TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 1 TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI
1
TRIGONOMETRIA
Introduzione
La trigonometria è la parte della matematica che studia le relazioni tra gli angoli e i lati di un
triangolo. A partire dai primi anni del XIX secolo, per merito del matematico J.B. Fourier, la
trigonometria si è rivelata molto utile anche per la descrizione di tutti i fenomeni ondulatori, tra cui i
fenomeni acustici.
Definizione di circonferenza goniometrica
Dato un sistema di assi cartesiani, una circonferenza goniometrica è una circonferenza con centro
nell'origine e raggio uguale a 1.
O
Mediante la circonferenza goniometrica, si può definire il concetto di angolo orientato, ossia un
angolo che può avere sia misura positiva che negativa.
Mostriamo quindi come su di una circonferenza goniometrica si definiscono gli angoli orientati.
Consideriamo un punto P sulla circonferenza e la semiretta OP
Semiretta OP
P
O
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Consideriamo ancora il punto Q di intersezione tra la circonferenza e la parte positiva dell'asse x.
P
Q
O
La semiretta OP definisce due angoli: un angolo α ed un angolo β, nel seguente modo:
se noi, partendo dal punto Q e camminando sulla circonferenza, raggiungiamo il punto P
procedendo in senso antiorario, allora descriviamo l'angolo α, che, per definizione è positivo; se
invece, partendo nuovamente dal punto Q, camminando sulla circonferenza, raggiungiamo il punto
P procedendo in senso orario, definiamo l'angolo β, che, per definizione, è negativo.
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In definitiva, per convenzione, un angolo sulla circonferenza goniometrica è positivo se, per
descriverlo si procede in senso antiorario.
Viceversa, un angolo è negativo se per descriverlo si procede in senso orario.
Esempio
Nella figura seguente il punto P definisce un angolo di 90° e un altro angolo di -270°
Osservazione 1
Per definire un angolo di 0 gradi, occorre che il punto P si sovrapponga al punto Q.
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Osservazione 2
Un giro completo in senso antiorario, partendo da Q e arrivando a P coincidente con Q, definisce un
angolo di 360 gradi.
Osservazione 3
Un giro completo in senso orario, partendo da Q e arrivando a P coincidente con Q, definisce un
angolo di -360 gradi.
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Osservazione 4
È possibile anche definire angoli maggiori di 360°. Ad esempio, un angolo di 390 gradi si definisce
partendo da Q, facendo dapprima un giro completo sulla circonferenza in senso antiorario
(tracciando così un angolo di 360°) e poi continuando a camminare tracciando un ulteriore angolo
di 30 gradi.
Allo stesso modo, procedendo in senso orario, è possibile definire angoli minori di -360°.
Seno e coseno
Definizione di seno.
Dato un angolo α, fissato da un punto P sulla circonferenza goniometrica, si definisce seno di α (e
si scrive sen(α)) l'ordinata del punto P.
sen(α) = ordinata di P
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Osservazione
Denotiamo con H la proiezione di P sull'asse x.
Allora, se α è compreso tra 0° e 180° (o, in altro parole, se il punto P sta sulla circonferenza al di
sopra dell'asse x), allora sen(α) coincide proprio con la lunghezza del segmento PH.
Se invece l'angolo α è compreso tra 180° e 360° (in altre parole, se il punto P si trova sulla
semicirconferenza al di sotto dell'asse x), allora sen(α) è un numero negativo ed è uguale
all'opposto della lunghezza di PH.
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In particolare si ha:
1) Se α = 0 allora il punto P sta sull'asse x (e coincide con il punto Q e con H), quindi P ha ordinata
uguale a zero. Si ha perciò sen(0°) = 0
2) Se α è compreso tra 0° e 90° (ossia 0° < α < 90°) allora sen(α) è un numero maggiore di zero e
minore di 1 (ossia 0 < sen(α) < 1)
3) Se α = 90°, allora il punto P sta sull'asse y (e il punto H coincide con l'origine). Poiché il raggio
della circonferenza goniometrica è 1, allora P ha ordinata 1, quindi sen(90°) = 1.
