Introduzione alle geometrie
a-euclidee e non-euclidee
Ancora una riflessione
sui concetti operativi
Cosa si intende per geometria
Il significato è quello dell’etimologia della
parola:
gê (gheo) = “terra” , métron = “ misura”.
La geometria è una teoria metrica delle superfici
e, più in generale, studia le relazioni tra gli
oggetti che possono essere manipolati
dall’uomo senza distruggerli.
Fino a Kant
si è ritenuto che il modo di organizzare la nostra
esperienza geometrica fosse codificato nella
mente secondo le regole esposte negli
elementi di Eulide (IV sec. a.C.)
Gli elementi di Euclide
Presentano:
• definizioni (),
• postulati (),
• nozioni comuni ( ),
• dimostrazioni.
• Si fondano sull’esperienza data dalla
manipolazione umana.
… ad esclusione del quinto postulato:
Date due rette ed una terza retta (trasversale) che le
intersechi entrambe, se in uno dei due semipiani
individuati dalla trasversale la somma degli angoli
coniugati interni è minore di due retti, allora le due
rette, prolungate indefinitamente in quel semipiano,
si incontreranno.
t
Il quinto postulato ci chiede di accettare un infinito in
atto che non può essere verificato con i disegni:
chi ci garantisce che, prolungandole all’infinito, le due
rette si incontrino?
t
Non certo l’esperienza!
Nel corso della storia
Diversi geometri cercarono di dimostrare il V
postulato partendo dai precedenti.
L’ultimo fu Girolamo Saccheri
(Sanremo 1667 – Milano 1733)
con l’opera
“Euclides ab omni naevo vindicatus”
(1733)
E le geometrie a- e non- euclidee?
• Una geometria a-euclidea è una teoria
geometrica che nelle sue deduzioni non
utilizza il V postulato.
• Una geometria non-euclidea è una teoria
geometrica che utilizza al posto del V
postulato di Euclide una proposizione che, con
le stesse premesse, chiede (postula) di
accettare conseguenze diverse (in
contraddizione con) da quelle di Euclide.
??? e il contributo di Saccheri ?
Egli ha commesso degli “errori”.
Per capirli vediamo di presentare alcune
proposizioni equivalenti al V postulato:
• La somma degli angoli interni di un triangolo è un
angolo piatto.
• Esiste un'unica parallela condotta da un punto
dato ad una retta data.
• L’insieme dei punti equidistanti da una retta è
una retta (parallela alla data)
• … (segue il postulato del birettangolo di Saccheri)
Postulato del birettangolo di Saccheri:
“dato un quadrilatero avente due lati congruenti
congiunti perpendicolarmente dal terzo lato,
allora anche gli altri due angoli sono retti”
D
C
A
B
La dimostrazione per assurdo di Saccheri:
Saccheri analizza la figura del bi rettangolo ed
individua le altre due conseguenze possibili
riguardanti gli altri due angoli (congruenti):
D
C
(O) ipotesi dell’angolo ottuso
(A) ipotesi dell’angolo acuto
A
B
Osservazione sul concetto di “linea
retta” di Euclide
4a : “linea retta è una linea che giace
ugualmente rispetto ai suoi punti”.
1° postulato: “Dati due punti distinti possiamo
tracciare una linea retta” facendo scorrere la
matita lungo una corda ben tesa tra essi
(tale linea viene ora chiamata geodetica);
Al posto di una corda, si potrebbe usare un raggio
luminoso che partendo da uno dei due punti
illumini l’altro (o anche un qualunque oggetto
affidabile nel congiungere “dirittamente” i due
punti).
La contraddizione trovata da Saccheri
sviluppando l’ipotesi O)
• deriva dal pensare infinita la linea retta così come
richiesto da Euclide nel 2° postulato: “che sia possibile
prolungare indefinitamente una linea retta finita
(segmento) da ambo le parti”.
• In realtà esistono linee “diritte”, cioè geodetiche, che,
pur essendo illimitate, sono finite: utilizzando una
corda tesa tra due punti della superficie di una sfera ci
si accorge infatti che non è possibile prolungare
indefinitamente la geodetica da essa individuata. La
geometria sulla sfera fa a meno del secondo postulato
rinunciando anche all’unicità della geodetica passante
per due punti distinti (a meno di considerare
coincidenti i punti diametralmente opposti).
La contraddizione trovata da Saccheri
sviluppando l’ipotesi A)
è in realtà una conseguenza che egli ritiene
ripugnante per la mente umana: che per un
punto P non appartenente ad una retta r si
possano tracciare infinite rette ad essa
parallele.
ci sono 2
P
iperparallele
o parallele asintotiche
r
La classificazione di Felix Klein
• La geometria non-euclidea che si sviluppa dall’ipotesi O) è
detta ellittica; quella sferica è un caso particolare in cui la
curvatura dello spazio è costante e positiva;
• La geometria non-euclidea che si sviluppa dall’ipotesi A) è
detta iperbolica; quella pseudosferica è un caso particolare in
cui la curvatura dello spazio è costante e negativa.
• La geometria euclidea è detta parabolica; quella del piano è
un caso particolare in cui la curvatura dello spazio è nulla. Altri
esempi: tutti quelle superfici che, mediante opportuni tagli
finiti possono essere sviluppate su un piano (cilindro infinito,
toro, nastro di Möebius?)
La pseudosfera
L’esempio della geometria sulla sfera
(noi siamo esseri di sphereland)
