dell'esercizio è quindi studiare il valore massimo di
|e−2x - [1-(-2) x]|= |e−2x - [1+2 x]|=|e−2x -1+2 x|
INOLTRE la funzione e−2x -1+2 x
per x in [0,1/2]
è sempre maggiore o uguale a zero,
infatti il polinomio di Taylor di grado 1 coincide con l'equazione della tangente,
e la funzione e−2x
è convessa (infatti
f''(x)= (f'(x))'= (-2e−2x )'= (-2)(-2)e−2x = 4e−2x >0 )
e sappiamo che il grafico di una funzione convessa è sempre al di sopra del grafico delle sue rette
tangenti (ossia se f(x) è convessa allora f(x) >= f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0)
)
quindi si tratta di calcolare il valore massimo di
e−2x -1+2 x,
per x in [0,1/2].
Il metodo per trovare i massimi e/o i minimi di una funzione continua g(x) in un intervallo chiuso e
limitato [a,b] (che esiste per il Teorema di Weierstrass, è poi di calcolare
g(a),
g(b),
g(zi) nei punti zi in cui la funzione non è derivabile,
g(xi) nei punti xi in cui la funzione
è derivabile e la derivata g'(xi)=0.
Per trovare il valore massimo poi si deve calcolare il massimo tra i valori precedenti.
Nell'esempio precedente, per g(x)=f(x)-T(x)= )= e−2x -(1 -2x)
g(0)=0
g(1/2)=
e−2 (1/2) -1+2 (1/2)= e−1 ,
la funzione è sempre derivabile e g'(x) = -2e−2x +2 = -2(e−2x -1) =0
ritroviamo g(0)=0
SE E SOLO SE x=0
e quindi
e quindi il valore massimo dell'errore assoluto è e−1 .
Ricordiamo che il punto di massimo è invece il valore della variabile x in cui il valore assoluto è massimo,
quindi
se la domando fosse in quale punto l'errore è massimo la risposta sarebbe in x=1/2.
FOGLIO 6 D18 Si determini l’equazione della tangente alla funzione y = e2x, nel punto di ascissa x0 = 0. Se nel
punto di ascissa x = 0,5 si approssima il valore della funzione con quello della sua tangente in x = 0
(approssimazione di Taylor al primo grado), l’errore relativo e’ di circa ?
D17 identico ma invece di x=0,5 si prende x=1 e invece di y = e2x, si considera y = ex/2,
RISPOSTA il punto è che y=f(x0) + f'(x0) (x-x0)
ossia l'equazione della retta tangente al grafico di f ossia a { (x.y) tali che y=f(x)}
è tale che
f(x0) + f'(x0) (x-x0) è il polinomio di Taylor di grado 1
quindi la differenza APPROSSIMATA
con la retta tangente ovvero con il
polinomio di Taylor di grado 1
vale
f(x) - [f'(x0) (x-x0)
+ f(x0) ]=
f(x)-f(x0) - f'(x0) (x-x0)
ed in valore assoluto vale |f(x)-f(x0)- f'(x0) (x-x0) | che è il valore dell'errore assoluto
Per l'errore relativo si tratta quindi di calcolare l'errore assoluto diviso |f(x)|
ossia |f(x)-f(x0) -
f'(x0) (x-x0) |/|f(x)|
Nel
caso dell'esercizio D 18
x0=0 e x=1/2 =0,5 ed f(x)=e2x e quindi
f(x0)=f(0)=e0=1 f(x)=f(1/2)=e, inoltre
f '(x)= e2x 2
e quindi in 0, f'(0)=2
e quindi l'errore relativo viene
| e-1 -2 (1/2-0)|/ e = |e-2|/e =(circa) 0.718/2,718 uguale a circa il 25%.
per la precisione viene 0,26424111765711535680895245967707
FOGLIO 10 Probabilità
D. 9 Lancio 3 dadi contemporaneamente.
Qual è la probabilità che in esattamente due di essi compaia la faccia 6?
9A 1/36
9B 0,36
9C 5/216
9D 0,03
9E 5/72
SOLUZIONE
la variabile aleatoria X che conta il numero di 6 ottenuti nel lancio di tre dadi segue una distribuzione
binomiale di parametri n=3 e p=1/6,
la domanda è semplicemente P(X=k)=C(3,k) (1/6)k (5/6)3-k, per k=2
dove si è POSTO C(n,k)= n!/[k! (n-k)!] = n(n-1)...(n-k+1)//k!= n(n-1)...(n-k+1)/[k (k-1)....2 1]
coefficiente binomiale
ossia P(X=2)=C(3,2) (1/6)2 (5/6)3-2= 3
5/[63]
il
= 3 5/216 = 5/72
SOLUZIONE ALTERNATIVO
E' anche possibile calcolare solo la probabilità che l'evento puè essere calcolato osservando che l'evento
è l'unione dei seguenti eventi
il primo e il secondo dado diano 6 mentre il terzo dado dia un numero diverso da 6
il primo e il terzo dado danno 6 mentre il secondo un numero diverso da 6
e infine anche
il secondo e
il terzo dado danno 6 mentre il primo dado è diverso da 6
questi eventi hanno tutti la stessa probabilità 5/216
e quindi la probabilità dell'evento richiesto
viene
la somma
delle probabilità dei tre casi e quindi 3 (5/216)=5/72