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4) Se α è compreso tra 90° e 180° (ossia 90° < α < 180°), sen(α) è nuovamente compreso tra 0 e 1
(ossia 0 < sen(α) < 1)
5) Se α = 180°, allora il punto P sta sull'asse x (e il punto H coincide con P). Quindi P ha ordinata 0,
ossia sen(180°) = 0.
6) Se α è compresa tra 180° e 270° (ossia 180°< α < 270°), sen(α) è compreso tra -1 e 0 (ossia
-1 < sen(α) < 0)
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7) Se α = 270°, allora il punto P sta sull'asse y al di sotto dell'asse x (e il punto H coincide con
l'origine). Il punto P ha ordinata -1, quindi sen(270°) = -1.
8) Se α è compresa tra 270° e 360° (ossia 270°< α < 360°), allora sen(α) è compreso tra -1 e 0
(ossia -1 < sen(α) < 0).
9) Se α = 360°, allora il punto P sta sull'asse x (e coincide con il punto Q). Quindi ci troviamo nella
stessa situazione di α = 0°, perciò sen(360°) = 0.
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Definizione di coseno.
Dato un angolo α, fissato da un punto P sulla circonferenza goniometrica, si definisce coseno di α
(e si scrive cos(α)) l'ascissa del punto P.
cos(α) = ascissa di P
Osservazione
Denotiamo con H la proiezione di P sull'asse x.
Se α è compreso tra 0° e 90° oppure tra 270° e 360° (o, in altro parole, se il punto P sta sulla
semicirconferenza alla destra dell'asse y), allora cos(α) coincide proprio con la lunghezza del
segmento OH.
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Se invece l'angolo α è compreso tra 90° e 270° (in altre parole, se il punto P si trova sulla
semicirconferenza alla sinistra dell'asse y), allora cos(α) è un numero negativo ed è uguale
all'opposto della lunghezza di OH.
In particolare si ha:
1) Se α = 0 allora il punto P sta sull'asse x (e coincide con i punti Q ed H), quindi P ha ascissa
uguale a uno. Si ha perciò cos(0°) = 1
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2) Se α è compreso tra 0° e 90° (ossia 0° < α < 90°) allora cos(α) è uguale alla lunghezza del
segmento OH ed è un numero maggiore di zero e minore di 1 (ossia 0 < cos(α) < 1)
3) Se α = 90°, allora il punto P sta sull'asse y. Poiché il punto H coincide con l'origine, allora P ha
ascissa uguale a 0, quindi cos(90°) = 0.
4) Se α è compresa tra 90° e 180° (ossia 90° < α< 180°), il punto P si trova alla sinistra dell'asse y,
quindi ha ascissa negativa. Si ha perciò che cos(α) è uguale all'opposto della lunghezza di OH ed è
compreso tra -1 e 0 (ossia -1 < cos(α) < 0)
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5) Se α = 180°, allora il punto P sta sull'asse x alla sinistra dell'asse y (e il punto H coincide con P).
Quindi P ha ascissa -1, ossia cos(180°) = -1.
6) Se α è compresa tra 180° e 270° (ossia 180°< α < 270°), allora il punto P sta alla sinistra
dell'asse y ed ha ascissa negativa. Quindi cos(α) è uguale all'opposto della lunghezza di OH ed è
compreso tra -1 e 0 (ossia -1 < cos(α) < 0)
7) Se α = 270°, allora il punto P sta sull'asse y (e il punto H coincide con l'origine). Il punto P ha
ascissa uguale a zero, quindi cos(270°) = 0.
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8) Se α è compresa tra 270° e 360° (ossia 270°< α < 360°), allora il punto P, essendo alla destra
dell'asse y, ha ascissa positiva. Quindi cos(α) è uguale alla lunghezza di OH ed è compreso tra 0 e 1
(ossia 0 < cos(α) < 1).
