UNIVERSIT`A DI BRESCIA - FACOLT`A DI
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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria - 12.12.03
cognome
nome
corso di laurea
matricola
Esercizio 1. Si dica per quali valori reali di k il seguente sistema lineare è compatibile:
kx − 2ky + 2z = 0
(k + 1)x − (k + 3)y + (k + 1)z = 0
x − 2y + z = k − 1
risposta (punti 5)
k 6= 2
Interpretando x,y e z come coordinate in E3 (R), si dica quale è la mutua posizione dei tre piani rappresentati
dalle equazioni del sistema, al variare del parametro reale k.
risposta (punti 5) per k 6= 1, 2 i tre piani hanno in comune esattamente un punto e individuano quindi
una stella propria; per k = 2 non esistono punti comuni ai tre piani: il primo ed il terzo piano sono paralleli
e disgiunti ed il secondo li incide secondo rette parallele, essi individuano quindi una stella impropria; per
k = 1 i tre piani hanno in comune una retta: il secondo ed il terzo piano coincidono ed il primo è incidente,
resta quindi individuato un fascio proprio.
Esercizio 2. (consegnare lo svolgimento) In E3 (R) si determini una rappresentazione cartesiana della
superficie generata dalla rotazione della retta r : x−2y = x+z = 0 attorno alla retta a : x+z = x+y −z = 0.
risposta (punti 8)
5x2 + 32y 2 + 5z 2 − 36xy − 18xz + 36yz = 0
Esercizio 3. In E3 (R) si considerino le rette r : x + y = z = 0 ed s : x − y − h = x + 2z − 2 = 0. Si
determinino i valori del parametro reale h per i quali le rette sono sghembe.
risposta (punti 2)
h 6= 4
Posto h = 0, i determini una rappresentazione cartesiana della retta incidente r ed s ed ortogonale ad
entrambe (retta di minima distanza).
risposta (punti 4)
x = y = z/4
Esercizio 4. In R4 (R) con il prodotto scalare definito termine a termine, si determinino il sottospazio S
µ
¶
1 1 0 1
delle soluzioni del sistema AX = 0 con A =
2 1 0 3
risposta (punti 3)
S = {(−2a, a, b, a) ∈ R4 , a, b ∈ R}
ed il complemento ortogonale di S.
risposta (punti 3)
H = {(c, 2c − d, 0, d) ∈ R4 , c, d ∈ R}
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UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Algebra e Geometria - 12.12.03
cognome
nome
corso di laurea
matricola
Esercizio 1. Si dica per quali valori reali di k il seguente sistema lineare è compatibile:
kx − 2ky + 3z = 0
(k + 1)x − (k + 3)y + (k + 1)z = 0
x − 2y + z = k − 1
risposta (punti 5)
k 6= 3
Interpretando x,y e z come coordinate in E3 (R), si dica quale è la mutua posizione dei tre piani rappresentati
dalle equazioni del sistema, al variare del parametro reale k.
risposta (punti 5) per k 6= 1, 3 i tre piani hanno in comune esattamente un punto e individuano quindi
una stella propria; per k = 3 non esistono punti comuni ai tre piani: il primo ed il terzo piano sono paralleli
e disgiunti ed il secondo li incide secondo rette parallele, essi individuano quindi una stella impropria; per
k = 1 i tre piani hanno in comune una retta: il secondo ed il terzo piano coincidono ed il primo è incidente,
resta quindi individuato un fascio proprio.
Esercizio 2. (consegnare lo svolgimento) In E3 (R) si determini una rappresentazione cartesiana della
superficie generata dalla rotazione della retta r : x−2z = x+y = 0 attorno alla retta a : x+y = x−y +z = 0.
risposta (punti 8)
5x2 + 5y 2 + 32z 2 − 18xy − 36xz + 36yz = 0
Esercizio 3. In E3 (R) si considerino le rette r : x + y = z = 0 ed s : x − y − h = x + z − 1 = 0. Si determinino
i valori del parametro reale h per i quali le rette sono sghembe.
risposta (punti 2)
h 6= 2
Posto h = 0, i determini una rappresentazione cartesiana della retta incidente r ed s ed ortogonale ad
entrambe (retta di minima distanza).
risposta (punti 4)
x = y = z/2
Esercizio 4. In R4 (R) con il prodotto scalare definito termine a termine, si determinino il sottospazio S
µ
¶
1 1 1 0
delle soluzioni del sistema AX = 0 con A =
2 1 3 0
risposta (punti 3)
S = {(−2a, a, a, b) ∈ R4 , a, b ∈ R}
ed il complemento ortogonale di S.
risposta (punti 3)
H = {(c, 2c − d, d, 0) ∈ R4 , c, d ∈ R}
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Algebra e Geometria - 12.12.03
cognome
nome
corso di laurea
matricola
Esercizio 1. Si dica per quali valori reali di k il seguente sistema lineare è compatibile:
kx − 2ky + 4z = 0
(k + 1)x − (k + 3)y + (k + 1)z = 0
x − 2y + z = k − 1
risposta (punti 5)
k 6= 4
Interpretando x,y e z come coordinate in E3 (R), si dica quale è la mutua posizione dei tre piani rappresentati
dalle equazioni del sistema, al variare del parametro reale k.
risposta (punti 5) per k 6= 1, 4 i tre piani hanno in comune esattamente un punto e individuano quindi
una stella propria; per k = 4 non esistono punti comuni ai tre piani: il primo ed il terzo piano sono paralleli
e disgiunti ed il secondo li incide secondo rette parallele, essi individuano quindi una stella impropria; per
k = 1 i tre piani hanno in comune una retta: il secondo ed il terzo piano coincidono ed il primo è incidente,
resta quindi individuato un fascio proprio.
Esercizio 2. (consegnare lo svolgimento) In E3 (R) si determini una rappresentazione cartesiana della
superficie generata dalla rotazione della retta r : 2x − y = y + z = 0 attorno alla retta a : y + z = x + y − z = 0.
risposta (punti 8)
32x2 + 5y 2 + 5z 2 − 36xy + 36xz − 18yz = 0
Esercizio 3. In E3 (R) si considerino le rette r : x + y = z = 0 ed s : x − y − h = x + 3z − 3 = 0. Si
determinino i valori del parametro reale h per i quali le rette sono sghembe.
risposta (punti 2)
h 6= 6
Posto h = 0, i determini una rappresentazione cartesiana della retta incidente r ed s ed ortogonale ad
entrambe (retta di minima distanza).
risposta (punti 4)
x = y = z/6
Esercizio 4. In R4 (R) con il prodotto scalare definito termine a termine, si determinino il sottospazio S
µ
¶
1 0 1 1
delle soluzioni del sistema AX = 0 con A =
2 0 1 3
risposta (punti 3)
S = {(−2a, b, a, a) ∈ R4 , a, b ∈ R}
ed il complemento ortogonale di S.
risposta (punti 3)
H = {(c, 0, 2c − d, d) ∈ R4 , c, d ∈ R}
