SPIEGAZIONI-su ESERCIZI FOGLIO6 D. 53 Data la funzione y = e−2x, si consideri il polinomio di Taylor di 1o grado T(x), centrato in x = 0. Qual è l’errore massimo assoluto che si commette approssimando in un punto di ascissa x, con 0 < x <1/2, la funzione data con il polinomio T(x)? 53A -2 53B 0,1 53C e1/2 53D 1/e 53E 0 Prima di tutto penso che sarebbe meglio scrivere si consideri il polinomio di Taylor di 1o grado T(x), centrato in x0 = 0. e per x in [0,1/2] (intervallo chiuso) e avrei aggiunto un suggerimento: mostrare che la funzione Sempre utilizzando il fatto x_0 che f(x)= e−2x è convessa. f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) è il polinomio di Taylor di grado 1 centrato in l'errore assoluto è | f(x) - [f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0)] | e quindi, per x_0=0, per cui f(x)=e−2x e quindi f'(x)= -2e−2x , f(x_0)=e−2*0 =1, f'(x_0)= -2e−2*0x=-2 la richiesta dell'esercizio è quindi studiare il valore massimo di |e−2x - [1-(-2) x]|= |e−2x - [1+2 x]|=|e−2x -1+2 x| INOLTRE la funzione e−2x -1+2 x per x in [0,1/2] è sempre maggiore o uguale a zero, infatti il polinomio di Taylor di grado 1 coincide con l'equazione della tangente, e la funzione e−2x è convessa (infatti f''(x)= (f'(x))'= (-2e−2x )'= (-2)(-2)e−2x = 4e−2x >0 ) e sappiamo che il grafico di una funzione convessa è sempre al di sopra del grafico delle sue rette tangenti (ossia se f(x) è convessa allora f(x) >= f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) ) quindi si tratta di calcolare il valore massimo di e−2x -1+2 x, per x in [0,1/2]. Il metodo per trovare i massimi e/o i minimi di una funzione continua g(x) in un intervallo chiuso e limitato [a,b] (che esiste per il Teorema di Weierstrass, è poi di calcolare g(a), g(b), g(zi) nei punti zi in cui la funzione non è derivabile, g(xi) nei punti xi in cui la funzione è derivabile e la derivata g'(xi)=0. Per trovare il valore massimo poi si deve calcolare il massimo tra i valori precedenti. Nell'esempio precedente, per g(x)=f(x)-T(x)= )= e−2x -(1 -2x) g(0)=0 g(1/2)= e−2 (1/2) -1+2 (1/2)= e−1 , la funzione è sempre derivabile e g'(x) = -2e−2x +2 = -2(e−2x -1) =0 ritroviamo g(0)=0 SE E SOLO SE x=0 e quindi e quindi il valore massimo dell'errore assoluto è e−1 . Ricordiamo che il punto di massimo è invece il valore della variabile x in cui il valore assoluto è massimo, quindi se la domando fosse in quale punto l'errore è massimo la risposta sarebbe in x=1/2. FOGLIO 6 D18 Si determini l’equazione della tangente alla funzione y = e2x, nel punto di ascissa x0 = 0. Se nel punto di ascissa x = 0,5 si approssima il valore della funzione con quello della sua tangente in x = 0 (approssimazione di Taylor al primo grado), l’errore relativo e’ di circa ? D17 identico ma invece di x=0,5 si prende x=1 e invece di y = e2x, si considera y = ex/2, RISPOSTA il punto è che y=f(x0) + f'(x0) (x-x0) ossia l'equazione della retta tangente al grafico di f ossia a { (x.y) tali che y=f(x)} è tale che f(x0) + f'(x0) (x-x0) è il polinomio di Taylor di grado 1 quindi la differenza APPROSSIMATA con la retta tangente ovvero con il polinomio di Taylor di grado 1 vale f(x) - [f'(x0) (x-x0) + f(x0) ]= f(x)-f(x0) - f'(x0) (x-x0) ed in valore assoluto vale |f(x)-f(x0)- f'(x0) (x-x0) | che è il valore dell'errore assoluto Per l'errore relativo si tratta quindi di calcolare l'errore assoluto diviso |f(x)| ossia |f(x)-f(x0) - f'(x0) (x-x0) |/|f(x)| Nel caso dell'esercizio D 18 x0=0 e x=1/2 =0,5 ed f(x)=e2x e quindi f(x0)=f(0)=e0=1 f(x)=f(1/2)=e, inoltre f '(x)= e2x 2 e quindi in 0, f'(0)=2 e quindi l'errore relativo viene | e-1 -2 (1/2-0)|/ e = |e-2|/e =(circa) 0.718/2,718 uguale a circa il 25%. per la precisione viene 0,26424111765711535680895245967707 FOGLIO 10 Probabilità D. 9 Lancio 3 dadi contemporaneamente. Qual è la probabilità che in esattamente due di essi compaia la faccia 6? 9A 1/36 9B 0,36 9C 5/216 9D 0,03 9E 5/72 SOLUZIONE la variabile aleatoria X che conta il numero di 6 ottenuti nel lancio di tre dadi segue una distribuzione binomiale di parametri n=3 e p=1/6, la domanda è semplicemente P(X=k)=C(3,k) (1/6)k (5/6)3-k, per k=2 dove si è POSTO C(n,k)= n!/[k! (n-k)!] = n(n-1)...(n-k+1)//k!= n(n-1)...(n-k+1)/[k (k-1)....2 1] coefficiente binomiale ossia P(X=2)=C(3,2) (1/6)2 (5/6)3-2= 3 5/[63] il = 3 5/216 = 5/72 SOLUZIONE ALTERNATIVO E' anche possibile calcolare solo la probabilità che l'evento puè essere calcolato osservando che l'evento è l'unione dei seguenti eventi il primo e il secondo dado diano 6 mentre il terzo dado dia un numero diverso da 6 il primo e il terzo dado danno 6 mentre il secondo un numero diverso da 6 e infine anche il secondo e il terzo dado danno 6 mentre il primo dado è diverso da 6 questi eventi hanno tutti la stessa probabilità 5/216 e quindi la probabilità dell'evento richiesto viene la somma delle probabilità dei tre casi e quindi 3 (5/216)=5/72