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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
2o TEST intermedio - 10.12.2001
cognome
nome
corso di laurea
matricola
(
(
x−y =1
x+y−z =h−1
ESERCIZIO 1. In E3 (R) si considerino le rette r :
ed s :
x−z =1
x=0
Si dica per quali valori del parametro reale h le rette r e s risultano complanari
risposta: (pt. 2)
h=1
e in tal caso si determini un’equazione cartesiana del piano che le contiene.
risposta: (pt. 3)
y=z
Posto h = 2 si determinino una rappresentazione cartesiana della retta t incidente r ed s
e ortogonale ad entrambe (retta di minima distanza),
risposta: (pt. 5)
x=y+z+2=0
e le coordinate dei punti di incidenza.
risposta: (pt. 2)
A = (0, −1, −1), B = (0, −1/2, −3/2)
ESERCIZIO 2. In E3 (R) si determinino:
un’equazione cartesiana del piano tangente alla sfera S : x2 + y 2 + z 2 − 5x = 0 nel punto
P = (1, 0, 2).
risposta: (pt. 2)
3x − 4z + 5 = 0
Una rappresentazione cartesiana della circonferenza C ottenuta sezionando S con il piano
α : x = 1.
risposta: (pt. 1)
x − 1 = x2 + y 2 + z 2 − 5x = 0
Una rappresentazione cartesiana della tangente a C in P .
risposta: (pt. 3)
3x − 4z + 5 = x − 1 = 0
Centro e raggio di C.
risposta: (pt. 4)
C = (1, 0, 0), r = 2
ESERCIZIO 3. In E3 (R) si scriva una rappresentazione cartesiana della circonferenza
descritta dal punto P (0, 1, 1) nella rotazione di asse a : x = y = z.
risposta: (pt. 3)
x + y + z − 2 = x2 + y 2 + z 2 − 2 = 0
ESERCIZIO(4. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della superficie descritta
(
y=1
2x + y = 1
dalla retta r :
nella rotazione di asse a :
x=z+1
x − y = −1
2
2
2
risposta: (pt. 5)
x + y − z − 2y − 2z = 0
e, motivando la risposta, si dica di che superficie si tratta.
risposta: (pt. 2) r e a sono incidenti e non ortogonali, quindi si tratta di un cono quadrico.
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Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
2o TEST intermedio - 10.12.2001
cognome
nome
corso di laurea
matricola
(
(
y+z =k
x+y−z =0
ESERCIZIO 1. In E3 (R) si considerino le rette r :
ed s :
x+z =3
−y + z = 3
Si dica per quali valori del parametro reale k le rette r e s risultano complanari
risposta: (pt. 2)
k = −3
e in tal caso si determini un’equazione cartesiana del piano che le contiene.
risposta: (pt. 3)
2x − y + z − 9 = 0
Posto k = 1 si determinino una rappresentazione cartesiana della retta t incidente r ed s
e ortogonale ad entrambe (retta di minima distanza),
risposta: (pt. 5)
y+z−1=x+y−z =0
e le coordinate dei punti di incidenza.
risposta: (pt. 2)
A = (5/3, −1/3, 4/3), B = (3, −1, 2)
ESERCIZIO 2. In E3 (R) si determinino:
un’equazione cartesiana del piano tangente alla sfera S : x2 + y 2 + z 2 − 2z = 0 nel punto
P = (0, 1, 1).
risposta: (pt. 2)
y=1
Una rappresentazione cartesiana della circonferenza C ottenuta sezionando S con il piano
α : y − z = 0.
risposta: (pt. 1)
x2 + y 2 + z 2 − 2z = y − z = 0
Una rappresentazione cartesiana della tangente a C in P .
risposta: (pt. 3)
y−1=y−z =0
Centro e raggio di C.
√
risposta: (pt. 4)
C = (0, 1/2, 1/2), r = 2/2
ESERCIZIO 3. In E3 (R) si scriva una rappresentazione cartesiana della circonferenza
descritta dal punto P (1, −1, 1) nella rotazione di asse a : x = y = z.
risposta: (pt. 3)
x + y + z − 1 = x2 + y 2 + z 2 − 3 = 0
ESERCIZIO(4. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della superficie descritta
(
y=1
y=0
dalla retta r :
nella rotazione di asse a :
x=z
x+y−z =0
2
2
2
risposta: (pt. 5)
x + 2y + z − 2xz − 2 = 0
e, motivando la risposta, si dica di che superficie si tratta.
risposta: (pt. 2) r e a sono parallele e distinte, quindi si tratta di un cilindro quadrico.
