1 In una scatola ci sono 120 semi di cui 80 sono di una certa specie

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In una scatola ci sono 120 semi di cui 80 sono di una certa specie di pianta (che chiamiamo di tipo
A) e 40 di un’altra specie di pianta (che chiamiamo di tipo B). Sappiamo che i semi di tipo A germinano con
successo nel 60% dei casi e quelli di tipo B nel 90% dei casi. A) Scegliendo un seme a caso, che probabilità c’è
che questo germini? B) Sapendo che un dato seme è germinato, che probabilità c’è che sia della pianta di
tipo A?
Indicando con p(A) (risp. p(B)) la probabilità che un seme, estratto a caso, sia della pianta di tipo A (risp. B),
si ha: p(A) = 80/120 = 2/3 e p(B) = 40/120 = 1/3.
Gli altri dati che conosciamo sono p(G|A) = 60% = 3/5 e p(G|B) = 90% = 9/10, dove abbiamo indicato con G
l’evento che indica che un seme germina.
A) A e B sono eventi incompatibili, quindi:
p(G) = p(GA)+p(GB) = p(G|A)p(A) + p(G|B)p(B) =
= 2/3 × 3/5 + 1/3 ×9/10 = 7/10
B) la probabilità richiesta è p(A|G) = p(GA)/p(G) = (2/5)/(7/10) = 4/7.
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X è una variabile aleatoria continua, limitata, uniforme sull’intervallo [1,3].
a) determinare la funzione densità di probabilità;
b) determinare la funzione distribuzione di probabilità;
c) determinare media e varianza di X.
a) La funzione densità di probabilità fX relativa alla variabile aleatoria uniforme X è una funzione che vale 0
al di fuori dell’intervallo [1,3] e su questo intervallo è una costante; questa costante deve essere tale che
l’integrale sull’intervallo [1,3] valga 1, quindi fX è definita da:
fX (t) = 0
se t1 oppure t3
fX (t) = ½
se 1t3
b) La funzione distribuzione di probabilità FX relativa alla variabile aleatoria uniforme X è una funzione
lineare sull’intervallo [1,3], che vale costantemente 0 sulla semiretta ]-,1] e vale costantemente 1 sulla
semiretta ]3,+[. Quindi FX è definita da:
FX(t) = 0
se t1
FX(t) = ½(t-1) se 1t3
FX(t) = 1
se t3
c) Si tratta di una variabile aleatoria limitata e uniforme, quindi la media non è altro che il punto medio
dell’intervallo su cui X è assegnata, dunque μX= 2.
La varianza è l’integrale, sull’intervallo [1,3] della funzione ½ (x-2)2. Si ottiene Var(X)= 1/3.
In alternativa, si può applicare la formula Var(X) = (b-a)2/12, che esprime la varianza di una variabile
aleatoria limitata e uniforme sull’intervallo [a,b].
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In una scatola ci sono 200 semi di cui 150 sono di una certa specie di pianta (che chiamiamo di tipo
A) e 50 di un’altra specie di pianta (che chiamiamo di tipo B). Sappiamo che i semi di tipo A germinano con
successo nel 50% dei casi e quelli di tipo B nel 75% dei casi. A) Scegliendo un seme a caso, che probabilità c’è
che questo germini? B) Sapendo che un dato seme è germinato, che probabilità c’è che sia della pianta di
tipo A?
Indicando con p(A) (risp. p(B)) la probabilità che un seme, estratto a caso, sia della pianta di tipo A (risp. B),
si ha: p(A) = 150/200 = 3/4 e p(B) = 50/200 = 1/4.
Gli altri dati che conosciamo sono p(G|A) = 50% = 1/2 e p(G|B) = 75% = 3/4, dove abbiamo indicato con G
l’evento che indica che un seme germina.
B) A e B sono eventi incompatibili, quindi:
p(G) = p(GA)+p(GB) = p(G|A)p(A) + p(G|B)p(B) =
= 3/4 ×1/2 + 1/4 ×3/4 = 9/16
B) la probabilità richiesta è p(A|G) = p(GA)/p(G) = (3/8)/(9/16) = 2/3.