9) Se α = 360°, allora il punto P sta sull'asse x (e coincide con i punti H e Q). Quindi ci troviamo
nella stessa situazione di α = 0°, perciò cos(360°) = 1.
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OSSERVAZIONE
Si noti che due angoli che differiscono di 360 gradi, ossia l'angolo α e l'angolo β = (360°+ α),
implicano la stessa posizione del punto P.
In altre parole, l'ascissa e l'ordinata del punto P sono le stesse per i due angoli α e β. Quindi
sen(α) = sen(360°+α) e cos(α) = cos(360°+α).
Questo significa che, sia i valori del seno sia quelli del coseno non cambiano se aumentiamo
l'angolo di 360 gradi o di un multiplo di 360°. In parole povere, possiamo dire che i valori del seno
e del coseno si ripetono ogni 360 gradi. Per questo si dice che il seno e il coseno sono due funzioni
periodiche di periodo 360°. Più avanti spiegheremo perché il seno ed il coseno possono considerarsi
funzioni.
Angoli in radianti
In molte applicazioni della trigonometria, specialmente in quelle di acustica, è preferibile esprimere
gli angoli in radianti (e non in gradi sessagesimali come abbiamo fatto fino ad ora).
Definizione di misura in radianti
Consideriamo un angolo α definito da un punto P in una circonferenza goniometrica, e denotiamo
con Q l'intersezione tra il semiasse positivo dell'asse x e la circonferenza goniometrica.
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Allora, la misura in radianti dell'angolo α è la lunghezza dell'arco di circonferenza sotteso dai punti
P e Q.
Esempio 1
L'angolo che misura un radiante è l'angolo che corrisponde ad un arco di lunghezza 1 su di una
circonferenza goniometrica.
Esempio 2
L'angolo di 360° equivale a 2π radianti. Infatti l'arco corrispondente ad un angolo di 360 gradi
corrisponde a tutta la circonferenza goniometrica, quindi la misura in radianti di un angolo di 360° è
per definizione la lunghezza di tutta la circonferenza goniometrica, ossia 2π.
Infatti, in generale, in un cerchio qualsiasi di raggio r, la circonferenza è lunga 2π r, ma, la
circonferenza goniometrica, avendo raggio 1, è lunga 2π.
Per passare dai sessagesimali ai radianti e viceversa
Per passare dalla misura in sessagesimali alla misura in radianti e viceversa, occorre fare una
proporzione di questo tipo:
(angolo in sessagesimali) : 360° = (angolo in radianti) : 2π
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Esempio 1
Supponiamo di voler calcolare qual è la misura in radianti di un angolo di 30°. Applichiamo la
suddetta proporzione ponendo come incognita la misura dell'angolo in radianti.
30° : 360 = x : 2π
da cui si ha:
x=
30 2π
360
e, semplificando, si ricava
x=
π
6
Quindi, un angolo di 30 gradi sessagesimali corrisponde ad un angolo di
π
6
radianti.
Esempio 2
Supponiamo di voler calcolare qual è la misura in sessagesimali di un angolo di 2.5 radianti.
Applichiamo la proporzione ponendo come incognita la misura dell'angolo in sessagesimali.
x : 360 = 2.5 : 2π
da cui si ha:
x=
Da ciò si ricava
2.5 360
2π
x = 143.2394...
Osservazione
Dalla proporzione è facile ricavare le seguenti relazioni che è importante ricordare:
1) 90 gradi sessagesimali equivalgono a
π
radianti.
2
2) 180 gradi sessagesimali equivalgono a π radianti.
3
3) 270 gradi sessagesimali equivalgono a
π radianti.
2
4) 360 gradi sessagesimali equivalgono a 2 π radianti.
Le funzioni seno e coseno
Il seno e il coseno sono delle funzioni reali. Infatti sono delle "leggi" che ad un numero (che
rappresenta la misura di un angolo), associano un altro numero (che rappresenta il valore del seno o
del coseno).