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Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
2o TEST intermedio - 10.12.2001
cognome
nome
corso di laurea
matricola
(
(
x+z =h
x−z =2
ESERCIZIO 1. In E3 (R) si considerino le rette r :
ed s :
x+y+z =0
x+y =2
Si dica per quali valori del parametro reale h le rette r e s risultano complanari
risposta: (pt. 2)
h = −2
e in tal caso si determini un’equazione cartesiana del piano che le contiene.
risposta: (pt. 3)
x + 2y + z − 2 = 0
Posto h = 1 si determinino una rappresentazione cartesiana della retta t incidente r ed s
e ortogonale ad entrambe (retta di minima distanza),
risposta: (pt. 5)
x−y+z−2=x−z−2=0
e le coordinate dei punti di incidenza.
risposta: (pt. 2)
A = (3/2, −1, −1/2), B = (2, 0, 0)
ESERCIZIO 2. In E3 (R) si determinino:
un’equazione cartesiana del piano tangente alla sfera S : x2 + y 2 + z 2 − 4x = 0 nel punto
P = (2, −2, 0).
risposta: (pt. 2)
y = −2
Una rappresentazione cartesiana della circonferenza C ottenuta sezionando S con il piano
α : x + y = 0.
risposta: (pt. 1)
x2 + y 2 + z 2 − 4x = x + y = 0
Una rappresentazione cartesiana della tangente a C in P .
risposta: (pt. 3)
x+y =y+2=0
Centro e raggio di C.
√
risposta: (pt. 4)
C = (1, −1, 0), r = 2
ESERCIZIO 3. In E3 (R) si scriva una rappresentazione cartesiana della circonferenza
descritta dal punto P (1, 1, 0) nella rotazione di asse a : x = y = z.
risposta: (pt. 3)
x + y + z − 2 = x2 + y 2 + z 2 − 2 = 0
ESERCIZIO(4. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della superficie descritta
(
y=1
x − 2y = 1
dalla retta r :
nella rotazione di asse a :
x=z+1
x+y =1
2
2
2
risposta: (pt. 5)
x + y − z − 2x = 0
e, motivando la risposta, si dica di che superficie si tratta.
risposta: (pt. 2) r e a sono sghembe e non ortogonali, si tratta di un iperboloide iperbolico.
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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
2o TEST intermedio - 10.12.2001
cognome
nome
corso di laurea
matricola
(
(
2x − z = h
−x + 3z = 1
ESERCIZIO 1. In E3 (R) si considerino le rette r :
ed s :
−x + y = 2
x+y−z =1
Si dica per quali valori del parametro reale h le rette r e s risultano complanari
risposta: (pt. 2)
h = −1
e in tal caso si determini un’equazione cartesiana del piano che le contiene.
risposta: (pt. 3)
x+y−z =1
Posto h = 1 si determinino una rappresentazione cartesiana della retta t incidente r ed s
e ortogonale ad entrambe (retta di minima distanza),
risposta: (pt. 5)
x − y + 2 = 5y + 5z − 9 = 0
e le coordinate dei punti di incidenza.
risposta: (pt. 2)
A = (4/15, 34/15, −7/15), B = (−2/5, 8/5, 1/5)
ESERCIZIO 2. In E3 (R) si determinino:
un’equazione cartesiana del piano tangente alla sfera S : x2 + y 2 + z 2 − 5z = 0 nel punto
P = (0, 2, 1).
risposta: (pt. 2)
4y − 3z − 5 = 0
Una rappresentazione cartesiana della circonferenza C ottenuta sezionando S con il piano
α : y = 2.
risposta: (pt. 1)
x2 + y 2 + z 2 − 5z = y − 2 = 0
Una rappresentazione cartesiana della tangente a C in P .
risposta: (pt. 3)
4y − 3z − 5 = y − 2 = 0
Centro e raggio di C.
risposta: (pt. 4)
C = (0, 2, 5/2), r = 3/2
ESERCIZIO 3. In E3 (R) si scriva una rappresentazione cartesiana della circonferenza
descritta dal punto P (−1, 2, 0) nella rotazione di asse a : x = y = z.
risposta: (pt. 3)
x + y + z − 1 = x2 + y 2 + z 2 − 5 = 0
ESERCIZIO(4. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della superficie descritta
(
y=1
x−z =0
dalla retta r :
nella rotazione di asse a :
x=z
x+y−z =0
2
2
2
risposta: (pt. 5)
x + 2y + z − 2xz − 2 = 0
e, motivando la risposta, si dica di che superficie si tratta.
risposta: (pt. 2) r e a sono parallele e distinte, quindi si tratta di un cilindro quadrico.
