2012/13 - Dipartimento di Matematica e Informatica

UNIVERSITA’ DI CATANIA – DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corso di Laurea in Matematica – Anno Accademico 2012/13
Programma di Geometria II
1) Prodotto scalare reale o complesso, insiemi ortogonali ed ortonormali, basi: metodo di Gram-Schmidt.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza triangolare. Spazi ortogonali, proprietà. Applicazioni
che conservano il prodotto scalare, matrici unitarie ed ortogonali, loro proprietà. Matrici ortogonali
speciali, loro significato geometrico.
2) Endomorfismi autoaggiunti, proprietà dei loro autovalori e degli autospazi. Matrici associate. Teorema
spettrale, applicazioni. Forme bilineari, matrici associate. F. b. simmetriche, loro forma canonica,
segnatura, teorema di Sylvester.
3) Coniche affini, definizione, equazioni. Coniche spezzate. La circonferenza, sua equazione, punti ciclici,
sue caratterizzazioni. Cambiamenti del sist. di rif., rototraslazioni. Equazioni ridotte, rango di B. Ellisse,
iperbole, parabola, studio analitico. Iperbole equilatera, parabola particolare. Centro di simmetria,
vertice della parabola, studio di una conica assegnata.Coniche per cinque punti, fascio di coniche. Punti
base, ricerca di un fascio di coniche nei vari casi. Studio di un fascio di coniche. Polarità, sue proprietà.
Teorema di reciprocità, sue applicazioni. Involuzione delle rette coniugate, involuzione dei punti coniugati.
Diametri, assi, asintoti. Direttrici.
4) Le quadriche nello spazio affine, definizione, loro equazioni. Quadriche spezzate. La sfera, sue proprietà.
Cerchio assoluto, circonferenze nello spazio. Vertici di una quadrica, proprietà, ricerca di vertici e rango
di B. Coni e cilindri, loro sezioni. Classificazione dei cilindri. Direttrici e generatrici. Quadriche
non degeneri, equazioni ridotte. Equazioni canoniche e forma delle quadriche non degeneri: ellissoidi,
iperboloidi, paraboloidi. Sezioni piane. Rette tangenti. Piano tangente, sua equazione. Sezione delle
quadriche irriducibili col piano tangente, classificazione dei punti. Polarità rispetto ad una quadrica,
teorema di reciprocità. Rette coniugate. Configurazioni delle rette coniugate. Sezione col piano polare,
cono e cilindro circoscritto, sua equazione.
5) Proprietà dei polinomi, polinomi omogenei. Formula di Eulero. Omogeneizzazione e deomogeneizzazione. Riducibilità dei polinomi omogenei in k[x, y]. Risultante di due polinomi. Discriminante, radici
multiple. Generalizzazioni del risultante. Zeri di un polinomio, decomposizioni.
6) Ipersuperficie affini, loro equazioni. Componenti e decomposizione del polinomio. Ipersuperficie
quadriche. Ipersuperficie proiettive, quadriche. Ipersuperficie deomogeneizzata e viceversa. Intersezione
con una retta, molteplicità di intersezione. Punti singolari. Invarianza proiettiva. Molteplicità di un
punto, singolarità nell’origine, ricerca dei punti singolari: caso affine e caso proiettivo. Caratterizzazione
(teorema) dei punti multipli. Cono tangente in un punto, sua equazione. Sistemi lineari di ipersuperficie,
loro costruzione. Dimensione di un s. l.
7) La Grassmanniana delle rette di P3 , coordinate plükeriane. La quadrica di Klein. Corrispondenza
rette–punti, alcune proprietà.
8) Curve del piano proiettivo, singolarità. Numero massimo di singolarità. Curve irriducibili, numero
massimo di singolarità. Curve razionali, loro equazioni parametriche. Curve sub-aggiunte di ordine n − 2.
Razionalità delle curve irriducibili. Polarità rispetto ad una curva. Teorema di reciprocità. Prima polare
e tangenti, componenti comuni con la prima polare. Rette tangenti per un punto. Prima formula di
Plüker. Flessi di una curva. Conica polare, caratterizzazione dei flessi. Curva Hessiana, sue proprietà.
Le cubiche irriducibili, loro equivalenza proiettiva: cubica nodale, cuspidale, liscia. Gruppo su una cubica.
Testi consigliati
S. Giuffrida, A. Ragusa: Corso di Algebra Lineare. Il Cigno Galileo Galilei, Roma, 1998.
S. Giuffrida: Esercizi vari, compiti assegnati e compiti svolti. Materiale didattico disponibile nel sito
http://www.dmi.unict.it/∼geometria/giuffrida/indexgiuffrida.htm
G. Paxia: Lezioni di Geometria. Spazio Libri, Catania, 2000
E. Sernesi: Geometria I, Bollati Borenghieri, Torino.