GEOMETRIA 2

GEOMETRIA 2
a.a. 2013-2014
Insegnamento: Geometria 2
Docente: Olga Polverino
Settore Scientifico - Disciplinare: MAT/03 CFU ORE
12=9L+3E
108=72+36
Obiettivi formativi: Acquisire una buona conoscenza della teoria delle forme bilineari e delle loro
applicazioni geometriche, con particolare riferimento allo studio degli spazi affini euclidei e alla
classificazione delle coniche e delle quadriche tridimensionali. Inoltre si intende introdurre lo
studente allo studio della topologia generale.
Propedeuticità: Geometria 1
Modalità di svolgimento: lezioni ed esercitazioni in aula.
Modalità di accertamento del profitto: superamento di una prova orale e di una prova scritta.
Legenda:
L= Lezioni, E= Esercitazioni, La= Attività di Laboratorio.
PROGRAMMA
Spazi vettoriali euclidei: prodotti scalari euclidei, lunghezze, angoli, ortogonalità, riferimenti
ortonormali e algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un
sottospazio: ricerca e proprietà. Applicazioni ortogonali e loro proprietà. Matrici ortogonali. Gruppo
O(n,K). Formule di trasformazione di riferimenti ortonormali e matrici ortogonali. Matrici ortogonali
reali e loro caratterizzazione in termini di riferimenti ortonormali. Caratterizzazione analitica delle
applicazioni ortogonali, applicazioni ortogonali speciali e non speciali.
Diagonalizzazione ortogonale: endomorfismi di uno spazio vettoriale euclideo e matrici quadrate
reali ortogonalmente diagonalizzabili. Endomorfismi simmetrici e loro caratterizzazione. Equivalenza
tra endomorfismi simmetrici e endomorfismi ortogonalmente diagonalizzabili. Ricerca di una base
ortonormale di autovettori di un endomorfismo simmetrico.
Forme bilineari e quadratiche: forme bilineari di uno spazio vettoriale. Forme bilineari simmetriche
ed antisimmetriche. Rango di una forma bilineare, forma bilineare degenere e non degenere.
Radicale e cono isotropo di una forma bilineare simmetrica. Forme quadratiche. Forma polare di una
forma quadratica. Matrice associata ad una forma quadratica in un riferimento. Riferimenti ortogonali
e Teorema di Lagrange. Forma canonica di una forma quadratica su campo algebricamente chiuso
e su campo reale. Teorema di Sylvester, segnatura di una forma quadratica reale. Teorema di Jacobi
(s.d.). Forme quadratiche reali semidefinite, definite e indefinite e loro caratterizzazioni.
Spazi affini euclidei: spazio affine euclideo associato ad uno spazio vettoriale euclideo, sottospazi
affini e loro dimensione, intersezione e congiungente, formula di Grassmann affine, parallelismo tra
sottospazi, sottospazi sghembi e sottospazi supplementari, sottospazio generato da un numero finito
di punti, punti affinementi indipendenti, riferimenti e riferimenti cartesiani, rappresentazione dei
sottospazi in riferimenti cartesiani. Distanza euclidea, segmenti, retta orientata, angolo tra rette
orientate, perpendicolarità tra rette, teorema di Carnot del coseno e teorema di Pitagora, ortogonalità
tra sottospazi (ortogonalità totale e parziale). Sottospazio totalmente ortogonale ad un dato
sottospazio per un punto assegnato di dimensione massima, proiezione ortogonale e
caratterizzazione come punto di minima distanza, asse di un segmento, riferimenti ortonormali,
distanza e angoli in riferimenti ortonormali, coseni direttori di una retta, ricerca del sottospazio
totalmente ortogonale per un punto in riferimenti ortonormali, distanza di un punto da un iperpiano.
Movimenti di En: definizione di movimento (o isometria), caratterizzazione in termini di applicazioni
ortogonali, proprietà, gruppo dei movimenti, movimenti diretti e inversi, sottogruppo dei movimenti
diretti, sottogruppo delle traslazioni. Simmetrie ortogonali di asse un sottospazio e simmetrie centrali.
Interpretazione geometrica delle isometrie dirette e inverse mediante l’orientamento dello spazio.
Isometrie di E2: espressione analitica delle isometrie dirette e inverse; interpretazione geometrica
delle rotazioni. Glissoriflessioni. Classificazione delle isometrie del piano. Isometrie di E3: isometrie
il cui sottospazio di punti uniti è una retta, forma canonica e classificazione. Interpretazione
geometrica delle rotazioni in E3. Rototraslazioni, teorema di classificazione delle isometrie dirette di
E3, teorema di classificazione delle isometrie inverse di E3 (s.d.). Gruppo delle simmetrie di una
figura piana.
