Esercizi del 26

Esercizi del 26- 11-2014
1. Sia Fh la seguente famiglia di funzioni lineari di R3 in sé :
fh : ( x,y,z)  R3 
( 2x-y+z , -hx-z , x-y )  R3
Si stabilisca per quale valore di h la funzione fh è simmetrica.
Si determini per tale funzione simmetrica una base ortogonale di autovettori.
2. Una quadrica reale Q ha sul piano improprio la seguente conica
 :
x 2 - y2 = 0

t = 0
x 2 - y2 = 0
ed è intersecata dal piano z=0 nella seguente conica ɣ : 
z = 0
Si dica che tipo di quadrica può essere Q.
Se Q contenesse il punto proprio A di coordinate omogenee (1 , 1 , 3 ,1 ) Q
sarebbe determinata ? Si giustifichino le proprie risposte.
3. Si munisca l’insieme R2 delle coppie ordinate di numeri reali della topologia
A i cui aperti sono il vuoto , R2 e tutti i sottoinsiemi Ab così definiti :
Ab = ] b , +  [ x ] b , +  [ con b > 1.
Si denoti con S1 lo spazio topologico ( R2 , A ). Si denoti con S2 lo spazio
topologico ( R , N ) ottenuto munendo R della topologia naturale N.
Si consideri il sottoinsieme Y = [ -1, 3 ] x R
Si calcoli la chiusura , l’interiore ed il derivato di Y in S1 .
Si consideri la successione
xn = (
3
,
n
3
)
n
nN
e si cerchino i punti di convergenza in S1 .
Si stabilisca se lo spazio S1 è di Hausdorff e se è N2 .
Si consideri la funzione
f : (x ,y)  R2  x  R
e si stabilisca se è continua quando agisce tra S1 ed S2 .