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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
2o TEST intermedio - 10.12.2001
cognome
nome
corso di laurea
matricola
(
(
x − y = −2
x+y =h
ESERCIZIO 1. In E3 (R) si considerino le rette r :
ed s :
x + z = −2
x+y+z =0
Si dica per quali valori del parametro reale h le rette r e s risultano complanari
risposta: (pt. 2)
h=2
e in tal caso si determini un’equazione cartesiana del piano che le contiene.
risposta: (pt. 3)
x + y + 2z + 2 = 0
Posto h = 1 si determinino una rappresentazione cartesiana della retta t incidente r ed s
e ortogonale ad entrambe (retta di minima distanza),
risposta: (pt. 5)
x − y + 2 = 2y − z − 4 = 0
e le coordinate dei punti di incidenza.
risposta: (pt. 2)
A = (−2/3, 4/3, −4/3), B = (−1/2, 3/2, −1)
ESERCIZIO 2. In E3 (R) si determinino:
un’equazione cartesiana del piano tangente alla sfera S : x2 + y 2 + z 2 + 2y = 0 nel punto
P = (1, −1, 0).
risposta: (pt. 2)
x=1
Una rappresentazione cartesiana della circonferenza C ottenuta sezionando S con il piano
α : x + y = 0.
risposta: (pt. 1)
x2 + y 2 + z 2 + 2y = x + y = 0
Una rappresentazione cartesiana della tangente a C in P .
risposta: (pt. 3)
x+y =x−1=0
Centro e raggio di C.
√
risposta: (pt. 4)
C = (1/2, −1/2, 0), r = 2/2
ESERCIZIO 3. In E3 (R) si scriva una rappresentazione cartesiana della circonferenza
descritta dal punto P (1, 0, 2) nella rotazione di asse a : x = y = z.
risposta: (pt. 3)
x + y + z − 3 = x2 + y 2 + z 2 − 5 = 0
ESERCIZIO(4. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della superficie descritta
(
y=1
2x + y = 2
dalla retta r :
nella rotazione di asse a :
x=z+1
x − y = −2
2
2
2
risposta: (pt. 5)
x + y − z − 4y − 2z + 2 = 0
e, motivando la risposta, si dica di che superficie si tratta.
risposta: (pt. 2) r e a sono sghembe e non ortogonali, si tratta di un iperboloide iperbolico.
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Algebra e Geometria
Algebra ed Elementi di Geometria
2o TEST intermedio - 10.12.2001
cognome
nome
corso di laurea
matricola
(
(
x+y+z =0
x+z =h
ESERCIZIO 1. In E3 (R) si considerino le rette r :
ed s :
x−y =1
x + y = −1
Si dica per quali valori del parametro reale h le rette r e s risultano complanari
risposta: (pt. 2)
h=1
e in tal caso si determini un’equazione cartesiana del piano che le contiene.
risposta: (pt. 3)
3x + y + 2z − 1 = 0
Posto h = 2 si determinino una rappresentazione cartesiana della retta t incidente r ed s
e ortogonale ad entrambe (retta di minima distanza),
risposta: (pt. 5)
2x − 4y − z − 3 = x + 5y − 4z + 13 = 0
e le coordinate dei punti di incidenza.
risposta: (pt. 2)
A = (−2/7, −9/7, 11/7), B = (1/7, −8/7, 13/7)
ESERCIZIO 2. In E3 (R) si determinino:
un’equazione cartesiana del piano tangente alla sfera S : x2 + y 2 + z 2 + 5y = 0 nel punto
P = (0, −1, 2).
risposta: (pt. 2)
3y + 4z = 5
Una rappresentazione cartesiana della circonferenza C ottenuta sezionando S con il piano
α : z = 2.
risposta: (pt. 1)
x2 + y 2 + z 2 + 5y = z − 2 = 0
Una rappresentazione cartesiana della tangente a C in P .
risposta: (pt. 3)
3y + 4z − 5 = z − 2 = 0
Centro e raggio di C.
risposta: (pt. 4)
C = (0, −5/2, 2), r = 3/2
ESERCIZIO 3. In E3 (R) si scriva una rappresentazione cartesiana della circonferenza
descritta dal punto P (1, −2, 0) nella rotazione di asse a : x = y = z.
risposta: (pt. 3)
x + y + z + 1 = x2 + y 2 + z 2 − 5 = 0
ESERCIZIO(4. In E3 (R) si scriva una rappresentazione
cartesiana della superficie descritta
(
y=1
y − 2z = 1
dalla retta r :
nella rotazione di asse a :
x=z+1
y+z =1
2
2
2
risposta: (pt. 5)
x − y − z − 2x + 2y = 0
e, motivando la risposta, si dica di che superficie si tratta.
risposta: (pt. 2) r e a sono incidenti e non ortogonali, dunque si tratta di un cono quadrico.