Coniche e quadriche: ampliamento proiettivo del piano euclideo: punti propri e impropri, coordinate
omogenee, equazioni parametriche e ordinarie delle rette in coordinate omogenee. Le coniche del
piano euclideo: definizione di equazione affine e omogenea rappresentativa di una conica, supporto
proprio e improprio di una conica. Matrice associata ad una conica in un riferimento, intersezione tra
una retta ed una conica: rette contenute, secanti, tangenti e esterne. Equazioni di una conica in
riferimenti diversi. Rango di una conica. Coniche specializzate: punti singolari di una conica e
proprietà dei punti singolari. Struttura delle coniche di rango 1 e 2. Coniche non specializzate,
intersezione con la retta impropria: parabole, ellissi e iperboli. Condizioni analitiche per stabilire il
tipo di conica non specializzata. Coniche reali e immaginarie. Polarità definita da una conica non
specializzata, proprietà: biettività, proprietà di reciprocità, caratterizzazione della polare di un punto
del supporto come unica retta tangente. Punti interni e punti esterni ad una conica non specializzata.
Centro di una conica non specializzata. Coniche a centro. Coordinate del centro. Diametri, asintoti,
assi e vertici di una conica non specializzata. La circonferenza. Riduzione a forma canonica delle
coniche non specializzate.
Ampliamento proiettivo di E3: punti propri e impropri, coordinate omogenee, equazioni parametriche
e ordinarie delle rette in coordinate omogenee, equazioni omogenee dei piani, piano improprio e
rette improprie.
Le quadriche dello spazio euclideo: definizione di equazione affine e omogenea rappresentativa di
una quadrica, supporto proprio e improprio di una quadrica. Matrice associata ad una quadrica in un
riferimento. Equazioni di una quadrica in riferimenti diversi. Rango di una quadrica e segno del
determinante. Quadriche specializzate: punti singolari di una quadrica e proprietà dei punti singolari.
Struttura delle quadriche di rango 1 e 2. Quadriche di rango 3: coni e cilindri e loro condizioni
analitiche. Struttura dei coni e dei cilindri come unione di rette. Coni reali e immaginari. Cilindri
parabolici, iperbolici, ellittici a falda reale e ellittici a falda immaginaria. Sezioni di coni e cilindri con
un piano non passante per il punto singolare. Quadriche non specializzate, intersezione con un
piano. Polarità associata ad una quadrica non specializzata, proprietà: biettività, proprietà di
reciprocità, piano polare di un punto della quadrica come piano tangente. Studio della conica sezione
con un piano tangente: punti ellittici e punti iperbolici. Quadriche reali, immaginarie, quadriche reali
a punti ellittici e quadriche reali a punti iperbolici. Conica impropria di una quadrica non singolare:
paraboloidi, iperboloidi e ellissoidi (reali o immaginari). Paraboloidi iperbolici e ellittici, iperboloidi
iperbolici e ellittici. Sezioni di una quadrica non specializzata con un piano non tangente. Condizioni
analitiche per quadriche non specializzate. Centro di una quadrica non specializzata, coordinate del
centro. Piani principali, assi e vertici di una quadrica non specializzata, proprietà di simmetria relative
al centro, ai piani principali e agli assi di una quadrica non specializzata. La sfera. Quadriche di
rotazione. Forme canoniche per le quadriche non degeneri.
Elementi di topologia generale: definizione di spazio topologico, sottoinsiemi aperti e chiusi,
interiore, chiusura, frontiera di un sottoinsieme e proprietà. Esempi di spazi topologici: la topologia
naturale di Rn, la topologia delle semirette di R, topologia cofinita. Intorni, sistemi fondamentali di
intorni. Punti di accumulazione e derivato di un sottoinsieme. Caratterizzazione della chiusura di un
sottoinsieme. Basi e basi locali per una topologia. Sottospazi di uno spazio topologico. Applicazioni
continue, aperte, continuità locale e omeomorfismi. Definizione di spazio metrico, topologia
associata ad una metrica e spazi topologici metrizzabili. Spazi topologici connessi, sottoinsiemi
connessi e proprietà. Spazi connessi e applicazioni continue, invarianza della connessione per
omeomorfismi. Caratterizzazione dei connessi di R come intervalli (s.d.). Connessione per poligonali
in Rn. Spazi topologici compatti e sottospazi compatti. Spazi compatti e applicazioni continue,
invarianza della compattezza per omeomorfismi. Compattezza in Rn: il teorema di Heine-PincherleBorel (s.d.).
TESTI CONSIGLIATI
N. Melone: Introduzione ai metodi dell’Algebra Lineare, Aracne.
C. Gagliardi e L. Grasselli: Algebra lineare e geometria, parte seconda, Progetto Leonardo, società
editrice Esculapio.
M.R. Casali, C. Gagliardi, L. Grasselli: Geometria, Esculapio, Progetto Leonardo
Barani, L. Grasselli, C. Landi: Algebra Lineare e Geometria: quiz ed esercizi commentati e
svolti. Esculapio, Progetto Leonardo. E. Sernesi: Geometria 2, Bollati Boringhieri.