Ad esempio, esprimendo gli angoli in sessagesimali, il seno è una funzione che:
a 0 fa corrispondere 0 (perché sen(0°) = 0);
a 90° fa corrispondere 1 (perché sen(90°) = 1);
a 180° fa corrispondere 0 (perché sen(180°) = 1);
a 270° fa corrispondere -1 (perché sen(270°) = -1);
e così via.
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Il periodo delle funzioni seno e coseno
Abbiamo già detto che i valori del seno e del coseno di un angolo non cambiano se a quest'angolo si
somma un angolo di 360 gradi (ossia di 2 π radianti).
In altre parole:
cos(α) = cos(α + 360°)
sen(α) = sen(α + 360°),
oppure, nel caso in cui l'angolo α sia espresso in radianti:
sen(α) = sen(α + 2π),
cos(α) = cos(α + 2π)
Ciò si esprime dicendo che il seno e il coseno sono due funzioni periodiche di periodo 360°, oppure,
se si preferisce, il seno e il coseno sono due funzioni periodiche di periodo 2π radianti.
I grafici del seno e del coseno: la sinusoide e la cosinusoide
Consideriamo un sistema di assi cartesiani in cui in ascissa sia riportata la misura degli angoli
espressa in radianti.
Sapendo che:
1) sen(0) = 0
π 
π 
(poiché sen   = sen(90°) )
2) sen   = 1
2
2
3) sen π = 0
(poiché sen π = sen(180°) )
3 
3 
(poiché sen  π  = sen(270°) )
4) sen  π  = -1
2 
2 
(poiché sen(2 π) = sen(360°) )
5) sen(2 π) = 0
Considerando anche tutti i valori intermedi, si può verificare che il grafico del seno (detto
sinusoide) è il seguente:
Analogamente, si può verificare che il grafico del coseno (detto cosinusoide) è il seguente:
Si noti che la cosinusoide si differenzia dalla sinusoide solamente per una traslazione orizzontale: la
cosinusoide appare come una sinusoide traslata di
π
2
verso sinistra.
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Confrontando la sinusoide e la cosinusoide solamente lungo il periodo da 0 a 2π, si può notare che
la sinusoide ha la forma di una "S" rovesciata e coricata, mentre la cosinusoide è simile ad una
coppa. Questa considerazione può essere un utile ausilio per la memorizzazione di questi due
grafici.
Applicazioni della trigonometria all'acustica
Quest'ultimo argomento sarà solamente accennato, in quanto, un suo studio sistematico, benché sia
di grande interesse dal punto di vista musicale, esulerebbe dagli obiettivi di questo breve corso.
La funzione onda sinusoidale
La funzione onda sinusoidale è la seguente:
y(t) = A sen(2 π f t + φ )
(dove t rappresenta il tempo espresso in secondi).
In questo paragrafo spiegheremo il suo significato dal punto di vista matematico e acustico.
Premettiamo che il parametro "A" si chiama ampiezza, il parametro f si chiama frequenza e il
parametro φ si chiama fase.
Per spiegare il significato dei diversi parametri (e in particolare di "A") che appaiono nella funzione
onda sinusoidale, cominciamo con un esempio più semplice: spieghiamo il significato della
seguente funzione onda:
y(t) = sen(t)
Dato che "t" rappresenta il tempo espresso in secondi, questa funzione è una "legge" che, ad ogni
istante temporale (ossia ad ogni valore di t) associa un numero: lo stesso numero che assocerebbe la
funzione seno nel caso in cui "t" rappresentasse un angolo espresso in radianti.
Praticamente, il grafico della funzione y = sen(t) è esattamente una sinusoide, anche se:
1) i valori di "t" rappresentano istanti temporali e non misure di angoli;
2) i valori delle ordinate rappresentano delle quantità fisiche (nel caso delle onde acustiche,
rappresentano le oscillazioni della pressione atmosferica in conseguenza di un suono) e non
l'ordinata di un dato punto P sulla circonferenza goniometrica.
