prel_geo4_0708 - Dipartimento di Matematica e Informatica

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI TRIESTE
Dipartimento di Matematica e Informatica
Via Valerio 12/1
34127 Trieste
Corso di Laurea in Matematica
Programma preliminare del corso di GEOMETRIA 4 - a.a. 2007/08
Prof. Emilia Mezzetti
Quadriche
Quadriche. Relazioni con le forme bilineari simmetriche. Rango di una quadrica. Classificazione
proiettiva delle quadriche su un campo algebricamente chiuso e sul campo reale. Coniugio rispetto
ad una quadrica. Iperpiano polare. Polarità rispetto ad una quadrica. Coni. Intersezione quadricaretta su K campo algebricamente chiuso. Punti singolari. Rette tangenti. Iperpiano tangente in un
punto semplice. Interpretazione geometrica dell'iperpiano polare. Coniche a centro e parabole.
Classificazione affine delle coniche su un campo algebricamente chiuso e sul campo reale.
Classificazione euclidea delle coniche. Gli esempi più importanti di condizione lineare per le
coniche.
Curve algebriche piane
Curve algebriche piane affini e proiettive. Intersezione curva-retta nel piano affine e proiettivo su
un campo algebricamente chiuso; molteplicità d'intersezione. Molteplicità di un punto su una curva.
Punti semplici e punti singolari. Determinazione dei punti singolari. Tangente ad una curva in un
suo punto semplice e rette tangenti in un punto singolare; punti multipli ordinari. Formula di Eulero.
Flessi. Curva hessiana. Determinazione dei flessi. Teorema di Bézout (senza dim.). Forma normale
di Weierstrass dell'equazione di una cubica. L'invariante j.
Curve regolari in R3
Curve regolari in R3. Parametro lunghezza d’arco. Retta tangente. Curvatura. Piano osculatore.
Versori tangente, normale e binormale. Torsione. Formule di Frenet. Curve a curvatura o a torsione
costante nulla. Forma canonica locale. Calcolo dell'apparato di Frenet. Circolo osculatore. Il
teorema fondamentale della teoria locale delle curve. Trasformata di una curva in un'isometria di
R3. Confronto fra gli apparati di Frenet di curve congruenti. Teorema di esistenza, e unicità a meno
di congruenza, di una curva con curvatura e torsione assegnate.
Superfici regolari in R3
Superfici parametrizzate. Superfici regolari. Criteri di regolarità: parametrizzazione di Monge,
superfici di livello. Piano tangente. Funzioni differenziabili su una superficie. Campi vettoriali su
una superficie. Applicazioni differenziabili e diffeomorfismi tra superfici. Cambiamento di
coordinate locali. Differenziale di un’applicazione differenziabile tra superfici. Versore normale.
Campo vettoriale normale. Superfici orientabili. Il nastro di Moebius. Prima forma fondamentale.
Area di una regione di superficie.
Mappa di Gauss. Operatore forma. Seconda forma fondamentale. Curvatura normale di una curva
contenuta in una superficie, teorema di Meusnier. Direzioni e curvature principali, curvatura
gaussiana e curvatura media. Loro espressioni in coordinate locali. Sezioni normali. Formula di
Eulero per la curvatura normale. Classificazione dei punti di una superficie. Direzioni asintotiche.
Superfici rigate, rigate sviluppabili. Superfici di rotazione. Curve asintotiche. Linee di curvatura.
Superfici minime. Superfici i cui punti sono tutti ombelichi. Geodetiche.
Testi di riferimento
E. Sernesi: Geometria 1, Boringhieri
M.P. Do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, 1976
A. Maschietti, Lezioni di Geometria, Esercizi di Geometria, Aracne, 1993