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X è una variabile aleatoria continua, limitata, uniforme sull’intervallo [3,5].
a) determinare la funzione densità di probabilità;
b) determinare la funzione distribuzione di probabilità;
c) determinare media e varianza di X.
a) La funzione densità di probabilità fX relativa alla variabile aleatoria uniforme X è una funzione che vale 0
al di fuori dell’intervallo [3,5] e su questo intervallo è una costante; questa costante deve essere tale che
l’integrale sull’intervallo [3,5] valga 1, quindi fX è definita da:
fX (t) = 0
se t3 oppure t5
fX (t) = ½
se 3t5
b) La funzione distribuzione di probabilità FX relativa alla variabile aleatoria uniforme X è una funzione
lineare sull’intervallo [3,5], che vale costantemente 0 sulla semiretta ]-,3] e vale costantemente 1 sulla
semiretta ]5,+[. Quindi FX è definita da:
FX(t) = 0
se t3
FX(t) = ½(t-3) se 3t5
FX(t) = 1
se t5
c) Si tratta di una variabile aleatoria limitata e uniforme, quindi la media non è altro che il punto medio
dell’intervallo su cui X è assegnata, dunque μX= 4.
La varianza è l’integrale, sull’intervallo [3,5] della funzione ½ (x-4)2. Si ottiene Var(X)= 1/3.
In alternativa, si può applicare la formula Var(X) = (b-a)2/12, che esprime la varianza di una variabile
aleatoria limitata e uniforme sull’intervallo [a,b].
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In una scatola ci sono 180 semi di cui 120 sono di una certa specie di pianta (che chiamiamo di tipo
A) e 60 di un’altra specie di pianta (che chiamiamo di tipo B). Sappiamo che i semi di tipo A germinano con
successo nel 90% dei casi e quelli di tipo B nel 60% dei casi. A) Scegliendo un seme a caso, che probabilità c’è
che questo germini? B) Sapendo che un dato seme è germinato, che probabilità c’è che sia della pianta di
tipo A?
Indicando con p(A) (risp. p(B)) la probabilità che un seme, estratto a caso, sia della pianta di tipo A (risp. B),
si ha: p(A) = 120/180 = 2/3 e p(B) = 60/180 = 1/3.
Gli altri dati che conosciamo sono p(G|A) = 90% = 9/10 e p(G|B) = 60% = 3/5, dove abbiamo indicato con G
l’evento che indica che un seme germina.
C) A e B sono eventi incompatibili, quindi:
p(G) = p(GA)+p(GB) = p(G|A)p(A) + p(G|B)p(B) =
= 2/3 × 9/10 + 1/3 ×3/5 = 4/5.
B) la probabilità richiesta è p(A|G) = p(GA)/p(G) = (3/5)/(4/5) = 3/4.
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X è una variabile aleatoria continua, limitata, uniforme sull’intervallo [1,5].
a) determinare la funzione densità di probabilità;
b) determinare la funzione distribuzione di probabilità;
c) determinare media e varianza di X.
a) La funzione densità di probabilità fX relativa alla variabile aleatoria uniforme X è una funzione che vale 0
al di fuori dell’intervallo [1,5] e su questo intervallo è una costante; questa costante deve essere tale che
l’integrale sull’intervallo [1,5] valga 1, quindi fX è definita da:
fX (t) = 0
se t1 oppure t5
fX (t) = ¼
se 1t5
b) La funzione distribuzione di probabilità FX relativa alla variabile aleatoria uniforme X è una funzione
lineare sull’intervallo [1,5], che vale costantemente 0 sulla semiretta ]-,1] e vale costantemente 1 sulla
semiretta ]5,+[. Quindi FX è definita da:
FX(t) = 0
se t1
FX(t) = ¼ (t-1) se 1t5
FX(t) = 1
se t5
c) Si tratta di una variabile aleatoria limitata e uniforme, quindi la media non è altro che il punto medio
dell’intervallo su cui X è assegnata, dunque μX= 3.
La varianza è l’integrale, sull’intervallo [1,5] della funzione ¼(x-3)2. Si ottiene Var(X)= 4/3.
In alternativa, si può applicare la formula Var(X) = (b-a)2/12, che esprime la varianza di una variabile
aleatoria limitata e uniforme sull’intervallo [a,b].