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Notare che, poiché il seno è una funzione periodica di periodo 2π, allora quest'onda rappresenta una
quantità fisica che si ripete identicamente ogni 2π secondi. In altre parole, l'onda y(t) = sen(t) ha il
periodo di 2π secondi.
Si noti ancora che, poiché il seno è una funzione i cui valori sono compresi tra -1 e 1, questa
particolare funzione onda (qualunque sia la sua interpretazione fisica) rappresenta una quantità
fisica che varia tra -1 e 1 ogni 2π( = 6.28) secondi.
Ampiezza
Facciamo ora un esempio appena più complicato. Studiamo la funzione
y(t) = 3 sen(t)
π
3
In questo caso, se t = , allora la funzione vale 3, mentre se t = π , allora la funzione vale -3.
2
2
Il grafico è il seguente:
TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI
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Si noti come questo grafico, benché sia simile alla sinusoide, rispetto ad essa, appaia "stirato
verticalmente".
Poiché i valori di quest'onda variano da -3 a 3, si dice che l'ampiezza dell'onda è uguale a 3.
In generale: sia A un numero qualsiasi positivo (in realtà potrebbe essere anche negativo, ma
preferiamo non complicare il discorso). Allora la funzione
y(t) = A sen(t)
è simile alla sinusoide, ma invece di oscillare da -1 ad 1, oscilla da -A ad A. Il numero A si chiama
ampiezza dell'onda. Dal punto di vista grafico, l'ampiezza è la distanza tra l'asse x e un picco
massimo della funzione.
Se stiamo trattando un'onda sonora, l'ampiezza regola l'intensità del suono. Maggiore è l'ampiezza
dell'onda e più forte il suono viene percepito.
Frequenza
Per spiegare il significato del parametro "f" nella funzione d'onda, consideriamo il seguente
esempio:
y(t) = sen(2 π t).
Notiamo che:
se
.t = 0, la funzione è uguale a
sen(2 π 0) = sen(0) = 0
1
1
π
se
t= ,
la funzione è uguale a
sen(2 π ) = sen( ) = 1
4
4
2
1
1
la funzione è uguale a
sen(2 π ) = sen(π) = 0
se
t= ,
2
2
3
3
3
se
t= ,
la funzione è uguale a
sen(2 π ) = sen( π) = -1
4
4
2
se
t = 1, la funzione è uguale a
sen(2 π 1) = sen(2 π) = 0
Per t maggiore di 1 i valori si ripetono, quindi questa è una funzione di periodo uguale ad un
secondo. In altre parole, la grandezza fisica che la funzione rappresenta ripete gli stessi valori una
volta al secondo. Si tratta perciò di un'onda di frequenza uguale ad 1 Hertz (o più brevemente 1 Hz).
TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI
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Studiamo ora la funzione
y(t) = sen(2 π 3 t).
Notiamo che:
se
.t = 0, la funzione è uguale a
sen(2 π 3 0) = sen(0) = 0
1
1
π
se
t=
,
la funzione è uguale a
sen(2 π 3
) = sen( ) = 1
12
12
2
2
2
se
t=
,
la funzione è uguale a
sen(2 π 3
) = sen(π) = 0
12
12
3
3
3
se
t=
,
la funzione è uguale a
sen(2 π 3
) = sen( π) = -1
12
12
2
4
4
se
t=
,
la funzione è uguale a
sen(2 π 3
) = sen(2 π) = 0
12
12
Poi i valori si ripetono.
4
1
Si ha quindi che, ogni
di secondo (ossia ogni
di secondo) l'onda si ripete identica. In altre
12
3
1
parole, il periodo di quest'onda è di secondo.
3
1
Ma, se ad ogni
di secondo la funzione si ripete ciclicamente, allora, in un secondo, la funzione
3
esegue tre cicli completi. Ciò significa che la frequenza della funzione è 3 Hz.
TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI
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In generale, consideriamo la funzione
y(t) = sen(2 π f t)
dove f è un qualunque valore positivo (in realtà potrebbe essere anche negativo, ma preferiamo non
complicare il discorso).
Allora, ripetendo gli stessi ragionamenti precedenti, si ha un'onda che si ripete identicamente ad
1
ogni
di secondo e, contemporaneamente, in un secondo si ripete identicamente f volte. In altre
f
1
parole, questa è una funzione di frequenza uguale ad f Hz e di periodo uguale ad di secondo.
f
In definitiva: la frequenza di un'onda rappresenta il numero delle volte che la funzione si ripete
identicamente in un secondo. Il periodo invece, rappresenta l'intervallo di tempo espresso in secondi
in cui l'onda effettua un ciclo completo.
Di solito il periodo si esprime con la lettera T.
Si noti dagli esempi precedenti come periodo e frequenza sono l'uno l'inverso dell'altro (ad esempio,
1
se la frequenza è 3, allora il periodo è uguale ad ).
3
La frequenza è dunque l'inverso del periodo (e, viceversa, il periodo è l'inverso della frequenza). Si
hanno così le seguenti relazioni:
1
1
f=
o anche
T=
T
f
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Se consideriamo un'onda sonora, la frequenza è il parametro che indica quanto un suono sia acuto o
grave. Maggiore è la frequenza dell'onda sonora e più acuto è il suono.
Esempio
L'onda y(t) = sen(2 π 440 t) ha frequenza 440 Hz. Se quest'onda rappresenta un suono, esso
corrisponde al La centrale del pianoforte (La del diapason).
Fase
Chiariamo infine il significato del parametro φ, studiando la funzione
y(t) = sen(t +
π
2
)
Notiamo che:
.t = 0, la funzione è uguale a
se
t=
,
la funzione è uguale a
sen(
se
t=π ,
la funzione è uguale a
sen( π +
se
3
t = π,
2
la funzione è uguale a
se
t = 2 π,
la funzione è uguale a
π
2
Poi i valori si ripetono.
sen(0+
π
se
2
) = sen(
π
2
+
π
2
π
)=1
) = sen(π) = 0
2
π
) = sen(
3
π) = -1
2
2
3
π
sen( π + ) = sen(2 π) = -1
2
2
sen(2 π +
π
2
) = sen(
π
2
)=0
Questa eguaglianza è dovuta al fatto che il
seno è una funzione periodica di periodo 2π.
(Si può notare che, in questo caso particolare, questa funzione coincide con il coseno).
TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI
25
Se consideriamo il grafico della funzione, notiamo che differisce dalla sinusoide per il fatto che
appare traslata verso sinistra, cominciando con il valore 1 piuttosto che con lo zero.
Quindi, in termini non rigorosi, possiamo dire che la fase è un numero che indica come comincia
l'onda, ossia indica se all'istante zero la quantità fisica rappresentata dall'onda comincia con il
valore zero o con un altro valore.
Si notino gli esempi nelle due figure seguenti.
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Dal punto di vista acustico, la fase non ha alcun effetto percettivo se si ascolta un'unica onda
sinusoidale. Se però l'onda si somma ad altre onde, allora una differenza di fase può risultare
percepibile all'udito. La fase ha una notevole influenza anche per la localizzazione della sorgente
dei suoni (effetto Haas).
Esempio
La funzione
y = 7 sen(2 π 880 t +
π
3
)
è un'onda con ampiezza uguale a 7, frequenza uguale a 880 Hz e fase uguale a
π
3
. Se questa è
un'onda sonora, produce il La un'ottava sopra al La centrale del pianoforte.
NOTA
Le applicazioni della trigonometria alla musica sono molteplici e di grande importanza musicale.
In realtà, la trigonometria sta alla base di tutte le tecniche di sintesi e di manipolazione dei suoni che
si studiano nei corsi di musica elettronica ma, che, l'esiguità del tempo a nostra disposizione per
questo corso, non ci permette di affrontare.